球的内切与外接问题讲课

1、 二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切 定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体， 这个球是这个多面体的这个球是这个多面体的外接球外接球。 定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体， 这个球是这个多面体的这个球是这个多面体的内切球内切球。 一、复习一、复习球体的体积与表面积球体的体积与表面积 3 4 3 VR 球球 2 4SR 球球面面 解决解决

2、“接切接切”问题的关键是画出正确的问题的关键是画出正确的， 把空间把空间“接切接切”转化为平面转化为平面“接切接切”问题问题 正方体的内切球正方体的内切球 正方体的正方体的内切内切 球球的半径是棱的半径是棱 长的一半长的一半 正方体的外接球正方体的外接球 正方体的正方体的外接外接 球球半径是体对半径是体对 角线的一半角线的一半 A AB B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 正方体的棱切球正方体的棱切球 正方体的正方体的棱棱 切球切球半径是半径是 面对角线长面对角线长 的一半的一半 ：有三个球：有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球

3、切一球切 于正方体的各侧棱于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点一球过正方体的各顶点,求求 这三个球的体积之比这三个球的体积之比. 1. 已知长方体的长、宽、高分别是已知长方体的长、宽、高分别是 、 、1 ，求长方体的，求长方体的 外接球的体积。外接球的体积。 35 变题：变题： 2. 已知球已知球O的表面上有的表面上有P、A、B、C四点，且四点，且PA、PB、PC两两两两 互相垂直，若互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。，求这个球的表面积和体积。 A C B P O O ：正四面体：正四面体ABCD的棱长为的棱长为a，求，求 其内切球半径其内切球半径r与外接球半径与外接

4、球半径R. ：若正四面体变成正三棱锥，方法：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？是否有变化？ 1 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等球心到多面体各顶点的距离均相等 2 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但 不重合不重合 4 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5 5、体积分割是求内切球半径的通用做法、体积分割是求内切球半径

5、的通用做法 O1 A B E O O1 A B E O 1 例例 、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。面积和球的表面积。 62 23 2 过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面作截面( 如图如图 ) 在正三棱锥中，在正三棱锥中，BE 是正是正BCD的高的高 O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高 62BC 2 1 EO3AE 且且 2 62 4 3 362 2 1 3S 全全 3669 O1 A B E O O1 A B E O 1 2 3 例例 、正三棱锥的

6、高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。面积和球的表面积。 62 设内切球半径为设内切球半径为 r，则，则 OA = 1 r 作作 OF AE 于于 F F Rt AFO Rt AO1E 3 1 2 rr 26 r 6258S 球球 O1 A B E O 1 3 2 3 3 sin 3 6 cos 在在 Rt AO1E 中中 sin cos1 2 tan23 在在 Rt OO1E 中中26OO1 6258S 球球 例例 、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 内有一个球与

7、四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。面积和球的表面积。 62 162 4 3 3 1 V 2 BCDA 26r 6258S 球球 例例 、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全 面积和球的表面积。面积和球的表面积。 62 O A B C D 设球的半径为设球的半径为 r，则，则 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD 32 全全 Sr 3 1 r3223 内切球内切球全全多面体多面体 rS 3 1 V 球的表面积与体积球的表面积与体积 变题变题 作业作业