2021年中考数学压轴题提升训练 圆中证明及计算问题

1、2021年中考数学压轴题提升训练 圆中证明及计算问题2021年中考数学压轴题提升训练 圆中证明及计算问题年级：姓名：圆中证明及计算问题【例1】如图，o是abc的外接圆，点o在bc边上，bac的平分线交o于点d，连接bd、cd，过点d作bc的平行线与ac的延长线相交于点p（1）求证：pd是o的切线；（2）求证：abcpbdcd；（3）当ab5 cm，ac12 cm时，求线段pc的长【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接odbadcad，弧bd=弧cd，bodcod90，bcpa，odpbod90，即odpa，pd是o的切线（2）证明：bcpd，pdcbcdbcdbad，badpdc，abd+a

2、cd180，acd+pcd180，abdpcd，badcdp，abcpbdcd（3）bc是直径，bacbdc90，ab5，ac12，由勾股定理得：bc13，由（1）知，bcd是等腰直角三角形，bdcd，abcpbdcdpc【变式1-1】如图，abc内接于o，且ab=ac，延长bc到点d，使cd=ca，连接ad交o于点e（1）求证：abecde；（2）填空：当abc的度数为 时，四边形aoce是菱形；若ae=6，be=8，则ef的长为 【答案】（1）见解析；（2）60；.【解析】（1）证明：连接ce，ab=ac，cd=ca，abc=acb，ab=cd，四边形abce是圆内接四边形，ecd+bce

3、=bae +bce=180，ecd=bae，同理，ced=abc，abc=acb=aeb，ced=aeb，abecde；（2）60；连接ao、oc，四边形abce是圆内接四边形，abc+aec=180，abc=60，aec=aoc=120，oa=oc，oac=oca=30，ab=ac，abc是等边三角形，acb=60，acb=cad+d，ac=cd，cad=d=30，ace=30，oae=oce=60，即四边形aoce是平行四边形，oa=oc，四边形aoce是菱形；由（1）得：abecde，be=de=8，ae=ce=6，d=ebc，由ced=abc=acb，得ecdcfb，=，afe=bfc

4、，aeb=fcb，aefbcf，即，ef=【例2】如图，ab为o的直径，点c为ab上方的圆上一动点，过点c作o的切线l，过点a作直线l的垂线ad，交o于点d，连接oc，cd，bc，bd，且bd与oc交于点e（1）求证：cdecbe；（2）若ab4，填空：当弧cd的长度是 时，obe是等腰三角形；当bc 时，四边形oadc为菱形【答案】（1）见解析；（2）；2【解析】（1）证明：延长ad交直线l于点f，ad垂直于直线l，afc90，直线l为o切线，ocf90，afcocf90，adoc，ab为o直径，adb90，oeb90，ocdb，debe，decbec90，cece，cdecbe；（2）如图

5、2，连接od，由（1）知oeb90，当obe是等腰三角形时，则oeb为等腰直角三角形，boeobe=45，odob，oebd，docboe45，ab4，od2，弧cd的长=；当四边形oadc为菱形时，则addcocao2，由（1）知，bcdc，bc2.【变式2-1】（2019河南南阳一模）如图，四边形abcd是o的内接四边形，o的半径为2，b=135，则弧ac的长为（）a. 2b. c. d. 【分析】根据弧长公式，需先确定弧ac所对的圆心角aoc的度数，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到aoc=2d，根据圆内接四边形对角互补，求出d=180b=45，再代入弧长公式求解即可.【解析】解：

6、四边形abcd是o的内接四边形，d=180b=45，弧ac所对圆心角的度数为：245=90，o的半径为2，弧ac的长为：=，故选b.1.如图，在rtabc中，acb=90，以ac为直径的o，与斜边ab交于点d，e为bc边的中点，连接de.（1）求证：de是o的切线；（2）填空：若b=30，ac=，则bd=当b=时，以o、d、e、c为顶点的四边形是正方形.【答案】见解析.【解析】解：（1）连接od，ac为直径，adc=90，cdb=90，e是bc的中点，de=ce=be，dce=edc，od=oc，ocd=odc，odc+cde=ocd+dce=90，即ode=90，de是o的切线；（2）3；4

7、5，理由如下：b=30，ac=，bca=90，bc= actan30=6，de=3，由b=a=45，oa=od，得ado=aod=45，aod=90，doc=90，又ode=90，四边形odec是矩形，od=oc，四边形odec是正方形.2.已知abc内接于以ab为直径的o，过点c作o的切线交ba的延长线于点d，且daab=12（1）求cdb的度数；（2）在切线dc上截取ce=cd，连接eb，判断直线eb与o的位置关系，并证明【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，连接oc，cd是o的切线，ocd=90da：ab=1：2，da=oc，do=2oc在rtdoc中，sincdo=，cdo=30，即

8、cdb=30（2）直线eb与o相切证明：连接oc，由（1）可知cdo=30，cod=60，oc=ob，obc=ocb=30，cbd=cdb，cd=cb，cd是o的切线，oce=90，ecb=60， 又cd=ce，cb=ce，cbe为等边三角形，eba=ebc+cbd=90，eb是o的切线3.如图，在rtabc 中，acb=90，以 ac 为直径的o与斜边ab交于点d，e为bc边上一点，且de是o的切线（1）求证：be=ec；（2）填空：若b=30，ac=2则de=；当b=时，以o，d，e，c为顶点的四边形是正方形【答案】（1）见解析；（2）3；45.【解析】解：（1）证明：如图，连接od，ac

