理论力学3—平面任意力系

1、 本章主要内容 4.2 4.2 平面任意力系的简化及简化结果讨论平面任意力系的简化及简化结果讨论 4.3 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 4.4 4.4 物体系统的平衡物体系统的平衡静定和超静定问题静定和超静定问题 4.5 4.5 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算 4.1 4.1 力线平移定理力线平移定理 定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这 个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的 矩。 力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一 个力偶合成一个力。 4.1 力线平移定理 A B M A B F

2、F F F A B F 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力力+力偶力偶 说明说明： 力线平移的条件是附加一个力偶力线平移的条件是附加一个力偶m，且，且m与与d有关，有关，m=Fd 力线平移定理是力系简化的理论基础。力线平移定理是力系简化的理论基础。 Ox y i j O Ox y F1 F2 Fn F1 F2 Fn Mn M2 M1 MO FR 4.2 4.2 平面任意力系的简化及简化结果讨论平面任意力系的简化及简化结果讨论 11 22 nn FF FF FF 11 22 () () () O O nOn MM MM MM F F F 一、平面任意力系

3、向一点简化一、平面任意力系向一点简化 平面汇交力系力，FR(主矢，作用在简化中心) 平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上) 平面任意力系 平面汇交力系+平面力偶系 向一点简化 其中平面汇交力系的合力为 平面力偶系的合成结果为 Rii FFF )( iOiO FMMM 1) 主矢 22 ()() Rxy FFF cos(, ) cos(, ) x R R y R R F F F F Fi Fj 平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。 主矢与简化中心的位置无关。 平面任意力系中各力对简化中心力矩的代数和称 为该力系对简化中心的主矩。 结论: ()() Ooiiiyiix

4、MMFx Fy F 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可 得一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢， 作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该力 系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置无关， 主矩和简化中心的位置一般有关。 2) 主矩 一般来说，主矩与简化中心的位置有关。 A AA 一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端支座。 平面固定端约束 A MA FAy FAx FA MA 固定端约束 在工程中常见的固定端（插入端）约束固定端（插入端）约束 雨搭 (1)平面任意力系简化为一个力偶的情形 二、二、 平面任意力系简化结果的讨论及合力矩定理平面任意力系简化结果的

5、讨论及合力矩定理 FR0，MO0 若简化中心为若简化中心为O1点，如何点，如何? () OO MM F (2)平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理 平面力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。 1）FR 0，MO 0 平面力系简化为一合力。如图 OO FR d FR FRFR MO FR OO d OO O R M d F 2）FR 0，MO0 () ORRO MF dMF () OOi MM F 结论： FR d OO 从图中可以看出 所以 由主矩的定义知： ()() OROi MM FF (3)平面任意力系平衡的情形FR0，MO0 平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系 中

6、各力对同一点的矩的代数和。 思考题思考题 1 关于平面力系的主矢与主矩，下列的表述中正确的是：关于平面力系的主矢与主矩，下列的表述中正确的是： (1) 主矢的大小、方向与简化中心的选择无关。主矢的大小、方向与简化中心的选择无关。 (2) 主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关。主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关。 (3) 当平面力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化当平面力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化 的结果为一合力。的结果为一合力。 (4) 当平面力系对某点的主矩不为零时，该力系向任何一点简当平面力系对某点的主矩不为零时，该力系向任何一点简 化的结果均不可能为一合

7、力。化的结果均不可能为一合力。 答案答案（1） 思考题思考题2 一个平面任意力系向一个平面任意力系向A点简化后得到如图所示的主矢和主矩，点简化后得到如图所示的主矢和主矩， 该力系的最后合成结果应是：该力系的最后合成结果应是： 。 A：作用在点：作用在点A左边的一个合力；左边的一个合力； B：作用在点：作用在点A右边的一个合力；右边的一个合力； C：作用在点：作用在点A的一个合力；的一个合力； D：一个合力偶；：一个合力偶； 答案答案（A） R M A 思考题思考题3 楔形块楔形块A、B的自重不计，并在光滑的、平面相接触。的自重不计，并在光滑的、平面相接触。 若其上分别作用有大小相等、方向相反，

