材料力学(I)第五章

1、1 第第 5 章章 梁弯曲时的位移梁弯曲时的位移 2 5-1 梁的位移梁的位移 取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴轴 ， 横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为 y 轴轴 ， x y 平面为纵向对称平面平面为纵向对称平面 一、梁的挠度和转角一、梁的挠度和转角 B x y A B C/ C w 挠度挠度 转角转角 3 横截面形心横截面形心 C (即轴线上的点即轴线上的点)在垂直于在垂直于 x 轴方轴方 向的线位移向的线位移 横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移 , 挠度（挠度（ ）: 转角（转角（ ） ： 挠曲线挠曲线 挠度

2、：向下为正，向上为负。挠度：向下为正，向上为负。 转角：逆时针转为正，顺时针转为负。转角：逆时针转为正，顺时针转为负。 B x y A B C/ C w 挠度挠度 转角转角 4 挠曲线方程挠曲线方程: )(xfw 小变形时小变形时 tan w dx dw 挠曲挠曲 线线 B x y A B C/ C w 挠度挠度 转角转角 5 )( )1 ( | | )( 1 2 3 2 b w w x 5 52 2、 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 EI M 1 )( )( )( 1 a EI xM x 横力弯曲时横力弯曲时, M 和和 都是都是x的函数的函数 。 推导正应力公式推导正应力公式

3、 纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系为与弯矩的关系为 由几何关系知由几何关系知, 平面曲线平面曲线 的曲率可写作的曲率可写作)(xfw 6 再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w ， 正弯矩对应于负值的正弯矩对应于负值的w ，故从上列两式应有，故从上列两式应有 EI xM w w 2/3 2 1 7 EI xM w w)( )1 ( 2 3 2 与与 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计, 故上式可近似为：故上式可近似为： 2 w EI xM w )( 此式称为此式称为 近似原因近似原因 : (1) 略去了剪力的影响略去了剪力的

4、影响 ; (2) 略去了略去了w 2 项。项。 8 再积分一次再积分一次, 得挠曲线方程得挠曲线方程 上式积分一次得转角方程上式积分一次得转角方程 若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成 )( xMEIw 1 )(CdxxMEIw 21 )(CxCdxdxxMEIw 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 EI xM w )( 1 )(CdxxMEI 9 A B (a) 在悬臂梁在悬臂梁 中，中， 在简支梁中在简支梁中 0 wA0 wB 0 wA 0 A A B (b) 左右两铰支座处的挠度左右两铰支座处的挠度 wA 和和 wB 都应等于

5、零。都应等于零。 固定端处的挠度固定端处的挠度 和转角 和转角 A都应等于零。都应等于零。 式中积分常数式中积分常数C1 、C2可通过梁挠曲线的边界条件来确定。可通过梁挠曲线的边界条件来确定。 10 试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角 max。梁的。梁的EI 为常量。为常量。 例题例题 5-1 11 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方该梁的弯矩方 程为程为 挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为 通过两次积分得通过两次积分得 )1(xlFxM )

6、2(xlFxMwEI )3( 2 1 2 C x lxFwEI )4( 62 21 32 CxC xlx FEIw (b) 例题例题 5-1 解解: 12 2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程 转角方程转角方程)5( 2 2 EI Fx EI Fxl w 挠曲线方程挠曲线方程 )6( 62 32 EI Fx EI lFx w 由由(3)、(4)两式得两式得00 21 CC， 该梁的边界条件为：在该梁的边界条件为：在 x = =0 处处 w=0 ，w =0 将将C1和和C2代入代入(3)、(4)两式，得两式，得 例题例题 5-1 13 根据该梁边界条

7、件和全梁横截面上弯矩均为负值，根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 描出挠曲线的示意图描出挠曲线的示意图(图图c)。 转角方程转角方程)5( 2 2 EI Fx EI Fxl w 挠曲线方程挠曲线方程 )6( 62 32 EI Fx EI lFx w (c) 例题例题 5-1 14 由挠曲线可见，该梁的由挠曲线可见，该梁的 max和和wmax均在均在x=l的的 自由端处。由自由端处。由(5)、(6)两式得两式得 EI Fl EI Fl EI Fl ww lx 362 | 333 max 22 | 222 max EI Fl EI Fl EI Fl lx 2. 求求 max和和wmax

