速率分布函数

1、气体动理论气体动理论 第七章第七章 4.5 4.5 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 1、 速率分布函数速率分布函数 要深入研究气体的性质，要深入研究气体的性质， 一步弄清分子按速率和按一步弄清分子按速率和按 能量等的能量等的分布分布情况。情况。 等；等；，如如 v 2 t 不能光是研究一些平均值，不能光是研究一些平均值， 还应该进还应该进 整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。 麦克斯韦麦克斯韦 （Maxwell s law of distribution of speeds） 设总分子数为设总分子数为 N N 表示速率在表示速率在 v v

2、+ v 区间内的分子数。区间内的分子数。 N 与与 v 、 v 有关有关 。 N N 表示速率处在表示速率处在 v v + v 区间内的分子数占总区间内的分子数占总 分子数的百分率。分子数的百分率。 也与也与 v 、 v 有关。有关。 N N v N N 分子速率在分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总附近单位速率区间内的分子数占总 分子数的比率。分子数的比率。 下面列出了下面列出了HgHg分子在某温度时不同速率的分子分子在某温度时不同速率的分子 数占总分子的百分比。数占总分子的百分比。 )/(smv 0 0 / NN 90以下以下6.2 90-140 140-190 190-240

3、240-290 290-340 340-390 390以上以上 10.32 18.93 22.7 18.3 12.8 6.2 4.0 注意注意：以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次 重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看， 分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确 定的规律。定的规律。 1）实验数据的图示化）实验数据的图示化 6.2% 10.32% 18.93% 22.7% 18.3% 12.8% 6.2% 4.0% )(vf 0 90 140

4、 190 240 290 340 390 v )(vf v 从图中可以看出从图中可以看出: 1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比占总分子数的百分比 N/N 2)所有小面积的和恒等于一。所有小面积的和恒等于一。 3）当速率区间）当速率区间 0v ，小矩形面积的端点，小矩形面积的端点 连成一函数曲线连成一函数曲线-分子速率分布函数。分子速率分布函数。 )(vf v )(vf vvv 2 2）分布函数）分布函数 的意义的意义)(vf 要搞清函数的意义，先要要搞清函数的意义，先要 弄清纵坐标的意义。弄清纵坐标的意义。 在在vvv 区间区间

5、 作一小矩形，小矩作一小矩形，小矩 形的面积：形的面积： N N s 按函数的定义按函数的定义 vvfs)( 故故 vvf N N )( vN N vf )(或：或： 0v 当当 Ndv dN vf)( )(vf v )(vf vvv 占总分子数的比例。占总分子数的比例。” 率率v 附近单位速率区间的概率。附近单位速率区间的概率。 v v v d d )( N N f 由定义式由定义式 可看出可看出 f (v)的意义是：的意义是： 因为因为 0 1 d v v N N 所以所以 0 ( )1f v dv 这称为速率分布函数这称为速率分布函数 的的归一化条件归一化条件。 ， v v 0 dNN

6、即即 对于一个分子来说，对于一个分子来说，f (v) 就是分子处于速就是分子处于速 “ 在速率在速率v 附近，附近，单位速率区间内的分子数单位速率区间内的分子数 （function of distribution of speeds） 称称 速率分布函数速率分布函数 )(vf 思考：思考： 1、若若 表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义 )(vf vv df)(（1）vv dNf)(（2） vv v v df)( 2 1 （3） vv v v dNf)( 2 1 （4） 0 vvvdf)( （5） 2、麦克斯韦速率分布函数、麦克斯韦速率分布函数（

7、1860年从理论上导出）年从理论上导出） kT m e kT m f 2 223 0 2 0 ) 2 (4)( v vv 0 m 是分子的质量，是分子的质量， 123 KJ 1038. 1 A N R k 玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数 速率分布曲线速率分布曲线 以以 v 为横坐标，为横坐标， 为纵坐标，画出的曲线称为为纵坐标，画出的曲线称为 速率分布曲线速率分布曲线。 v v Nd Nd f)( 由上式可得到一个分子在由上式可得到一个分子在 v v + dv 区间的概率为区间的概率为 vv v de kT m N dN kT m 2 223 0 2 0 ) 2 (4 f(v) v v2v1 N N

8、 df vv v v )( 2 1 N dN dfvv)( 分布曲线的物理意义分布曲线的物理意义 小矩形的面积小矩形的面积 表示速率处在表示速率处在 v v + dv 区间内的分子数占总分子区间内的分子数占总分子 数的百分率。数的百分率。 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 表示速率处在表示速率处在 v1 v2 区间内的分子数占总分子数的百分区间内的分子数占总分子数的百分 率。率。 曲线下的总面积曲线下的总面积1 0 vv df)(归一化条件归一化条件 1. 最可几速率最可几速率 ( (最概然速最概然速 率率) )vp f(v) v vp vp把整个速率区间分成许多相等的小区间把整个速率区间分成许多

