模糊数学2009-3(表现定理,模糊统计)

1、吉林大学计算机科学与技术学院1 模糊数学 孙舒杨孙舒杨 Email. Email. 吉林大学计算机科学与技术学院2 作业答案作业答案 吉林大学计算机科学与技术学院3 n证明性质证明性质5（分配律）（分配律） (AB)C=( AC)(BC) 吉林大学计算机科学与技术学院4 0.10.60.9 0.90.50.710.60.2 , , , , , , , Ua b c d e fA abcdef AAA 设 求截集 0.1 , , , , , Aa b c d e f= 0.6 , , , Aa c d e 0.9 , Aa d 吉林大学计算机科学与技术学院5 0.75 2 1 ,( ), 14

2、uU A uA u 设求截集 0.75 11 , 2 3 2 3 A 吉林大学计算机科学与技术学院6 0,1 AA 分解定理： 0.10.30.50.91 2,1,7,6,9, 21769 UA A 设论域 应用分解定理将模糊集 进行分解 0.10.30.50.91 0.10.30.50.91AAAAAA 根据分解定理，可分解为： 吉林大学计算机科学与技术学院7 内容回顾内容回顾 n截集、强截集截集、强截集 n分解定理分解定理 n分解定理分解定理 n分解定理分解定理 吉林大学计算机科学与技术学院8 分解定理分解定理 n设设AF(X) ，令，令 0,1 1212 :0,1(),( ) ( ) (

3、0,1) ( ) 2)()() 3)( ) (0), ( ) (1) HP XH AHA AH HH AHAH 满足，则 1) 吉林大学计算机科学与技术学院9 1-6 集合套集合套 吉林大学计算机科学与技术学院10 分解定理分解定理中的套中的套 n由分解定理由分解定理可知，集合族可知，集合族 H() | 0,10,1随随而而一个套一个一个套一个 地变化。地变化。 吉林大学计算机科学与技术学院11 集合套定义集合套定义 n定义：若集合映射定义：若集合映射H:0,1P(U)满满 足足 1 ,20,10,1，若有，若有1 满满足足H3()条条件件A H3() A nQuestion：上面哪个是集合套

4、？：上面哪个是集合套？ 吉林大学计算机科学与技术学院13 是集合套吗？是集合套吗？ n例例2.设设U=u1 ,u2 ,u3 ,u4 ,u5，U上上 有两个集值映射有两个集值映射H1和和H2 ,判断哪个判断哪个 是集合套是集合套 12 (1,1,1,1,1),00.2(1,1,1,1,1),00.4 (1,0,1,1,1),0.20.5(1,0,1,1,1),0.40.5 ( )(1,0,1,1,0),0.50.6( )(1,1,1,1,0),0.50.6 (0,0,0,1,0),0.60.8(1,1,1,0,0),0.6 (0,0,0,0,0),0.81 HH 0.8 (0,1,1,0,0),

5、0.81 吉林大学计算机科学与技术学院14 回到分解定理回到分解定理 n分解定理：分解定理：A= 0,1A n说明：一个说明：一个模糊集模糊集可以可以由由自己分解自己分解 出来的出来的集合套集合套来来表示表示 nQuestion. 反之是否成立？反之是否成立？ n任给出一个集合套，能否表示一个模任给出一个集合套，能否表示一个模 糊集？糊集？ 吉林大学计算机科学与技术学院15 1-7 表现定理表现定理 吉林大学计算机科学与技术学院16 表现定理表现定理 n设设Hu( (U) )，则，则 0,1H() 是是U上一个模糊集，记作上一个模糊集，记作A，且，且 ,0,1，有有 ( ),0; ( ),1

6、AH AH 吉林大学计算机科学与技术学院17 表现定理的证明表现定理的证明 0,1 0,1 (0,1,( )() ( )()( )() ( ) HHP U HF UHF U AH ）是一个集合套 记 吉林大学计算机科学与技术学院18 表现定理的证明表现定理的证明 ( )( ) 12 HAHA 由分解定理可知， 若满足 则 ，式均成立。 吉林大学计算机科学与技术学院19 表现定理的证明表现定理的证明 0,1 0,10,1 000 000 0 0,1 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) 0,1,()( ) ()( )1() ()( ) uAA uA uHu HuHu Hu HuH