8、作用线共线的二若其上分别作用有大小相等、方向相反，作用线共线的二 个力个力P，则此二刚体的平衡情况是，则此二刚体的平衡情况是 。 A：二物体都不平衡；：二物体都不平衡；B：二物体都能平衡；：二物体都能平衡； C：A平衡、平衡、B不平衡；不平衡；D：B平衡、平衡、A不平衡；不平衡； 答案答案（A） P P m m 63 4 1 P 2 P 3 P A B C 例例 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离 单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？ 2、力系简化最后结果。 解：1、计算主矢、主矩 (1) 建立坐标系 x y (2)Fx=P3 =200N 主矢 N

9、FFF yxR 250150200)()( 2222 8 . 0 250 200 ),cos(cos R X xR =36.9 R cmN3006506)( 2 PFMM iAA N150 21 PPFy 1 P 2 P 3 P A B Cx y R cmN300 A M 2、简化最终结果 cm2 . 1 250 300 R M h A mA R h 主矢NR250 主矩 最终结果合力 大小：NRR250 方向: =36.9 位置图示： 方向： =36.9 已知：已知：1450,P kN 2 200,P kN 1 300,F kN 2 70;F kN 求：求： 力系的合力力系的合力, R F合

10、力与合力与OA的交点到点的交点到点O的距离的距离x， 合力作用线方程。合力作用线方程。 解：解：1 1、向 、向O O点简化求主矢和主矩。点简化求主矢和主矩。 12 cos232.9 Rxix FFFF kN R F大小大小 2 2 709.4 R ixiy FFF kN R F的方向余弦的方向余弦 cos,0.3283 ix R R F F i F cos,0.9446 iy R R F Fj F 主矩主矩 112 31.53.92355 oo MMFFPP kN m 12 sin670.1 Ryiy FFPPF kN 7 .16tanarc AC AB （2）求合力及其作用线位置。）求合力

11、及其作用线位置。 2 3 5 5 3 .3 1 9 7 7 0 9 .4 o R M d F m （3）求合力作用线方程）求合力作用线方程 ooRRyRxRyRx MMFx Fy Fx Fy F 即即 2355670.1232.9xy 有：有：607.1232.923550 xy m5143 8470sin . . d x 例例已知平面任意力系如图， ， ， 求力系向O点简化结果， 合力的大小和作用线方程 NF2100 1 NF100 2 NF50 3 x y (1,2) (2,-1) (3, 1) F1 F2 F3 解解 1 1、力系向、力系向O O点简化的结果为点简化的结果为 NjiR50

12、200 主矢 mN300 o M主矩 NFR175050200 22 2 2、合力大小为、合力大小为 R 合力作用线方程合力作用线方程 xyRO -yRxRFM 64-yx N5050-0100 y F N2000100100 x F Nm300-100-100-100- )F(M o 例例 求：求： 解：解： q l x q qlxq l x P l 2 1 d 0 由合力矩定理由合力矩定理 xq l x xxqhP ll dd 0 2 0 得得lh 3 2 已知：已知：q,l； 合力及合力作用线位置。合力及合力作用线位置。 取微元如图取微元如图 F F1 1 F F2 2 F F3 3 F

13、 F4 4 O O A A B B C C x x y y 2m2m 3m3m 3030 6060 例题例题 在长方形平板的在长方形平板的O O、A A、B B、C C 点上分别作用着有点上分别作用着有 四个力：四个力：F F1 1=1kN=1kN，F F2 2=2kN=2kN，F F3 3= =F F4 4=3kN=3kN（如图），试求（如图），试求 以上四个力构成的力系对点以上四个力构成的力系对点O O 的简化结果，以及该力的简化结果，以及该力 系的最后的合成结果。系的最后的合成结果。 解：取坐标系解：取坐标系Oxy。 1 1、求向、求向O O点简化结果：点简化结果： 求主矢求主矢R ：

14、598030cos 60cos 43 2 .FF FFR xx 768. 0 2 1 3 2 3 2130sin60sin 421 FFFFR yy 7940 22 .RRR yx 求主矩求主矩： F oO mM 5 . 030sin3260cos2 432 FFF （2 2）求合成结果：其作用线）求合成结果：其作用线 与与O O点的垂直距离为：点的垂直距离为： 0.51m o M d R M Mo o F F1 1 F F2 2 F F3 3 F F4 4 O O A A B B C C x x y y 2m2m 3m3m 3030 6060 614. 0 cos R R x x 、R x6