9、b=90，ac为o的直径，ec为o的切线，de为o的切线，ec=ed，edo=90，bde+ado=90，od=oa，ado=a，bde+a=90，a+b=90，bde=b，be=ec；（2）3；45，理由如下：在rtabc中，b=30，ac=2，bc=6，由（1）知，e是bc中点，de=bc=3；odec为正方形，dec=90，de=ce=be，b=45，故答案为：3；45.4.如图，ab为o的直径，c为半圆上一动点，过点c作o的切线l的垂线bd，垂足为d，bd与o交于点e，连接oc，ce，ae，ae交oc于点f（1）求证：cdeefc；（2）若ab=4，连接ac当ac= 时，四边形obec

10、为菱形；当ac= 时，四边形edcf为正方形【答案】见解析【解析】（1）证明：如图，bdcd，cde=90，ab是直径，aeb=90，cd是切线，fcd=90，四边形cfed矩形，cf=de，ef=cd，ce=ce，cdeefc（2）解：当ac=2时，四边形oceb是菱形理由：连接oeac=oa=oc=2，aco是等边三角形，cao=aoc=60，afo=90，eab=30，aeb=90，b=60，oe=ob，oeb是等边三角形，eob=60，coe=1806060=60，co=oe，coe是等边三角形，ce=co=ob=eb，四边形oceb是菱形故答案为2当四边形defc是正方形时，cf=f

11、e，cef=fce=45，ocae，弧ac=弧ce，cae=cea=45，ace=90，ae是o的直径，aoc是等腰直角三角形，ac=2ac=2时，四边形defc是正方形故答案为25.如图，ab是半圆o的直径，d为半圆上的一个动点（不与点a，b重合），连接ad，过点o作ad的垂线，交半圆o的切线ac于点c，交半圆o于点e连接be，de（1）求证：bedc（2）连接bd，od，cd填空：当aco的度数为 时，四边形obde为菱形；当aco的度数为 时，四边形aodc为正方形【答案】（1）见解析；（2）30；45【解析】解：（1）证明：设ad，oc交于点p，ocad，apc90c+cap90ac是

12、半圆o的切线，caocap+bad90，badc，bedbad，bedc；（2）30，理由如下：连接bd，如图：ab是半圆o的直径，adb90，dabaco30，dba60，oead，弧ae=弧ad，dbeabe30debdab30，debabe，deabadb90，即bdad，oead，oebd，四边形obde 是平行四边形oboe四边形obde是菱形；故答案为30；45，理由如下： 连接cd、od，bedaco45，bod2bed90，aod90，ocad，oc垂直平分ad，ocdoca45，acd90，aco90，四边形aodc是矩形，oaod，四边形aodc是正方形，故答案为456.如

13、图，cd是o的直径，且cd2cm，点p为cd的延长线上一点，过点p作o的切线pa、pb，切点分别为a、b（1）连接ac，若apo30，试证明acp是等腰三角形；（2）填空：当弧ab的长为 cm时，四边形aobd是菱形；当dp cm时，四边形aobp是正方形【答案】（1）见解析；（2）；.【解析】解：（1）连接ao，pa是o的切线，pao90，apo30，aop60，oaoc，ccao30，capo=30，acp是等腰三角形；（2）若四边形aobd是菱形，则aoad，aood，aod是等边三角形，aod60，aob120，cd=2，圆o的半径为1，弧ab的长为：=.若四边形aobp为正方形时，则

14、paao1，则op=，od=1，pd=1，所以答案为：17.如图，ab为o的直径，f为弦ac的中点，连接of并延长交弧ac于点d，过点d作o的切线，交ba的延长线于点e（1）求证：acde；（2）连接cd，若oa=ae=2时，求出四边形acde的面积【答案】见解析【解析】证明：（1）f为弦ac（不是直径）的中点，af=cf，odac，de是o的切线，odde，acde （2）连接cd，acde， oa=ae=2，of=fd，af=cf，afo=cfd，afocfd，safo=scfd，s四边形acde=sodeod=oa=ae=2，oe=4，由勾股定理得：de=2，s四边形acde=sode=

15、 odoe=22=28.已知：如图，abc内接于o，ab为直径，cba的平分线交ac于点f，交o于点d，deab于点e，且交ac于点p，连结ad（1）求证：dacdba；（2）求证：p是线段af的中点；（3）连接cd，若cd3，bd4，求o的半径和de的长【答案】见解析【解析】（1）证明：bd平分cba，cbddba，dac与cbd是弧cd所对的圆周角，daccbd，dacdba；（2）证明：ab为直径，adb90，deab于e，deb90，ade+bdedbe+bde90，adedbedac，pdpa，dfa+dafade+bde90，pdfpfd，pdpf，papf，即p是线段af的中点；

16、（3）解：cbddba，cd3，cdad3，由勾股定理得：ab5，即o的半径为2.5，由deabadbd，即：5de34，de2.4即de的长为2.49.如图，在矩形abcd中，点o在对角线ac上，以oa的长为半径的圆o与ad，ac分别交于点e，f，且acbdce（1）判断直线ce与o的位置关系，并证明你的结论；（2）若tanacb，bc4，求o的半径【答案】见解析【解析】（1）直线ce与o相切，证明：连接oe，oaoe，eaoaeo，acbdce，aeoacbdce，四边形abcd是矩形，bcad，acbdac，acbdce，dacdce，由d90，得：dce+dec90，aeo+dec90，oec90，即oeec，oe为半径，直线ce与o相切；（2）解：在rtacb中，abtanacbbc=42，由勾股定理得：ac2，acbdce，tandcetanacb，在rtdce中，cdab2，dedctandce21，由勾股定理得：ce，在rtcoe中，co2ce2+oe2，oe=oa，（2oa）2oa2+（）2，解得：oa，即o的半径是10.如图，在abc中，acb