第6章 弯曲应力

1、 m m M m m m m M FF aa C D + + F F + F. a 图图 6-1 AB Fig 6-1 纯弯曲与横力弯曲 FF aa C D + + F F + F. a A B 试验现象试验现象 横线仍为直线横线仍为直线，仍与纵线正交仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短，靠底部纵靠顶部纵线缩短，靠底部纵 线伸长线伸长 纵线伸长区，截面宽度纵线伸长区，截面宽度减小减小, , 纵线缩短区，纵线缩短区，截面截面宽度宽度增大增大 弯曲假设弯曲假设 横截面变形后仍保持平面, 仍与纵线正交弯曲平面假设弯曲平面假设 各纵向”纤维” ,处于单向受力状态单向受力假单向受力假 设设 （纯弯与正弯矩作用）

2、（纯弯与正弯矩作用） 推推 论论 梁内存在一长度不变的过渡层中性层中性层 横截面间绕中性轴相对转动 中性轴截面纵向对称轴 dx y z x o dx d d y z y x o o b b y bb o o bb dy xbbd oo oo d yy d dd)( M y z O x E y E y y z x O M z y FN Mz My dA dA dA z y AA AFdd N N F y M z M AA y AzMdd AA z AyMdd 0 0 M N dF y Md z Md z IE M 1 0d N A y EF A 0d A Ay E 0d A Ay z S 0d

3、A y zEM A y 0d A Ayz E 0d A Ayz yz I MA y yEM A z d MI E z MAy E A d 2 z EI M 1 y E y z I My z I My 讨论讨论 I yM z max max W M max max y I W z b h z y z d y z D d y 322/ 64/ 2/ 34 d d d d I W z 62/ 12/ 2/ 23 bh h bh h I W z D d D W )1( 32 4 3 z y ycmax ytmax M ytmax ycmax z I My maxc maxt I My z c c ma

4、x max I My z t t max max 一些易混淆一些易混淆的的概念概念 平面弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横平面弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横 向外力时的受力与向外力时的受力与 变形形式变形形式 纯纯 弯弯 曲梁或梁段各横截面的剪力为零曲梁或梁段各横截面的剪力为零 弯矩为常数的受力状态弯矩为常数的受力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界线中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过横截面形心的坐标轴形心轴通过横截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲代表梁截面几何性质对

5、弯曲 强度的影响强度的影响 中性轴中性轴与与形心轴形心轴 平面弯曲平面弯曲与与纯弯曲纯弯曲 截面弯曲刚度截面弯曲刚度与与抗弯截面系数抗弯截面系数 例例 1 梁用梁用18 工字钢工字钢 制成制成, Me=20 kNm, E=200 GPa。 计算：最大计算：最大弯曲正弯曲正应力应力 max , 梁轴曲率半径梁轴曲率半径 解：解：1. 工字钢工字钢 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 （GB 706-88） 45 m 1066. 1 z I 34 m 1085. 1 z W 18 工字钢：工字钢： 2. 应力计算应力计算 3. 变形计算变形计算 mkN

6、 0 .20 e MM Me=20 kNm，E=200 GPa，求求 max 与与 45 m 1066. 1 z I 34 m 1085. 1 z W MPa 1 .108 max z W M z EI M 1 m 166 M EI z v课堂讨论： v纯弯曲梁横截面为什么是平截面？ v作业布置： vP 129 习题 6.1.3 W xM z )( 5 h l max max W M max M W max WM max W M ct maxmaxct max tt maxcc A C B F a 2a 20 30 14 FRA FRB Fa cm07. 1 12 )cm2)(cm4 . 1(

7、 12 )cm2)(cm3( 33 z I cm07. 1 1cm cm07. 1 4 max y I W z z max z WM kN3 a W F WFa z z 80 y1 y2 20 20 120 z F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m RARB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m - + 4kN 2.5kN kN52.RA kN510.RB mkN5 . 2 MC mkN4 MB MPa2 .27 1 max t z B t I y M MPa2 .46 2 max c z B c I y M MPa8 .28 2 max t z C t I y

8、 M 80 y1 y2 20 20 120 z 例例4. 4. 图示矩形截面简支梁，材料容许应力图示矩形截面简支梁，材料容许应力 10MPa10MPa，已，已 知知q q4KN/m4KN/m，若采用截面高宽比为，若采用截面高宽比为h/bh/b5/35/3，试求梁横截面，试求梁横截面 尺寸尺寸h h和和b b？ + 8 2 ql l/2 8 2 2 max ql MM l x 4 6 3 max 108 1010 108 M WZ 62 12 2 3 max bhh bh y I W Z Z 4 3 108 54 25 3 5 b Wbh z 12. 0 25 10854 3 4 b m3 m3