15、52 , R 789. 0 cos R R y y 、R y5437 , R R R O O A A B B C C x x y y R R d d 0 0 R O M F 22 ()() () Rxy OOi FFF MM F 1、 平衡条件 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即 4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系的平衡条件和平衡方程 22 ()() ,() RxyOOi FFFMM F 2 平衡方程 即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和

16、等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。 0 0 ()0 xi yi Oi F F M F 由于 所以 解：以刚架为研究对象，受力如图。 0:0 xAx FFqb 0:0 yAy FFP ()0: A MF 0 2 1 2 qbPaM A Ax Fqb Ay FP 2 2 1 qbPaM A 例 求图示刚架的约束反力。 A P a b q A P q FAy FAx MA 例 求图示梁的支座反力。 解：以梁为研究对象，受力如图。 0:cos0 xAx FFP 0:sin0 yAyB FFFP ()0:sin()0 AB MF aPabmF cos Ax FP sin () B mPab F

17、a sin Ay mPb F a A B C P ab m AB C P m FBFAy FAx 例例已知：已知：AC=CB=l,P=10kN; 求：求： 铰链铰链A和和DC杆受力。杆受力。（用平面任意力系方法求解）（用平面任意力系方法求解） 解：解： 取取AB梁，画受力图。梁，画受力图。 0 x F 0 y F 0 cos450 Axc FF 0 sin450 Ayc FFF 0 A M 0 cos4520 c FlFl ,20kNAxF ,28.28kN C F kN10AyF 例例 已知：已知： 1 10,P kN 2 40,P kN尺寸如图；尺寸如图； 求：求：轴承轴承A、B处的约束力

18、。处的约束力。 解：解： 取起重机，画受力图。取起重机，画受力图。 0 x F 0 y F 0 A M 0 AxB FF 12 0 Ay FPP 12 5 1.53.50 B FPP 50 Ay FkN 31 B F kN 31 Ax FkN 例例已知：已知： , , ,;P q a Mpa 求：求：支座支座A、B处的约束力。处的约束力。 解：取解：取AB梁，画受力图。梁，画受力图。 0 x F 0 A M 0 y F 0 Ax F 4220 B FaMPaqa a 31 42 B FPqa 20 AyB FqaPF 3 42 Ay P Fqa 例例 已知：已知： 20,M kN m 100,

19、P kN 400,F kN 20,q kN m 1 ;l m 求：求： 固定端固定端A处约束力。处约束力。 解：解： 取取T型刚架，画受力图。型刚架，画受力图。 其中其中 1 1 330 2 FqlkN 0 x F 0 A M 0 y F 0 1 sin600 Ax FFF 316.4 Ax FkN 060cos FPFAy 0360sin60cos1lFlFlFMMA kN300AyF mkN1188AM (1) 二矩式 0 ()0 ()0 x A B F M M F F 其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。 3、平衡方程的其它形式 (2) 三矩式 ()0 ()0 ()0 A B C

20、 M M M F F F 其中A、B、C三点不能在同一条直线上。 注意：注意： 以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。 例 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN， 拉杆CB的倾角30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位 置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。 解：取横梁AB为研究对象。 A B E H P Q FT FAy FAx a 0 x F ()0 A MF 0 y F 1 ()13.2 kN sin2 T l FPQa l cos11.43kN AxT FF sin2.1kN AyT FQPF si

21、n0(2) AyT FPFQ cos0(1) AxT FF sin0(3) 2 T l lPFQa C A B EH P Q FT FAy FAx a sin0(2) AyT FPFQ cos0(1) AxT FF sin0(3) 2 T l lPFQa ()0 B MF 如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得 ()0 (4) 2 Ay l PQlFla ()0 C MF tan0(5) 2 Ax F l lPQa 有效的方程组合是：一矩式：1,2,3；1,2,4；1,2,5； 二矩式： 1,3,4；2,4,5 ；三矩式： 3,4,5 力的作用线在同一平面且相互平 行的力系称平面平行力系。 O

22、x y 选如图的坐标，则Fx0自然满足。 于是平面平行力系的平衡方程为： 0;()0 yO FM F 平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式： ()0;()0 AB MM FF 其中AB连线不能与各力的作用线平行。 F2 F1 F3 Fn 4、平面平行力系的平衡方程 例 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)， 尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块 Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子 的反力？ 0)(FMB (6 2)2(12 2)(2 2)0 A PQWN 0 A N kN 75Q 限制条件：限制条件： 解：解： 首先考虑满载时，