9、相等的小区间, , 则速率大小与则速率大小与 相相 近的气体分子数占总分子数的比率为最大。近的气体分子数占总分子数的比率为最大。 0)(v v f d d p v 可由求极值条件可由求极值条件 求得求得 M RT M RT m kT p 41. 1 22 0 v 分布曲线极大值对应的分布曲线极大值对应的 速率叫最可几速率。速率叫最可几速率。 物理意义物理意义: : 讨论两种情况：讨论两种情况： M RT m kT p 22 0 v 2 1 T p v 2 1 0 m p v, （1 1）m0 一定一定, , p Tv 曲线高峰右移曲线高峰右移, , 同时高度下降。同时高度下降。 （2 2）T

10、一定一定， 2 1 0 m p v f(v) v vp1 1 T 12 TT vp2 f(v) v 大 0 m 小 0 m 0 00 vvv vvvv vdf N dNf N Nd )( )( M RT M RT m kT 60. 1 88 0 v 2. 平均速率平均速率 v 大量分子速率的算术平均值叫平均速率。大量分子速率的算术平均值叫平均速率。v N N N NNN iiii vvvv v 2211 若用若用dN表示速率在表示速率在vv+dv 区间内的分子数区间内的分子数，v 连连 续分布时，上式过渡到积分。续分布时，上式过渡到积分。 ii i N N v v分立：分立： 连续：连续：vi

11、 v， 2 1 2 1 v v v v vdN dN v 对麦氏速率分布经计算得：对麦氏速率分布经计算得： M RT m kT 8 8 v N N N N 0 0 d d v v v v N N N v v d 0 0 d)(vvvf Ni dNv=N f (v)dv， 平均速率平均速率（average speed） 平均速率平均速率 任意函数任意函数 (v)对对全体分子全体分子按按 速率分布的平均值：速率分布的平均值： 0 d)()(vvvvf 0 2 0 2 2 vvv v vdf N dN )( M RT M RT m kT 73. 1 33 0 2 v 3. 方均根速率方均根速率 速率

12、平方的平均值速率平方的平均值 方均根速率方均根速率 f(v) v p v v 2 v 2 vvv p 三种速率中，三种速率中，最大，最大，次之，最小次之，最小 2 v v p v 附录附录: 三种统计速率的计算三种统计速率的计算 0)1 ()(8 22)(4 2/3 2/3 2v v2v vv vvv v 2 22 be b ebe b d df b bb b b N 1 2)(4 0 32/3 0 dvev vf(v)dv vdN v 2 bv- 0 kT m e kT m f 2 223 0 2 0 ) 2 (4)( v vv 速率分布函数中令速率分布函数中令b kT m 2 0 则 2

13、223 )(4)( v vv b e b f 0 2 m kT p v 0 8 m kT v 速率平方的平均值速率平方的平均值 2 223 )(4)( v vv b e b f b b N 2 3 )(4 0 42/3 0 dvev f(v)dvv dNv v 2 bv- 2 0 2 2 M RT m kT33 0 2 v 讨论思考题：讨论思考题：试说明下列各式的物理意义试说明下列各式的物理意义 vv df)( vv dNf)( vv v v df)( 2 1 vv v v dNf)( 2 1 vvv v v df)( 2 1 N dN dN N N NdN 2 1 v v N d 2 1 v

14、 v Nv 速率在速率在 的所有分子的所有分子 速率的总和被总分子数除速率的总和被总分子数除 21 vv 速率在速率在 区间内的分区间内的分 子数子数 21 vv 速率在速率在 区间内的分区间内的分 子数占总分子数的比率子数占总分子数的比率 21 vv 并非并非 之间的分子之间的分子 的平均速率的平均速率 21 vv vvv 2 0 2 dfm)( 1 p p df df v v vv vvv )( )( vvNv v v df)( 2 1 2 1 v v vdN 速率在速率在 的所有分子的所有分子 速率总和速率总和 21 vv 分子平动动能的平均值分子平动动能的平均值 速率在速率在 内的分子

15、的内的分子的 平均速率平均速率 p v p p dN dN v v v f(v) v T1 T2 例例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试 问（问（1）哪一条曲线对应的温度高？（）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对如果这两条曲线分别对 应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的 是氧气，哪条对应的是氢气？是氧气，哪条对应的是氢气？ 解：解： M kT p 2 v (1) T1 T2 (2) 绿：氧绿：氧 白白：氢：氢 2 p v 1 p v 例例2、

