竞赛：力学知识

1、2021/2/61 2.2.如图所示如图所示,长长L、质量、质量M的匀质重梯的上端的匀质重梯的上端 A靠在光滑的竖直墙上靠在光滑的竖直墙上,下端下端B落在水平地落在水平地 面上面上,梯子与地面的夹角为梯子与地面的夹角为60 。一个质量。一个质量 也为也为M的胖男子从的胖男子从B端缓慢爬梯端缓慢爬梯,到达梯子到达梯子 的中点时的中点时,梯子尚未滑动梯子尚未滑动,稍过中点稍过中点,梯子即梯子即 会滑动会滑动,据此可知梯子与地面间的摩擦因据此可知梯子与地面间的摩擦因 数数 = 。令质量为。令质量为2M/3的瘦男子的瘦男子 替换胖男子替换胖男子从从B端缓慢爬梯端缓慢爬梯,为使梯子不会为使梯子不会 滑动

2、滑动,他可到达的最高位置与他可到达的最高位置与B端相距端相距 。 2021/2/62 解解: :(1)(1)20 B NMg 60 A B A N B N B f 2Mg 说明说明 静力平衡条件静力平衡条件: 合力为零合力为零, 合力矩为零合力矩为零 . 0 ABAB NfNN 2 sin602cos600 L A NLMg 2021/2/63 60 A B x (2)(2) 3 6 解得解得 A N B N B f Mg 2 3 Mg 2 3 0 B NMgMg 0 ABAB NfNN sin60 A NL 2 cos60 L Mg 2 3 cos600Mg x 2 L x 解得解得 202

3、1/2/64 3.3. 半径为半径为r的小球在空气中下降速度为的小球在空气中下降速度为v时时, 所受空气阻力为所受空气阻力为 f(v)=3.1 10 4 rv+0.87r2v2 (SI) 则半径为则半径为2mm的雨滴在降落过程中所能的雨滴在降落过程中所能 达到的最大速度达到的最大速度(即收尾速度即收尾速度)为为m/s. 解解: 雨滴受重力和空气阻力作用雨滴受重力和空气阻力作用, ,当两力平衡当两力平衡 时时, ,雨滴速度最大雨滴速度最大, ,此时有此时有 grmgvf 3 3 4 )( 代入数据代入数据, ,得得 2021/2/65 04 .94178. 0 2 vv 解得解得)/(6 . 9

4、smv 2021/2/66 4.如图如图,在倾角为在倾角为 的固定斜面上有一与斜面垂直的固定光的固定斜面上有一与斜面垂直的固定光 滑细棍滑细棍,一条长为一条长为L、质量线密度为、质量线密度为 的匀质细绳平直地放的匀质细绳平直地放 在斜面上在斜面上. 细绳的上端绕过细棍连接一质量为细绳的上端绕过细棍连接一质量为m的小球的小球,小小 球几乎贴近细棍球几乎贴近细棍. 设绳、小球与斜面间的摩擦系数同为设绳、小球与斜面间的摩擦系数同为 (tan )/2,系统开始时处于静止状态系统开始时处于静止状态. 如果而后小球能沿如果而后小球能沿 斜面下滑斜面下滑,试求小球质量试求小球质量m的可取值的可取值,并给出其

5、下限值并给出其下限值m0. 若小球质量为问中的若小球质量为问中的m0 ,小球因受扰动而下滑小球因受扰动而下滑,试求试求 小球下滑距离小球下滑距离x0时刻时刻,环上最低点的加速度大环上最低点的加速度大 小为小为,最高点的加速度大小为最高点的加速度大小为 . 解解: t a n a t a n a o ao 纯滚动特点纯滚动特点: : 环心速度大小环上一环心速度大小环上一 点绕环转动的线速度大小点绕环转动的线速度大小 Ra o 环心加速度大小环心加速度大小环上环上 一点绕环转动的切向加速一点绕环转动的切向加速 度大小度大小 2021/2/633 环心系环心系: :Raa tt 222 tRRaa

