微积分课件第3节空间曲线及其在坐标面上的投影

1、第三节第三节 空间曲线及其在空间曲线及其在 坐标面上的投影坐标面上的投影 第四节第四节 二次曲面二次曲面 1.空间直角坐标系空间直角坐标系 2.空间两点间距离公式空间两点间距离公式 （轴、面、卦限）轴、面、卦限） 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 3.曲面方程的概念曲面方程的概念 复习复习 一一. .空间直角坐标系空间直角坐标系 0 0 ),(zyxF 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx (1)(1)球面方程球面方程 (2)(2)平面的方程平面的方程 三元一次方程三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0( (A、B、C，D不全为不全为0)0) 柱面的概念柱面的

2、概念 复习复习 二二. .柱面及旋转曲面柱面及旋转曲面 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线L 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. 准线准线 母线母线 5.n维空间维空间 niRxxxxR in n , 2 , 1, 21 4.空间曲线方程的概念空间曲线方程的概念 0 0 0 0 ),( ),( zyxG zyxF ; 222 Ryx 几种常用的柱面方程及图形几种常用的柱面方程及图形 （1 1）圆柱面）圆柱面 （2 2）椭圆柱面）椭圆柱面 ; 1 2 2 2 2 b y a x （4 4）抛物柱面）抛物柱面 （3 3）双曲柱面）双曲柱面; 1 2 2

3、2 2 b y a x .2 2 pyx 统统 称称 为为 二二 次次 柱柱 面面 椭圆柱面椭圆柱面 圆柱面圆柱面 抛物柱面抛物柱面 复习复习 一一平面曲线平面曲线 C 绕同一平面上的一条绕同一平面上的一条定直线定直线 L 旋转一周旋转一周 所形成的曲面称为所形成的曲面称为 定直线定直线 L 称为旋转曲面的称为旋转曲面的 三、三、 旋转曲面旋转曲面 旋转曲面旋转曲面. 曲线曲线C 称为旋转曲面的称为旋转曲面的 旋转轴旋转轴. 1.1.圆锥面方程圆锥面方程 ).( 2 22 22 2 yxaz )( 22 yxaz 2.2. 旋转抛物面旋转抛物面 x y z O 第三节第三节 空间曲线及其在空间

4、曲线及其在 坐标面上的投影坐标面上的投影 第四节第四节 二次曲面二次曲面 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线在坐标面上的投影二、空间曲线在坐标面上的投影 三、小结三、小结 思考题思考题 第三节第三节 空间曲线及其在坐标空间曲线及其在坐标 面上的投影面上的投影 一、空间曲线的概念 所表示的曲线方程称为所表示的曲线方程称为 方程组方程组 特殊地，特殊地，空间直线空间直线方程方程 0 0 222 111 zCyBxA zCyBxA 把把空间曲线空间曲线C看作是看作是两曲面的交线两曲面的交线. 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程. 1、空间曲线、空间曲线 第三节 空间曲线及其

5、在坐标面上的投影 x o z y 1 S 2 S C 0),( 0),( zyxG zyxF z = 3 在平面在平面 z = 3 上的圆上的圆. . 因为因为 x2 + y2 + z2 = 25 表示什么曲线表示什么曲线? ? 例例1 方程组方程组 x y z O ;3 ,25 222 z zyx 5 的球面的球面. 半径为半径为 解解是球心在原点是球心在原点, 坐标面的平面，坐标面的平面， 是平行于是平行于 x y 因而它们的交线是因而它们的交线是 z = 3 1 16 6 2 22 2 yx 三、空间曲线及其在坐标面上的投影 例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲表示怎样的曲 线？线？

6、6332 1 22 zyx yx 解解1 22 yx表示圆柱面，表示圆柱面， 6332 zyx表示平面，表示平面， 6332 1 22 zyx yx 交线为椭圆交线为椭圆. 第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影 例例3 3 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圆柱面圆柱面, 交线如图交线如图. 第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影 过曲线过曲线C上的每一点作上的每一点作xOy坐标面的垂线坐标面的垂线, , , ),( ),( 0 0 0