8、(c) 例题例题 5-1 15 试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，并 确定其最大挠度确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角 max。梁的梁的EI为常为常 量。量。 例题例题 5-2 16 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。列挠曲线近似微分方程，并积分。 支反力支反力FA=FB=ql/2 挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为 通过两次积分得：通过两次积分得： )1( 22 1 2 22 xlx q qxx ql xM )2( 2 2 xlx q xMwEI )3( 322 1 32 C xlxq wEI )4( 1262 21 43 CxC

9、xlxq EIw 弯矩方程为弯矩方程为 例题例题 5-2 解解: 17 2. 确定积分常数。确定积分常数。 该梁的边界条件为：该梁的边界条件为： 在在 x=0 处处 w=0， 在在 x=l 处处 w=0 把边界条件分别代入把边界条件分别代入(4)式，得式，得 0 1262 | 0 1 44 2 lC llq EIwC lx 及及 解得解得 0 24 2 3 1 C ql C， 例题例题 5-2 18 将将C1和和C2代入代入(3)、(4)两式，得两式，得 转角方程转角方程 )5(46 24 323 xlxl EI q w 挠曲线方程挠曲线方程 )6(2 24 323 xlxl EI qx w

10、例题例题 5-2 19 3. 求求 max和和wmax 根据挠曲线的对称性可知，两支座处的转角根据挠曲线的对称性可知，两支座处的转角 A及及 B 的绝对值相等，且均为最大值。 的绝对值相等，且均为最大值。 将将x=0及及x=l代入代入(5)式，得式，得 最大挠度在跨中，将最大挠度在跨中，将x=l/2代入代入(6)式，得式，得 EI ql BA 24 3 max EI qlll ll EI lq ww lx 384 5 22 2 24 2 | 4 32 3 2max 例题例题 5-2 20 试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程， 并确定其最大挠度并确定其最大

11、挠度wmax和最大转角和最大转角 max。梁的。梁的EI 为常量为常量 例题例题 5-3 21 约束力约束力为为 两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x) 时时仍取仍取x截面左边的梁段为分离体，使方程截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中中 的第一项与方程的第一项与方程M1(x)中的项相同。且不要把中的项相同。且不要把M2(x) 中的中的F(x-a)展开。展开。 l a FF l b FF BA ， lxaaxFx l b FaxFxFxM A 2 1.分段列弯矩方程分段列弯矩方程 axx l b Fx

12、FxM A 0 1 例题例题 5-3 解解: 22 2. 分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分： 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 x l b FxMwEI 11 积分得积分得 )1( 2 1 2 1 C x l b FwEI )2( 6 11 3 1 DxC x l b FEIw axFx l b FxMwEI 22 )1( 22 2 2 2 2 C axFx l b FwEI )2( 66 22 3 3 2 DxC axFx l b FEIw 左段梁左段梁右段梁右段梁 ax 0 lxa 例题例题 5-3 23 值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时

13、，值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时， 对于含有对于含有(x- -a)的项是以的项是以( (x- -a) )作为积分变量进行积作为积分变量进行积 分的，因为这样可在运用连续条件，即分的，因为这样可在运用连续条件，即x=a时，时， w1 =w2及及w1=w2，由，由(1)、(1)和和(2)、(2)式得式得C1=D1， C2=D2 。 3. 确定积分常数确定积分常数 例题例题 5-3 24 再利用支座位移条件，再利用支座位移条件， 即：即： 在在x=0处处 w1=0， 在在 x=l 处处 w2=0 由两个连续条件得：由两个连续条件得： 2121 DDCC ， 由由(2)式，得式，得 0 1 D

14、0 2 D从而也有从而也有 例题例题 5-3 25 将将x=l，代入，代入(2)式，得式，得 0 6 | 2 3 3 2 lC alF b l l b FEIw lx 即即 22 2 6 bl l Fb C 从而也有从而也有 22 1 6 bl l Fb C 例题例题 5-3 26 将将C1、C2、D1、D2代入代入(1)、(1)和和(2)、(2)式式得两得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：段梁的转角方程和挠曲线方程如下： 左段梁左段梁右段梁右段梁)0(ax )(lxa )3( 3 1 2 222 11 xbl lEI Fb w )4( 6 222 1 xbl lEI Fbx w )3( 3