6、nn 地面系地面系: :最低点最低点 0 ott aaa 22t Raa nn 2222 tRaaa nt 最高点最高点 Raaa ott 2 2021/2/634 14.14.两根长度均为 两根长度均为L的匀质细杆连成的匀质细杆连成T形尺形尺,其其 上任取一点上任取一点P,记记I(P)为为T形尺对过形尺对过P点且垂点且垂 直于直于T形尺所在平面的轴的转动惯量形尺所在平面的轴的转动惯量. 试试 在尺上准确标出在尺上准确标出P1、P2点的位置点的位置,使使I(P1) 为所有为所有I(P)中最小者中最小者,I(P2)为所有为所有I(P)中最中最 大者大者. L L P 2021/2/635 解解:

7、 由转动惯量的平行轴定理由转动惯量的平行轴定理 2 )(MdIPI C 可知可知: :过质心的轴过质心的轴, ,I I最小最小; ;离质心最远的离质心最远的 轴轴, ,I I最大最大. . T形尺的质心在竖杆上形尺的质心在竖杆上,设其距横杆为设其距横杆为x, , 则有则有 ) 2 (x L mxm 4 L x P1点确定点确定 2021/2/636 P2点应距质心最远点应距质心最远,易知其位于竖杆下端易知其位于竖杆下端 . L LP2 P1 L/4 在图中标出在图中标出: 2021/2/637 15.15.由两个相同的匀质半圆环相切连接成的平面曲由两个相同的匀质半圆环相切连接成的平面曲 杆如图

8、杆如图,图中图中A1、A2、A3代表代表3根垂直于曲杆所根垂直于曲杆所 在平面的固定转轴在平面的固定转轴,则其中曲杆相对转轴则其中曲杆相对转轴 的转动惯量最大的转动惯量最大; ;若曲杆质量为若曲杆质量为m、半径为、半径为R, , 则它相对转轴则它相对转轴A3的转动惯量为的转动惯量为. . R O2 A1 A2 A3 O1 R 解解: (1)(1)曲杆质心在曲杆质心在A3处处, ,A1离质心最远离质心最远, ,故故答答 案为案为:A1 2021/2/638 (2)(2)设想将右侧半圆环翻转到左侧 设想将右侧半圆环翻转到左侧, ,则系则系 统对统对A3轴的转动惯量不变轴的转动惯量不变, ,故有故有

9、 22 3 )(mRmRAI 2 2mR 2021/2/639 16.16.圆心记为圆心记为O,半径半径R,质量质量4m的匀质圆板的匀质圆板,内内 切地割去半径为切地割去半径为R/2的小圆板后的小圆板后,剩余的板剩余的板 块如图所示块如图所示,其质心位置记为其质心位置记为C(图中未示图中未示 出出). 过过O、C分别设置垂直于板面的转轴分别设置垂直于板面的转轴, 则相对这两个转轴的转动惯量分别为则相对这两个转轴的转动惯量分别为 IO=, IC= . O 2021/2/640 (1)(1)()()4( 2 2 2 22 1 2 2 1RR O mmRmI 2 8 13 mR (2)(2) 设设O

10、C= x O 则有则有 0 2 3 R mxm 6 R x 2 6 )(3 R CO mII 2 24 37 mRIC 解解: C 2021/2/641 17.17.两个质量相同的小球两个质量相同的小球A、B,用长为用长为 2a的不可伸长的轻绳联结的不可伸长的轻绳联结. .开始时开始时 两球位于同一竖直线上两球位于同一竖直线上, ,相距为相距为a, , 如图如图. . 今给今给A一水平速度一水平速度v0, ,同时静同时静 止释放止释放B, ,不计空气阻力不计空气阻力, ,且设绳一且设绳一 旦伸直便不再回缩旦伸直便不再回缩, ,问问: :经过多长时经过多长时 间间, ,两球恰好第一次位于同一水平