7、uHH 使得 且（因为是一个经典集合） 吉林大学计算机科学与技术学院20 表现定理的证明表现定理的证明 0,1 0,1 ( )( )( )1( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) uHHuHu A uHuHu Hu A uuAHA 因为 证毕 吉林大学计算机科学与技术学院21 表现定理的推论表现定理的推论 n推论：设推论：设Hu( (U) ),记记 A= 0,1H()， ，则则 n 0,1， A H() A nA(u)=sup | uH(), 0,1 吉林大学计算机科学与技术学院22 表现定理的例子表现定理的例子 n设论域设论域X=-1,1，集合套为，集合套为

8、 H()=-1,1-, 0,1 求求由由H所得的模糊集所得的模糊集A的隶属函数的隶属函数 n计算计算 吉林大学计算机科学与技术学院23 例子答案例子答案 ( ) ( ) ( ) ( ) 1,0,( ),1 1( )1 0,1,( ), 1( )1 1, 1,0 ( ) 1,0,1 x H x H x H A x xxHx xA xx xxHx xA xx xx A x x x 考虑要想必须 考虑要想必须1- 吉林大学计算机科学与技术学院24 课堂作业课堂作业 n设有设有R=-1,1中的集合套中的集合套 H()=2-1,1- 2 ， 0,1 求求由由H所得的模糊集所得的模糊集A的隶属函数的隶属函

9、数A(x)， 并作图。并作图。 吉林大学计算机科学与技术学院25 1-8. 隶属函数的确定隶属函数的确定 吉林大学计算机科学与技术学院26 隶属度从何而来？隶属度从何而来？ n模糊数学的基本思想：模糊数学的基本思想： n隶属度（隶属程度）隶属度（隶属程度） nQuestion. 元素属于模糊集合的隶属度元素属于模糊集合的隶属度 从何而来？从何而来？ n主观臆造？主观臆造？ n客观存在？客观存在？ n隶属度是客观存在的！隶属度是客观存在的！ 吉林大学计算机科学与技术学院27 模糊数学的关键问题模糊数学的关键问题 如何确定隶属函数如何确定隶属函数 吉林大学计算机科学与技术学院28 隶属函数的确定隶

10、属函数的确定 主要方法：主要方法： n模糊统计法模糊统计法 n模糊分布模糊分布 吉林大学计算机科学与技术学院29 隶属函数确定方法之一隶属函数确定方法之一 模糊统计法模糊统计法 吉林大学计算机科学与技术学院30 确定确定“青年人青年人”的隶属函数的隶属函数 n以人的年龄作为论域以人的年龄作为论域U，调查，调查n个人选个人选 n请他们认真考虑请他们认真考虑“青年人青年人”的含义后，的含义后， 提出自己认为提出自己认为“青年人青年人”最合适的年龄最合适的年龄 区间区间 n对于确定年龄（如对于确定年龄（如27），若），若n个人选中，个人选中， 有有m个人的年龄区间覆盖个人的年龄区间覆盖27，则称，则

11、称m/n 为为27对于对于“青年人青年人”的的隶属频率隶属频率 n随着随着n的增加，隶属频率趋于稳定。的增加，隶属频率趋于稳定。 吉林大学计算机科学与技术学院31 张南纶的实验张南纶的实验 n在武汉建材学院进行大规模抽样调在武汉建材学院进行大规模抽样调 查，请被抽取的大学生给出查，请被抽取的大学生给出“青年青年 人人”的区间的区间 n随机抽取随机抽取129人的结果人的结果 吉林大学计算机科学与技术学院32 吉林大学计算机科学与技术学院33 吉林大学计算机科学与技术学院34 27的隶属频率的隶属频率 n稳定在稳定在0.78附近附近 nA(27)=0.78 吉林大学计算机科学与技术学院35 模糊统