15、 1 2 222 2 22 blxax b l lEI Fb w )4( 6 223 3 2 xblxax b l lEI Fb w 4. 建立转角方程和挠度方程建立转角方程和挠度方程 例题例题 5-3 27 左、右两支座处截面的转角分别为左、右两支座处截面的转角分别为 lEI blFab lEI blFb xA 66 | 22 01 lEI alFab lxB 6 | 2 当当ab时有时有 )5( 6 max lEI alFab B 5. 求求 max和和wmax 例题例题 5-3 28 )6( 3 2 3 22 1 baabl x 根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当根据图中所示挠曲线的大

16、致形状可知，当ab 时，最大挠度时，最大挠度wmax可能发生在可能发生在AD段的段的 =0处，处， 令，令， 得得0 1 w 1 w ab时，时，x1a，可见，可见 w发生在发生在AD段，即段，即 wmax发生在发生在AD段。段。 例题例题 5-3 29 将将x1的表达式的表达式(6)代入左代入左 段梁的挠曲线方程段梁的挠曲线方程(4)得得 )7( 39 | 3 22 1max 1 bl lEI Fb ww xx 例题例题 5-3 30 由由(7) 式还可知，当集中式还可知，当集中 荷载荷载F作用在右支座附近作用在右支座附近 时，时，b值甚小，以致值甚小，以致 b2 和和 l2 相比可略去不计

17、，则有相比可略去不计，则有 EI Fbl EI Fbl w 22 max 0642. 0 39 它发生在它发生在 处。而处。而 处处 ( (跨中点跨中点C) )的挠度的挠度wC为为 l l x577. 0 3 1 l l x500. 0 2 EI Fbl EI Fbl bl EI Fb ww lxC 22 22 21 0625. 0 16 43 48 | 6. 求求wmax的近似表达式的近似表达式 例题例题 5-3 )7( 39 | 3 22 1max 1 bl lEI Fb ww xx 31 当集中荷载当集中荷载F作用于简支梁的跨中时作用于简支梁的跨中时(a=b=l/2)， 最大转角最大转角

18、 max和最大挠度和最大挠度wmax为为 EI Fl BA 16 2 max EI Fl ww C 48 3 max 可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情 况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因因 此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点 都可以用跨中挠度代替最大挠度。都可以用跨中挠度代替最大挠度。 例题例题 5-3 32 5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范

19、围 内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线 性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干性关系。在此情况下，当梁上有若干荷载或若干 种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就 等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠 度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的叠叠 加原理加原理( (principle of superposition) )。 33 悬臂梁和简支梁在简单荷载悬臂梁和简支梁在简单荷载( (集中荷载，集中集中荷载，集

20、中 力偶，分布荷载力偶，分布荷载) )作用下，悬臂梁自由端的挠度和作用下，悬臂梁自由端的挠度和 转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转 角的表达式已在本教材的附录角的表达式已在本教材的附录中以及一些手册中以及一些手册 中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往 可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的 挠度和转角。挠度和转角。 34 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面所示简支梁的跨中截面 的挠度的挠度 wC 和两端截面的转角和两端截面的转角 A

21、 及及 B。已知。已知EI 为常量。为常量。 例题例题 5-4 35 为了能利用简单荷载作用为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式，下梁的挠度和转角公式， 将图将图a所示荷载视为与跨所示荷载视为与跨 中截面中截面C正对称和反对称正对称和反对称 荷载的叠加荷载的叠加(图图b)。 例题例题 5-4 解解: 36 在集度为在集度为q/2的正对称均的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的布荷载作用下，查有关梁的 挠度和转角的公式，得挠度和转角的公式，得 EI ql EI lq wC 768 5 384 2/5 44 1 4824 2/ 33 1 EI ql EI lq B 4824 2/ 33 1

22、EI ql EI lq A C A1 B1 wC 例题例题 5-4 37 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零， 而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零， 因此可将左半跨梁因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁和右半跨梁 CB分别视为分别视为 受集度为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简的简 支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得 38424 2/2/ 3 3 22 EI ql EI lq BA 在集度为在集度为q/2的反对称均布的反对称均布 荷载作用下，由于挠曲线也是荷载作用下，由于挠曲线也是 与跨中截面反对称的，故有与跨中截面反对称的，故有 0 2 C w C A2