23、起重首先考虑满载时，起重 机不向右翻倒的机不向右翻倒的Q： 空载时，空载时， 0)(FMA 0) 22(2) 26( B NPQ 限制条件为：限制条件为： 0 B N 解得解得kN 350Q 因此保证空、满载均不倒，因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：应满足如下关系： kN 350kN 75Q 解得解得: : 0W 04) 212(2) 26 ( B NWPQ 0)(FMA 0 yi F 0 BA NNWPQ 210 kN 870 kN A B N N 求当求当Q=180kN，满载，满载W=200kN时，时，NA ,NB为多少为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程

24、可得： 解得：解得： 由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体 系统，简称物系。 4.4 物体系的平衡静定和超静定问题 外界物体作用于系统的力称该系统的外力。 系统内各物体间相互作用的力称该系统的内力。 当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反 之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。 因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以 是整体，也可以是局部，也可以是单个物体。 静定问题：在静力学中求解物体系统的平衡问 题时，若未知量的数目不超过独立平衡方程数 目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求 出，这类问题称为静定问题。 超静定问题：若未知量的数目多于独立平衡方 程数目，则全部未知量用刚体

25、静力学理论无法 求出，这类问题称为静不定问题或超静定问。 静不定次数：总未知量数与总独立平衡方程数 之差。 静不定问题在强度力学静不定问题在强度力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中用位移弹力）中用位移 谐调条件来求解谐调条件来求解。 静定（未知数三个）静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）静不定（未知数四个） P P P P F P F P F 判断各图的超静定次数判断各图的超静定次数 例求图示多跨静定梁的支座反力。 解：先以CD为研究对象，受力如图。 3 ()0:330 2 CD MFqF 3 2 D Fq 再以整体为研究对象，受力如图。 0:0 xAx FF 0:40 yAyBD

26、FFFFFq ()0: 842460 A DB M FFFq F 1 3 2 B FFq 11 22 Ay FFq C B q 22 F AD 13 FCx FCy FD q F FAx FAy FDFB q C D C B A D 例 求图示三铰刚架的支座反力。 解：先以整体为研究对象，受力如图。 0:0 yAyBy FFFqa ()0: 3 20 2 A By M FaFaqaa F 31 24 By FFqa C B q aa a A F FAx FAy q C BA F FBx FBy 11 42 Ay FqaF 再以AC为研究对象，受力如图。 ()0:0 CAxAy MF aF aF

27、 11 42 AxAy FFqaF FAx FAy FCx FCy A F C C B q aa a A F 再以整体为研究对象，受力如图。 FAx FAy q C BA F FBx FBy 11 24 Bx FFqa 0 BxAx FFF 例 求图示结构固定端的约束反力。 解：先以BC为研究对象，受力如图。 0:0 C MF bM CB M FF b 再以AB部分为研究对象，受力如图。 0:0 xAxB FFF F 0:0 yAy FFqa ( )0 A MF 21 ()0 2 AB MF abqa F a , AxAyA M FFFqa M b C B q F A M b a a FB M

28、 C B FC FB FAy q F B A MA FAx 例 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰 链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。 已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰 链C的约束反力。 A BC D F 2l/3 l/2 M q0 M BC FBy FBx FCx FCy 解: (1) 取BC分析 ()0:0 BCy MMFl F 2 kN Cy M F l 求得结果为负说明与假设方向相反。 (2) 取CD分析 F C D FCx FCy FDx FDy 2 ()0:0 3 DCx l MFlF F 2 4

29、kN 3 Cx FF 求得结果为负说明与假设方向相反。 A BC D F 2l/3 l/2 M q0 M q0 FCx FCy FAy MA FAx BC A (3) 取AB、BC分析 1 0:0 2 xCxAx FFFql 11 ( 4)3 21kN 22 AxCx FFql 0:0 yAyCy FFF ( 2)2 kN AyCy FF ()0: 11 0 23 A ACyCx M MMqllFlFl F 6 kN m A M 求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。 A BC D F 2l/3 l/2 M q0 A B E D a x 1 2 3 4 E A C B D 例 编号为

30、1、2、3、4的四根杆件组成平面结构， 其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为 中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂 向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变， 其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。 F 解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为 此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。 F FA1 FEy FEx FND 1NN ()0: ()0( ) 2222 E ABD M bbbb FFxFFa F b 上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再 分别取整体和杆2为研究对象。 FNB A B F FAy FAx N ()0:0 CD