12、计模糊统计 模糊统计就是做模糊统计就是做n次试验，然后计算一下，次试验，然后计算一下， 随着随着n增大，隶属频率趋于稳定，该频增大，隶属频率趋于稳定，该频 率稳定值称为率稳定值称为u0对对A的隶属度的隶属度 n A limA *0 0 的次数 的隶属频率对 u u n 吉林大学计算机科学与技术学院36 “青年人青年人”的隶属函数的隶属函数 n模糊集合模糊集合A=“青年人青年人”的隶属函数？的隶属函数？ n将论域将论域U分组分组 n每组以其每组以其“中值中值”为代表，计算各为代表，计算各 组的隶属频率组的隶属频率 吉林大学计算机科学与技术学院37 吉林大学计算机科学与技术学院38 “青年人青年人

13、”隶属函数曲线隶属函数曲线 吉林大学计算机科学与技术学院39 重复实验重复实验 n用同样的方法用同样的方法 n在另外两个单位做实验在另外两个单位做实验武汉大武汉大 学，西安工学院学，西安工学院 n得到如下曲线得到如下曲线 吉林大学计算机科学与技术学院40 三所大学的调查三所大学的调查 吉林大学计算机科学与技术学院41 模糊统计的实验原则模糊统计的实验原则 n被调查人员一定要对模糊词汇的概被调查人员一定要对模糊词汇的概 念很熟悉，且能够用数量近似表达念很熟悉，且能够用数量近似表达 这一个概念。这一个概念。 n必须对原始数据进行初步分析，删必须对原始数据进行初步分析，删 除明显不合逻辑的数据。除明

14、显不合逻辑的数据。 吉林大学计算机科学与技术学院42 1-9. 模糊统计与概率统计模糊统计与概率统计 吉林大学计算机科学与技术学院43 模糊数学模糊数学 vs. 概率论概率论 n形式上类似：形式上类似： n用确定性手段研究不确定现象用确定性手段研究不确定现象 n不确定性的度量（隶属度与概率）均不确定性的度量（隶属度与概率）均 在在0，1取值取值 n不同的数学模型不同的数学模型 吉林大学计算机科学与技术学院44 概率统计概率统计 n概率：一个事件发生的概率可以通过概率：一个事件发生的概率可以通过 概率统计方法得到，即概率统计方法得到，即做大量的做大量的 随机试验，最后得到统计规律随机试验，最后得

15、到统计规律 n lim 发生的次数 发生的概率 A A n 吉林大学计算机科学与技术学院45 随机实验基本要求随机实验基本要求 n每次实验中，事件每次实验中，事件A发生（或不发发生（或不发 生）必须是确定的。生）必须是确定的。 吉林大学计算机科学与技术学院46 模糊统计实验基本要求模糊统计实验基本要求 nA*是每次实验所确定的普通集合是每次实验所确定的普通集合 n对于论域上一个固定的元素对于论域上一个固定的元素u0，判，判 断它是否属于论域上一个可变动的断它是否属于论域上一个可变动的 普通集合普通集合A* n在所有实验中，在所有实验中， nu0是固定的是固定的 n普通集合普通集合A*在随机变动

16、在随机变动 吉林大学计算机科学与技术学院47 概率统计与模糊统计概率统计与模糊统计 n形式上形式上 n模糊统计类似于概率统计，都是模糊统计类似于概率统计，都是 用确定性手段研究不确定性用确定性手段研究不确定性 n实质上实质上 n模糊统计是对论域上固定的元模糊统计是对论域上固定的元u0 是否属于论域上一个可变动的普是否属于论域上一个可变动的普 通集合通集合A*，作一个确切的判断，作一个确切的判断 吉林大学计算机科学与技术学院48 概率统计概率统计 n研究对象：随机研究对象：随机 现象现象 n确定：确定：事件本身事件本身 含义明确含义明确 n不确定：不确定：事件的事件的 发生与否存在不发生与否存在不 确定性确定性 n这种不确定性称这种不确定性称 为为 模糊统计模糊统计 n研究对象：模糊研究对象：模糊 现象现象 n模糊：模糊：事物的概事物的概 念本身是模糊