11、两球恰好第一次位于同一水平 线上线上? ?( (加加0808一题一题) ) a A B 0 v 解解: 设从开始到绳伸直设从开始到绳伸直, ,经过的时间为经过的时间为 t1, ,在在 此过程中此过程中, , B球自由下落球自由下落, ,A球作平抛运球作平抛运 动动, ,两两球竖直方向距离不变球竖直方向距离不变, ,当绳伸直时当绳伸直时, , 有有 2021/2/642 2 0 2 2 ma a mv a A B 10 tv 2a atv3 10 0 1 3 v a t 因抛出后系统仅受重力作用因抛出后系统仅受重力作用, ,故系统在质故系统在质 心系中角动量守恒心系中角动量守恒. 在绳伸直后在绳

12、伸直后, ,系统成系统成 为刚体为刚体, ,两球绕过质心且垂直于图面的轴两球绕过质心且垂直于图面的轴 作匀角速转动作匀角速转动, ,设角速度为设角速度为 , ,则则有有 2021/2/643 a v 4 0 从绳伸直到两球第一次位于同一水平线从绳伸直到两球第一次位于同一水平线 上上, ,系统转过角度系统转过角度 /6, ,设所需时间为设所需时间为 t2,则则 有有 0 2 3 26/ v a t 所求总时间所求总时间: : 0 21 ) 3 2 3( v a ttt 2021/2/644 18.18.如图如图,一长为一长为L、质量为、质量为m的匀质细杆置于光滑的匀质细杆置于光滑 水平面上水平面

13、上,可绕过杆中点可绕过杆中点O的光滑固定竖直轴的光滑固定竖直轴 转动转动,初始时杆静止初始时杆静止,有一质量与杆相同的小球有一质量与杆相同的小球 以与杆垂直的速度以与杆垂直的速度v飞来飞来,与杆端点碰撞并粘附与杆端点碰撞并粘附 其上其上. 定量分析系统碰撞后的运动状态定量分析系统碰撞后的运动状态; 若去掉固定轴若去掉固定轴,杆中点不固定杆中点不固定,再求碰后系统的再求碰后系统的 运动状态运动状态.(加加06一题一题) O m m, L v 2021/2/645 解解: (1)(1)碰撞过程中碰撞过程中, 球杆系统球杆系统角动量守恒角动量守恒, 有有 0 2 2 2 12 1 2 )( LL m

14、mLmv L v 2 3 0 碰撞后碰撞后, ,系统以角速度系统以角速度 0=3v/2L绕轴绕轴 作逆时针匀角速转动作逆时针匀角速转动. (2)(2)碰撞过程中碰撞过程中, ,球杆系统球杆系统动量守恒动量守恒,且且 在质心系中角动量守恒在质心系中角动量守恒,有有 2021/2/646 由上两式解得由上两式解得: : 2 v vc L v 5 6 碰撞后碰撞后, ,系统质心以速度系统质心以速度vc=v/2向右作向右作 匀速直线运动匀速直线运动, ,同时系统以角速度同时系统以角速度 =6v/5L绕过质心绕过质心( (位于距杆端位于距杆端L/4处处) ) 的竖直轴的竖直轴作逆时针匀角速转动作逆时针匀

15、角速转动. c vmmmv)( )()( 2 4 2 4 2 12 1 4 LLL mmmLmv 2021/2/647 19.19.如图如图,均匀细杆均匀细杆AOB的的A端、端、B端和中央位置端和中央位置O 处各有一个光滑小孔处各有一个光滑小孔,先让杆在光滑水平面上先让杆在光滑水平面上 绕绕O孔以角速度孔以角速度 0作顺时针方向旋转作顺时针方向旋转,然后将然后将 一光滑细棍迅速地竖直插入一光滑细棍迅速地竖直插入A孔孔. 稳定后稳定后,在迅在迅 速拔去速拔去A端细棍的同时端细棍的同时,将另一光滑细棍如前所将另一光滑细棍如前所 述插入述插入B孔孔;再次稳定后再次稳定后,又在迅速拔去又在迅速拔去B端