31、 MFbFxF 取整体为研究对象，受力如图。 FNB x ND Fx F b N ()0:0 AB MF bFxF 取水平杆2为研究对象，受力如图。 NB Fx F b 代入（a）式得 1A FF FA1为负值，说明杆1受压，且与x无关。 F FND FCy FCx a 1 2 3 4 E A C B D b A B C D 例 三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已 知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。 解1：取AB分析，受力如图。不妨设杆长为l。 ()0: B MF sin450(1) 22 AyT ll F lWF 再以整体为研究对象，受力

32、如图。 0: y F 30(2) AyDy FFW A B C D FBy FBx A B FAx FAy W FT W W W FAx FAy FDx FDy 最后以DC为研究对象，受力如图。 0(3) 2 Dy l F lW 联立求解(1)、(2)、(3)得： 42 T FW ()0: C MF FCy FCx D C FDx FDy W A B C D sin450(1) 22 AyT ll F lWF 30(2) AyDy FFW 解2：先以BC为研究对象，受力如图。 sin450(4) 2 CxT l FlF 再以DC为研究对象，受力如图。 0 x F FCx FCy FBx FBy

33、 B C W ()0: B MF FT 0(5) DxCx FF A B C D FCx FCy D C FDx FDy W 联立求解(4)、(5)、(6)即可的同样结果。 最后以整体为研究对象，受力如图。 20(6) 2 Dx l F lWWl ()0: A MF A B C D W W W FAx FAy FDx FDy A B C D 解2：先以BC为研究对象，受力如图。 sin450(4) 2 CxT l FlF 再以DC为研究对象，受力如图。 0 x F ()0: B MF 0(5) DxCx FF 练习练习已知已知: : F F=20kN,=20kN, q q=10kN/m,=10

34、kN/m, ,20mkNM L L=1m;=1m; 求求: :A,BA,B处的约束力处的约束力. . 解解: : 取取CDCD梁梁, ,画受力图画受力图. . 0 c M 0230cos 2 60sin 00 lF l qllFB 解得解得 F FB B=45.77kN=45.77kN 解得解得kN89.32 Ax F 0 iy F 030cos260sin 00 FqlFF BAy 解得解得 kN32. 2 Ay F 0 A M 0430cos360sin22 00 lFlFlqlMM BA 解得解得kN37.10 A M 取整体取整体, ,画受力图画受力图. . 0 ix F 030sin

35、60cos 00 FFF BAx 练习练习 已知已知: : DC=CE=CA=CB=2l,DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l,R=2r=l,450 P P, , 各构件自重不计。各构件自重不计。 求求: : A,EA,E支座处约束力及支座处约束力及BDBD杆受力。杆受力。 解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0 E M 0 2 5 22lPlF A 解得解得PFA 8 25 0 ix F 045cos 0 AEx FF 解得解得 PFEx 8 5 0 iy F045sin 0 AEy FPF 解得解得PFEy 8 13 取取DCEDCE杆杆, ,画受力图画受力图. .

36、0 C M 解得解得 PFDB 8 23 02245cos 0 lFlFlF ExKDB 练习练习 已知：已知：P , aP , a , ,各杆重不计；各杆重不计； 求：求：B B 铰处约束反力。铰处约束反力。 解：解：取整体，画受力图取整体，画受力图 0 C M20 By Fa 解得解得0 By F 取取ADBADB杆，画受力图杆，画受力图 取取DEFDEF杆，画受力图杆，画受力图 0 D M sin4520 E FaFa 得得 sin452 E FF 0 ix F cos450 EDx FF 得得 cos452 DxE FFF B Mo 20 Dx FaFa 得得 2 Dx FF 对对AD

37、BADB杆受力图杆受力图 0 A M20 BxDx FaFa 得得 Bx FF 或者或者 练习练习 已知：已知： q ,a ,Mq ,a ,M , , 2 ,Mqa且P P作用于销钉作用于销钉B B上；上； 求：求： 固定端固定端A A处的约束力和销钉处的约束力和销钉 B B对对BCBC杆杆, ,ABAB杆的作用力。杆的作用力。 解：解： 取取CDCD杆，画受力图。杆，画受力图。 0 D M 0 2 Cx a Faqa 得得 1 2 Cx Fqa 取取BCBC杆（不含销钉杆（不含销钉B B) )，画受力图。，画受力图。 0 ix F 0 BCxCx FF 解得解得 1 2 BCx Fqa 0