9、 m=12mm h=20mm m n n m x y z o b dx m m h n A B B1 A1 mn x z y y m q(x) F1F2 m m n n xdx y A B A1B1 FN2 FN1 m n n m x y z o y A B A1 B1 b dx m m h n A B B1 A1 mn x z y y m FN1 FN2 dFS A B B1 A1 mn x z y y m FN1 FN2 dFS * d 11N A AF Ay I M A I My A z A z dd *1 1 * z z S I M * 22N d d *z z A S I MM AF

10、 * d 1 * A z AyS Ad 1 * 1Nz z S I M F * 2N d z z S I MM F xbFdd S 0 x F 0d S1N2N FFF b I S x M z z * d d S d d F x M bI SF z zS * A* A B B1 A1 mn x z y y m FN1 FN2 dFS Ad 1 b bI SF z z S * y A* z z I Sz * Sz * yd 1 y1 n B m A x y z Oy A1B1 m1 * d 1 * A z AyS ) 4 ( 2 1d 2 2 2/ 1 y hb yby h y ) 4 ( 2

11、2 2 S * S y h I F bI SF zz z z bh F bh h F I h F z S 3 2 S 2 S max 2 3 12 8 8 A F 2 3 S max z y y A z yAAy S d H o yB xb z h bI SF z z S * O z y dx y A* Sz * 8 )( 8 22 S max h bB BH bI F z o z y minmax bh FS bI SF z z S * o max z y b I SF z zS * max max Sz * max 例例 5 FS = 15 kN，Iz = 8.84 10- 6 m4， ，

12、b = 120 mm，d d 20 20 mm， yC = 45 mm。试试求求 ： max ；腹腹 板与翼缘交接处切应力板与翼缘交接处切应力 a 35 2 max m 10039 2 )( . yb S C ,z d dd d MPa 667 maxS max . I SF z ,z d d 3-5 , m 108.402/ Caz ybSdd MPa 137 S . I SF z a a d d F + 37.5kNm 5m AB 2.5m F C mkN5 .37 max M 3 cm237 Wz MPa158 max max W M z + FSmax 5m AB F C kN30 m

13、axS F R F A cm2 .17 * max S I z z MPa9 .24 )( * max, maxS * max, maxS max d S I F d I S F z z z z q B A CDE l F F a a RA RB 8kN 210kN 208kN 41.8kNm 41.8kNm 45kNm 3 6 3 max cm281 10160 1045 M Wz ,cm9 .18 * max z z S I MPa100MPa148 1075. 0109 .18 10210 22 3 maxmaxS max bI SF z z ,cm3 .21 * max z z S I

14、 MPa100MPa6 .98 101103 .21 10210 22 3 max q=3.6kN/m L=3m 例例8 矩形(bh=0.12m0.18m）截 面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪 应力之比,并校核梁的强度。 解：画内力图求危面内力 Q 2 qL 2 qL + x x M + 8 2 qL N5400 2 33600 2 max qL Q Nm4050 8 33600 8 22 max qL M 求最大应力并校核强度 应力之比 7 .16 3 2 max max max h L Q A W M z q=3.6kN/m x M + 8 2 qL Q

15、 2 qL 2 qL + x 7MPa6.25MPa 18. 012. 0 405066 22 maxmax max bh M W M z 0.9MPa0.375MPa 18. 012. 0 54005 . 1 5 . 1 max max A Q max max W M z F l F aa l q l q 32 3 1 D Wz )2/(, 4 1 2 2 1 Daa D 1 32 2 1.18 6 )( 6 zz W Rbh W z D z a a a1 2a1 z 11 2 1 2 1 2,2 4 Daa D 1 3 1 2 3 67. 1 6 4 6 zz W abh W 12 2 2

16、 2 2 2 1 05. 1,6 . 18 . 02 4 Daaa D 14 57. 4 zz WW 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z F b h W W 2 1 b h 6 2 1 bh W b h 6 2 2 hb W z 2 1 2 max 1 max max max c t z z c t y y I y M I y M b h(x) z F l/2l/2 )() 6 1 ( ) 2 ( )( )( 2 max xbh x F xW xM 3 )( b Fx xh 2 2 3 2 3 min S max bh F A F 4 3 min b F h b h(x) z F l/2l/2 3 )( b Fx xh F 1、图示截面，在圆截面中挖去一正方形，已知圆截面的直径为D，正方形 的边长为a，其惯性矩 = y I 2、梁的截面为T字型，Z轴通过横截面的形心，弯矩图如图所示，则有( )。 A.最大拉应力和最大压应力位于同一截面C B.最大拉应力位于截面C C.最大压应力位于截面C D.最大拉应力和最大压应力位于同一截面D 3、一悬臂粱及其T形截面如图所示，其中C为截面形心。该梁横截面