16、细棍端细棍 的同时的同时,将另一光滑细棍如前所述插入将另一光滑细棍如前所述插入O孔孔. 试试 求最终稳定后求最终稳定后,细杆绕细杆绕O孔的旋转方向和旋转角孔的旋转方向和旋转角 速度速度 的大小的大小. AOB 0 2021/2/648 解解: 每一次插棍前后每一次插棍前后,系统对那个位置处的轴系统对那个位置处的轴 的角动量保持不变的角动量保持不变. 系统角动量质心角动量质心系中的系统角动量质心角动量质心系中的 角动量角动量 设顺时针方向为转动正方向设顺时针方向为转动正方向 插入插入A孔孔: 0 2 12 1 0mLLA A mL 2 3 1 应应 04 1 A 2021/2/649 插入插入B

17、孔孔: A L A L B mLmL 2 12 1 22 B mL 2 3 1 应应 08 1 B 刚体转动的刚体转动的 角速度与基角速度与基 点的选择无点的选择无 关关 插入插入O孔孔: BO mLL 2 12 1 0 2 12 1 mL 应应 1 08B 方向：方向：逆时针逆时针 大小：大小： 08 1 2021/2/650 将一根质量为的长杆用细绳从两端水平地将一根质量为的长杆用细绳从两端水平地 挂起来挂起来,其中一根绳子突然断了其中一根绳子突然断了,另一根绳内另一根绳内 的张力是多少的张力是多少? m lac 解解: 由质心运动定理和相对于质心的角动量定理得由质心运动定理和相对于质心的

18、角动量定理得: ) 3 1 ( 2 mlIITl cc c maTmg l 2设杆长为设杆长为 因在些时刻绳未断的一端加速度为因在些时刻绳未断的一端加速度为0 T mgT 4 1 最后得最后得 20.20. 2021/2/651 21.21.如图 如图,一刚体无转动地自由下落一刚体无转动地自由下落,P1为刚体为刚体 上唯一的最低点上唯一的最低点,P1P2为过为过P1点的铅垂线点的铅垂线 ,C为刚体质心为刚体质心. 图平面为图平面为C与与P1P2确定的确定的 平面平面,C到到P1P2的距离为的距离为d,刚体质量为刚体质量为m, 刚体对于过刚体对于过C且与图平面垂直的水平轴的且与图平面垂直的水平轴

19、的 转动惯量为转动惯量为IC,设设ICmd2. 已知刚体与水已知刚体与水 平地面将发生的碰撞是弹性的平地面将发生的碰撞是弹性的,且无水平且无水平 摩擦力摩擦力,试在刚体上找出这样的点试在刚体上找出这样的点,它们在它们在 刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间刚体与地面碰撞前、后的两个瞬间,速度速度 方向相反方向相反,大小不变大小不变. 2021/2/652 C P1 P2 d C 0 v c v tN 解解: 设落地速度为设落地速度为 0 v 碰撞中，地面作用力的冲量为碰撞中，地面作用力的冲量为 tN 碰撞后，质心速度为碰撞后，质心速度为 ，刚体绕，刚体绕C轴轴( 过过C垂直于图面垂直于图面)转动的角

20、速度为转动的角速度为 c v 2021/2/653 则有则有)( 0 mvmvtN c 0 c IdtN 2 2 1 2 2 1 2 02 1 cc Imvmv (系统动量定理系统动量定理) (质心系角动量定理质心系角动量定理) (动能不变动能不变) (系统动能质心动能质心系中动能系统动能质心动能质心系中动能) 解得解得 0 2 2 v mdI mdI v c c c 0 2 2 v mdI md c (0,向上向上) (0,顺时针顺时针) 2021/2/654 易知刚体上与易知刚体上与C轴在同一水平面内且位轴在同一水平面内且位 于于C轴左侧的某些点才可能满足要求轴左侧的某些点才可能满足要求,