38、C M 0 BCy MFa 解得解得 BCy Fqa 取销钉取销钉B B，画受力图。，画受力图。 0 ix F 0 ABxBCx FF 解得解得 1 2 ABx Fqa 则则 1 2 ABx Fqa 0 iy F 0 AByBCy FFP 解得解得 ABy FPqa 则则 () ABy FPqa 取取ABAB杆（不含销钉杆（不含销钉B B），画受力图。），画受力图。 0 ix F 1 30 2 AxABx FqaF 解得解得 Ax Fqa 0 iy F 0 AyABy FF 解得解得 Ay FPqa 0 A M 3 1 30 2 AABxaABy Mqa aFFa 解得解得() A MPqa

39、a 例例已知：已知：P P=10kN ,=10kN ,a a , ,杆，轮重不计；杆，轮重不计； 求：求： A ,CA ,C支座处约束力。支座处约束力。 解：解： 取整体，受力图能否这样画？取整体，受力图能否这样画？ 取整体，画受力图。取整体，画受力图。 0 A M48.50 AxT aFaPF a 解得解得 20 Ax F kN 0 AxCx FF 20 Cx FkN解得解得 对整体受力图对整体受力图 0 iy F0 AyCyT FFFP 解得解得10 Ay F kN 取取BDCBDC 杆（不带着轮）杆（不带着轮） 取取ABEABE（带着轮）（带着轮） 取取ABEABE杆（不带着轮）杆（不带

40、着轮） 取取BDCBDC杆（带着轮）杆（带着轮） 1 04340 BCyTTCx MaFFaFaFa 解得解得15 Cy FkN 练习练习已知：已知：OA=R OA=R，AB= AB= l, ,F 不计物体自重与摩擦不计物体自重与摩擦, , 系统在图示位置平衡系统在图示位置平衡; ; 求求: :力偶矩力偶矩M M 的大小，轴承的大小，轴承O O处处 的约束力，连杆的约束力，连杆ABAB受力，冲受力，冲 头给导轨的侧压力。头给导轨的侧压力。 解解: :取冲头取冲头B B, ,画受力图画受力图. . 0 iy F0cos B FF 解得解得 22 cos Rl FlF FB 0 ix F0sin

41、BN FF 解得解得 22 tan Rl FR FFN 取轮取轮, ,画受力图画受力图. . 0 ix F0sin Aox FF 解得解得 22 Rl FR Fox 0 iy F0cos Aoy FF 解得解得 FFoy 0 o M 0cosMRFA 解得解得FRM 练习练习 已知已知: : P P1 1, ,P P2 2, ,P P=2=2P P1 1, ,r r, ,R R=2=2r r, ,;200 求求: : 物物C C 匀速上升时，作用于匀速上升时，作用于 轮轮I I上的力偶矩上的力偶矩M M；轴承；轴承A A， B B处的约束力。处的约束力。 解解: :取塔轮及重物取塔轮及重物C

42、C, ,画受力图画受力图. . 0 B M 0PrRF 1 10 Pr P R F 由由 0 20tan F F r 1 0 64. 320tanPFFr 0 ix F0 rBx FF 1 64, 3PFBx 0 iy F0 2 FPPFBy 1 32PFBy 取轮取轮I I，画受力图。，画受力图。 0 ix F 0 iy F 0 A M 0 rFM rPM 1 10 1 64. 3PFAx 1 9PFAy 练习练习 已知已知: : P P=60kN,=60kN, P P2 2=10kN,=10kN, P P1 1=20kN,=20kN, 风载风载F F=10kN,=10kN, 尺寸如图尺寸如

43、图; ; 求求: :A,BA,B处的约束力。处的约束力。 解解: :取整体取整体, ,画受力图。画受力图。 0 A M 052461012 21 FPPPPFBy kN5 .77 By F 0 iy F 02 21 PPPFF ByAy kN5 .72 Ay F 取吊车梁取吊车梁, ,画受力图画受力图. . 0 D M 0248 21 PPF E kN5 .12 E F 取右边刚架取右边刚架, ,画受力图画受力图. . 0 C M 04106 EBxBy FPFF kN5 .17 Bx F 0 ix F0 BxAx FFF kN5 . 7 Ax F 对整体图对整体图 例例已知：已知： a ,b

