人教版数学九年级下册教案 28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形

1、28.2.2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形.知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点）2能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题.(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作,即.坡度通常写成m的形式，如i16.坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作，有i=tan显然，坡度越大,坡角就越大,坡面就越陡我们这节课就解决这方面的问题.二、合作探究探究点一:利用方位角解直角三角形【类型一】利用方位角求垂直距离如图所示,A、两城市相距200

2、.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东3和B城市的北偏西45的方向上已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100k为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据:1732,1414).解析：过点P作CA，C是垂足.与C都可以根据三角函数用PC表示出来根据AB的长得到一个关于PC的方程，求出C的长从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区.解:过点P作PCAB,C是垂足.则A30,BPC=4,AC=Ctan30,BC=PCa.CBCAB，PCtan30Ptan450，即C+P=200，解得268km100.答：计划修筑

3、的这条高速公路不会穿越保护区方法总结:解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离,加速了我区农村经济建设步伐如图所示,C村村民欲修建一条水泥公路,将C村与区级公路相连.在公路A处测得村在北偏东0方向，沿区级公路前进00,在B处测得C村在北偏东30方向.为节约资源，要求所修公路长度最短.画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度(结果保留整数)解析：作CDAB于D,在RtAC中，据题意有CAD30，求得D在RtCBD中，据题意有C=0，求得B.又由AD-

4、BD0,从而解得C.解：如图，过点C作CB，垂足落在AB的延长线上,CD即为所修公路,CD的长度即为公路长度.在RACD中，据题意有AD3，tanCAD，ADD.在RtC中，据题意有CBD=6，tanCBD=，=D又AD-B=00，CD-D00，解得D43（m)答：所修公路长度约为43m 方法总结:在解决有关方位角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系,有时所给的方位角并不一定在直角三角形中,需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第题探究点二:利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库

5、大坝的横截面为梯形BCD,坝顶宽BC=3米,坝高为2米，背水坡AB的坡度11,迎水坡CD的坡角ADC为0.求坝底AD的长度.解析:首先过、作EAD、CFD，可得四边形EC是矩形,又由背水坡AB的坡度1,迎水坡D的坡角AD为0,根据坡度的定义，即可求解解:分别过、C作AD、CFD,垂足为E、F，可得BEC，又BCD，BC=EF,E=C.由题意,得EF=C=3，B=C.背水坡AB的坡度i11，E45,AE=2，DF=，=AEEF+DF=232=().答:坝底AD的长度为(5+2）m.方法总结:解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解.变式训练:见学练优本课时练习“课堂达标训

6、练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题 如图，某地下车库的入口处有斜坡B，它的坡度为i=12，斜坡B的长为6m，斜坡的高度为AH（AHC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14(图中的ACB=).（1)求车库的高度A;(2）求点与点之间的距离(结果精确到，参考数据：s140.24，cos409,ta4.25)解析:(1)利用坡度为i12,得出AHBH1，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用ta14=,求出BC的长即可解:(1)由题意可得AHBH12，设AHx，则BH=x,故2(x)2=(6）2,解得x,故车库的高度A为6m;（2)AH6m，BH2AH=m，CC+BH=BC12m.在RtHC中,AHC=90，故taACB=，又ACB1，n14，即0.25=,解得BC=2m答:点B与点C之间的距离是2.方法总结:本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键.变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第题三、板书设计1方位角的意义;2.坡度、坡比的意义；3.应用方位角、坡度、坡比解决实际问题. 将解直角三角形应用到实际生活中