21、设设 这些点距这些点距C轴为轴为x,则有则有 0 vxvc c vv x 0 d 即图面上由即图面上由C向向P1P2作垂线作垂线,记垂足为记垂足为P0 , 则刚体上过则刚体上过P0且垂直于图面的直线上各且垂直于图面的直线上各 点为所求之点点为所求之点. 2021/2/655 22.22.如图如图, ,静长静长L L0 0的飞船以恒定速率的飞船以恒定速率v相对惯相对惯 性系性系S S高速运动若从飞船头部高速运动若从飞船头部A A发出一发出一 光信号光信号, ,则飞船上观察者认为需经时间则飞船上观察者认为需经时间 t t = = 到达尾部到达尾部B B, ,而而S S系中的观察者认系中的观察者认

22、为需经时间为需经时间t t= =到达尾部到达尾部B B v A B S系系 2021/2/656 解解: (1)(1) c L t 0 飞船上飞船上: : (2)(2)设飞船系为 设飞船系为O 系系 2 2 )/(1cv x c v t t 则则O系中系中: : xx, v o A o B 2021/2/657 AB D 0.6c 23.23.高速列车以高速列车以0.6c(c为光速为光速)的速率相对地面的速率相对地面 运动运动,车内有一滑轨车内有一滑轨AB,车上的观测者测得车上的观测者测得 滑轨长为滑轨长为10m,小滑块小滑块D在在10s内由滑轨的内由滑轨的A 端滑到端滑到B端端,则地面上的观

23、测者测得滑轨长则地面上的观测者测得滑轨长 度为度为m,测得滑块移动距离为测得滑块移动距离为 m. 2021/2/658 (2)(2) 2 )/(1cv tvx x 2 8 )6 .0(1 101036 .010 )(1025. 2 9 m 解解: (1)(1)长度收缩长度收缩: 2 0 )/(1cvLL 2 )6 . 0(110 )(8 m 2021/2/659 24.24.静止时质量面密度为 静止时质量面密度为 0的均质等边三角的均质等边三角 形薄板形薄板,因在其所处平面内高速运动而成因在其所处平面内高速运动而成 为等腰直角三角形为等腰直角三角形,求求:运动速度大小运动速度大小 ; ;此时板

24、的质量面密度此时板的质量面密度. . 解解: (1)(1) L0 长度收缩效应长度收缩效应: : 2 )/(1 2 3 0 2 0 L cvL 2021/2/660 cv 3 2 (2)(2) 2 0 )/(1cv 0 3 Notes: 高速运动时高速运动时: : 面积面积 2 0 )/(1cvAA 体积体积 2 0 )/(1cvVV 2 0 )/(1cv 2 0 )/(1cv 2021/2/661 25.25. 解解: 均匀物质静止时的体积为均匀物质静止时的体积为V0，密度为，密度为 0， 当它以匀速度当它以匀速度 运动时，体积为运动时，体积为 ，密度为，密度为 v 2 0 )/(1cvVV

25、 2 0 )/(1cv 2021/2/662 26.26.有两个在同一直线上沿相反方向以速度 有两个在同一直线上沿相反方向以速度v 飞行的飞船飞行的飞船A(向左飞向左飞)和和B(向右飞向右飞),飞船飞船A 中的观测者测到相对其静止的中子的寿中的观测者测到相对其静止的中子的寿 命为命为 ,那么飞船那么飞船B中的观测者测到此中子中的观测者测到此中子 的寿命为的寿命为 ;A船测到船测到B船的速度船的速度 为为. 解解: 速度变换速度变换: 2 uv u uv 1 c xx, v o o u (地地) (B) 2021/2/663 (1)(1)B船测到船测到A船的速度大小船的速度大小: AB2 2 2 ( v)v2v u ( v)v v 1 1 c c 22 22 2 AB vc vc c u 1 t )( 2021/2/664 (2)(2)A船测到船测到B船的速度大小船的速度大小: 2 2 ABBA c v 1 2v uu 2021/2/665 27.27.飞船静止时体积为 飞船静止时体积为V0,平均密度为平均密度为 0,相对相对 地面以地面以v=3c/5高速飞行时高速飞行时,地面参考系测地面参考系测 得它的动能为得它的动能为E