44、 ,Pa ,b ,P, , 各杆重不计，各杆重不计，C,EC,E处光滑；处光滑； 求证：求证： ABAB杆始终受压，且大小为杆始终受压，且大小为P P。 解：解：取整体，画受力图。取整体，画受力图。 0 ix F0 Ax F 0 E M ()0 Ay PbxFb 得得 () Ay P Fbx b 取销钉取销钉A A，画受力图，画受力图 0 ix F 0 AxADCx FF 0 ADCx F得得 取取ADCADC杆，画受力图。杆，画受力图。 取取BCBC，画受力图。，画受力图。 0 B M 0 C FbPx 得得 C x FP b 对对ADCADC杆杆 0 D M 0 22 ADCyC bb F

45、F 得得 ADCyC x FFP b 对销钉对销钉A A0 y F 0 ABAyADCy FFF 0 AB xx FPPP bb 解得解得( AB FP 压） 4.5 平面简单桁架 工程中的桁架结构：工程中的桁架结构： 工程中的桁架结构工程中的桁架结构 2 2、平面桁架、平面桁架 3 3、节、节 点点 4 4、杆件内力、杆件内力 5 5、静定桁架、静定桁架 一、概念：一、概念： 1 1、桁架、桁架 一种由若干杆件彼此在两端用铰链一种由若干杆件彼此在两端用铰链 连接而成，受力后几何形状不变的结构。连接而成，受力后几何形状不变的结构。 所有杆件都在同一平面内的桁架。所有杆件都在同一平面内的桁架。

46、桁架中杆件的铰链接头。桁架中杆件的铰链接头。 各杆件所承受的力。各杆件所承受的力。 如果从桁架中任意抽去一根杆件，如果从桁架中任意抽去一根杆件， 则桁架失去形状的固定性。则桁架失去形状的固定性。 6 6、结构：、结构： 以三角形框架为基础，每增加一个以三角形框架为基础，每增加一个 节点需要增加两根杆件。节点需要增加两根杆件。 1 1、桁架中的杆件都是直杆。、桁架中的杆件都是直杆。 二、桁架计算的常见假设二、桁架计算的常见假设( (理想桁架理想桁架) )： 三、桁架结构的优点：三、桁架结构的优点： 3 3、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。

47、 4 4、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端 的节点上。的节点上。 可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，节约材料。可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，节约材料。 2 2、桁架中的杆件都用光滑铰链连接。、桁架中的杆件都用光滑铰链连接。 四、计算桁架杆件内力的方法：四、计算桁架杆件内力的方法： 1 1、节点法、节点法 - - 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁应用共点力系平衡条件，逐一研究桁 架上每个节点的平衡。架上每个节点的平衡。 2 2、截面法、截面法 - - 应用平面任意力系的平衡条件，应用平面任意力系的平衡条件， 研究桁架由截面切出

48、的某部分的平衡。研究桁架由截面切出的某部分的平衡。 例例 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D D处受一集中荷载处受一集中荷载F F = 10 kN= 10 kN的作用。的作用。 试求桁架各杆件所受的内力。试求桁架各杆件所受的内力。 解：先以整体为研究对象，受力如图。解：先以整体为研究对象，受力如图。 0,0 xAx FF 0,0 yAyBy FFFF ()0, 240 ABy MFFF 2m F 2m A B C D 30 1 3 4 25 A B 30 1 3 4 D C 5 kN By F 5 kN Ay F F FBy FAy FAx 1、 节点法 再分别

49、以节点再分别以节点A A、C C、D D为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。 FAy FAx F1 F2 A F F3 F2 F5 D F3 F4F1 C 21 0,cos300 xAx FFFF 节点节点A A 41 0,cos30cos300 x FF F 314 0,()sin300 y FFFF 节点节点C C 52 0,0 x FF F 节点节点D D 解上述解上述5 5个方程得个方程得 123 45 10 kN,8.66 kN,10 kN 10 kN,8.66 kN FFF FF 其中其中1 1，4 4杆受压。杆受压。 1 0,sin300 yAy FFF 2m F 2m