7、0 zyxG zyxF 投影柱面方程的确定：投影柱面方程的确定： 0 0 0 0 ),( ),( zyxG zyxF 由方程组由方程组 消去变量消去变量z，所得方程，所得方程0 0 ),(yxH 设空间曲线设空间曲线C的方程为的方程为 xOy坐标面上的投影曲线方程坐标面上的投影曲线方程; ),( 0 0 0 0 z yxH 简称简称投影投影.称为曲线在称为曲线在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线, 这个柱面与这个柱面与xOy面面投影柱面投影柱面.线线C关于关于xOy坐标面的坐标面的 称其为曲称其为曲成了一个母线平行于成了一个母线平行于z轴且过曲线轴且过曲线C的柱面的柱面, 这些垂线形这些垂线形

8、 为为投影柱面方程投影柱面方程. 2、投影曲线、投影曲线 的交线的交线 二、空间曲线在坐标面上的投影 如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程. 空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面 二、空间曲线在坐标面上的投影 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 0 0),( z yxH 空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy 第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影 例例4 4 求曲线求曲线 在在 x

9、oy坐标坐标 面上的投影曲线的方程面上的投影曲线的方程. . yyx zyx 8 ,64 : 22 222 yyx8 22 解解 就是就是 关于关于xoy 坐标面的投影坐标面的投影 柱面方程，柱面方程， .0 ,8 22 z yyx 方程方程 坐标面上的投影曲线是圆坐标面上的投影曲线是圆. 因而曲线因而曲线 在在 x y 16)4( 22 yx圆柱面圆柱面64 222 zyx球面球面 1 16 64 4 2 22 2 )(yx 例例5 5 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 2 1 1 222 z zyx 解解 （1）消去变量）消去变量z后得后得 , 4 3 22 yx 在在 面

10、上的投影为面上的投影为 xoy , 0 4 3 22 z yx 二、空间曲线在坐标面上的投影 所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz ; 2 3 |, 0 2 1 x y z （3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段. yoz . 2 3 |, 0 2 1 y x z （2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上， 2 1 z 二、空间曲线在坐标面上的投影 , 4 3 22 yx 截线方程为截线方程为 02 22 zyx xzy 解解 如图如图, 二、空间曲线在坐标面上的投影 （2）消去）消去y得投影得投影, 0 0425 22 y xxzzx （3）消消去去

11、x得得投投影影. 0 02 22 x zyzy （1）消消去去z得得投投影影 , 0 045 22 z xxyyx 二、空间曲线在坐标面上的投影 02 22 zyx xzy 补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. . 空间立体空间立体 曲面曲面 二、空间曲线在坐标面上的投影 例例7 . ,)( , 面上的投影区域面上的投影区域 求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和 由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体 xoyyxz yxz 2 22 2 2 22 2 3 3 4 4 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3 ,4 : 22 22 yx

12、z yxz C , 1 22 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去 二、空间曲线在坐标面上的投影 在在 面上的投影为面上的投影为xoy , 0 0 1 1 2 22 2 z yx 一个圆一个圆, 面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyC . 0 , 1 22 z yx 一个圆一个圆, 面面上上的的投投影影区区域域为为所所求求立立体体在在xoy . 0 0 0 0 2 22 2 z yx 二、空间曲线在坐标面上的投影 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程: 三、小结 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF 0 0),( z yxH 0 0

13、),( x zyR 0 0),( y zxT 第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影 练习：练习：P267:1(单单)，2(单单)，3，4(单单) 思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 22 2与与抛抛物物柱柱面面 zx 2 2的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和 在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程. 第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影 思考题解答思考题解答 , 2 2 2 22 zx zxy 交线方程为交线方程为 消消去去z得得投投影影柱柱面面, 1 22 yx 在在 面上的投影为面上的投影为 xoy . 0 1 22 z yx 第三节 空间曲线及其在坐标面上的投影 练练 习习 题题 三三、 将将曲曲线线 xy zyx9 222 化化为为参参数数方方程程 练练 习习 题题 四四、 求求螺螺旋旋线线 bz ay ax sin cos 在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线 的的直直角角坐坐标标方方程程 . . 五五、 求求由由上上半半球球面面 222 yxaz , , 柱柱面面 0 22 axyx及及 平平 面面0 z所所