50、A B C D 30 1 3 4 FAy FAx FBy 例例 图示平面桁架，各杆长度均为图示平面桁架，各杆长度均为1m1m，在节点，在节点E E，G G，F F上分上分 别作用荷载别作用荷载F FE E10 kN10 kN， F FG G7 kN7 kN， F FF F5 kN5 kN。试求杆。试求杆1 1、 2 2、3 3的内力。的内力。 解：取整体分析解：取整体分析 0,0 xAxF FFF ()0,21sin60 130 BEGFAy MFFFF F 解得解得5 kN,7.557 kN AxAy FF A B C D E F G FEFG FF 1 2 3 A B C D E F G

51、FEFG FF 1 2 3 A B C D E F G FEFG FF 1 2 3 2 2 、截面法、截面法 A B C D E F G FEFG FF 1 2 3 A FE CD E 解得解得 123 8.726 kN,2.821kN,12.32 kNFFF 作一截面作一截面m m n n将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的 三根杆都受拉力，受力如图所示，为一平面任意力系。三根杆都受拉力，受力如图所示，为一平面任意力系。 1 ()0,sin60 110 EAy MFF F 2 0,sin600 yAyE FFFF 3 1 (

52、)0,sin60 11.5sin60 10 2 DEAyAx MFFFF F 求得求得1 1杆受力为负值，说明杆受力为负值，说明1 1杆受压。杆受压。 F1 FAy FAx F2 F3 求：求： ，杆所受力。，杆所受力。 解：解：求支座约束力求支座约束力 Ay F 0 iy F By F 0 iy F 从从1，2，3杆处截取左边部分杆处截取左边部分 2 F 0 C M 1 F 0 ix F 3 F 已知：已知：P P1 1, ,P P2 2, ,P P3 3, ,尺寸如图。尺寸如图。 3、 截面法与节点法的综合应用 0 B M 取节点取节点 0 ix F 0 iy F 5 F 4 F 若再求若

53、再求, ,杆受力杆受力 三杆节点无载荷、其中两杆在三杆节点无载荷、其中两杆在 一条直线上，另一杆必为零力杆。一条直线上，另一杆必为零力杆。 12 SS且 四杆节点无载荷、其中两两在四杆节点无载荷、其中两两在 一条直线上，同一直线上两杆一条直线上，同一直线上两杆 内力等值。内力等值。 12 SS 34 SS 两杆节点无载荷、且两杆不在两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零力杆。一条直线上时，该两杆是零力杆。 特殊杆件的内力判断特殊杆件的内力判断 0 21 SS 例例 三无重杆三无重杆ACAC、BDBD、CDCD如图铰接，如图铰接，B B处为光滑处为光滑 接触，接触，ABCDABCD

54、为正方形，在为正方形，在CDCD杆距杆距C C三分之一处三分之一处 作用一垂直力作用一垂直力P P，求铰链，求铰链 E E 处的反力。处的反力。 解：先以整体为研究对象，受力如图。解：先以整体为研究对象，受力如图。 0:0 xAx FF 2 ()0:0 3 AB MF lPlF 解得：解得： 1 3 Ay FP 2 3 B FP P l D l 2l/3 C AB E P FAx FAy FB 0:0 yAyB FFFP D C A B E E P D 2l/3 C B 下面用不同的方法求铰链下面用不同的方法求铰链 E E 的受力。的受力。 方法方法1 1：先以：先以DCDC为研究对象。为研究

55、对象。 2 ()0:0 3 DCy l MFlP F 2 3 Cy FP 再以再以BDCBDC为研究对象。为研究对象。 0:0 yEyBCy FFFFP 1 3 Ey FP ()0:0 232 CExEy lll MFPFF Ex FP 类似地，亦可以类似地，亦可以DCDC为研究对象，求为研究对象，求F FDy Dy，再以 ，再以ACDACD为研究对象求解。为研究对象求解。 P D 2l/3 CFDx FDy FCx FCy FB FEx FEy FCx FCy 方法方法2 2：分别以：分别以ACDACD和和ACAC为研究对象。为研究对象。 ()0: D MF 2 0 223 AxExEy lll F lFFP 0 22 AxAyExEy ll F lF lFF 联立求解以上两方程即得同样结果。联立求解以上两方程即得同样结果。 类似地，亦可以类似地，亦可以BDCBDC和和BDBD为研究对象，为研究对象， 进行求解。进行求解。 P 2l/3 D C A EFEx FEy FDx FDy FAx FAy C A E FAx FAy FEx FEy FCx FCy ()0: C MF 方法方法3 3：分别以：分别以BDBD和和ACAC为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。 2 2 0 2 BE F lFl 2