16、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中 自由电子自由电子( “电子气电子气”模型模型 )。设导体中自由电子数为。设导体中自由电子数为 N ,电电 子速率最大值为费米速率子速率最大值为费米速率 ，且已知电子速率在，且已知电子速率在 v v + d v 区间的概率为：区间的概率为： F v N Nd )(0 F vv ) F dAvvvv0( 2 A 为常数为常数 （1）画出电子气的速率分布曲线画出电子气的速率分布曲线 （2）由）由 定出常数定出常数 A F v （3）求）求 , , 2 vvv p O v f ( v ) 解：解：（1） v

17、v dN Nd f)( ) F Avvv0( 2 )(0 F vv F v （2） 由归一化条件确定常数由归一化条件确定常数A 1 3 )( 00 3 F 2 v vdvvvv FA Adf 3 3 F v A Fp vv （3） F ddfvvv v vvvvv 3 F 75. 0 3 )( 0 2 0 2 F 3 F vvv v vv 6 . 0 3 0 222 d FF vvv 77060 2 . 例例3、求速率在求速率在 v1 v2 区间内的分子的平均速率。区间内的分子的平均速率。 解：解： 2 1 21 v v vv vvvvdf)( 2 1 2 1 2 1 2 1 21 v v v

18、 v v v v v vv vv vvvv v dfN dfN Nd Nd )( )( 2 1 2 1 21 v v v v vv vv vvv v d d )( )( f f v v dN Nd f)( 讨论：讨论： 1、 用分子数用分子数N，气体分子速率，气体分子速率v和速率分布函数和速率分布函数 )(vf 表示下列各量表示下列各量 （1）速率大于）速率大于 的分子数；的分子数； 0 v （2）速率大于）速率大于 的那些分子的平均速率；的那些分子的平均速率； 0 v （4）分子速率倒数的平均值。）分子速率倒数的平均值。 （5）分子平均平动动能。）分子平均平动动能。 2、设某种气体的分子速率

19、分布函数为设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在则速率在v1v2区间区间 的分子的平均速率为：的分子的平均速率为： 2 1 ( )( ) v v Avfdv v 2 1 ( )( ) v v B vfdv v 22 11 ( )( )/( ) vv vv Cvfdvfdv vv 2 1 0 ()( )/( ) v v Dfdvfdv vv （3）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 的概率。的概率。 0 v （A）2000 m/s，1000 m/s （B）1000 m/s，2000 m/s （C）1000 m/s， 1000 m/s （D）

20、1000 m/s，1000 m/s 2 2 3、若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分两部分 的面积相等，则图中的面积相等，则图中 表示（表示（ D ） 0 v 0 AB f (v) vv 0 1000 m/s f (v) v 4、图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲 线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速 率分别为（率分别为（ ） （A）最概然速率）最概然速率 （B）平均速率）平均速率 （C）方均根速率）方

21、均根速率 （D）速率大于和小于）速率大于和小于 的分子各占一半的分子各占一半 0 v 5、 下列说法中正确的是（下列说法中正确的是（ ） （A）N个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的 速度速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用小时，不能使用 理想气体的压强公式；当理想气体的压强公式；当N很大时就可以使用它；很大时就可以使用它； （B） 表示温度为表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运的平衡态下，分子在一个自由度上运 动的平均动能；动的平均动能； kT 2 1 （C）因为氢分子质量小于氧分子质量

22、，故在相同温度下）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下 它们的速率满足它们的速率满足 ； 22 OH vv （D）气体分子的速率等于最概然速率）气体分子的速率等于最概然速率 的概率最大。的概率最大。 p v 6、 某气体分子的速率分布曲线如选某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示，图所示， 表示最概然表示最概然 速率，速率， 表示速率分布在表示速率分布在 之间的分子数占总分之间的分子数占总分 子数的百分率，当温度减低时，则（子数的百分率，当温度减低时，则（ A ） p v N N p pp vvv 0p pp f (v) v v vv （A） 减小，减小， 也减小也减小 p v N

23、N p （B） 增大，增大， 也增大也增大 p v N N p （C） 减小，减小， 增大增大 p v N N p （D） 增大，增大， 减小减小 p v N N p 7、 设为设为N个（个（N很大）分子组成的系统的速率分布函很大）分子组成的系统的速率分布函 数。数。 )(vf （1）分别写出题图（）分别写出题图（a）、）、(b)中阴影面积对应的数学表达式中阴影面积对应的数学表达式 并回答其物理意义；并回答其物理意义； （2）设分子质量为）设分子质量为m，试用，试用 表示以下各量：表示以下各量： )(vf 分子动量大小的平均值；分子动量大小的平均值； 分子平动动能的平均值。分子平动动能的平均值。 00vv f (v) f (v) vp p p p vv ( a )( b ) 4.6 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 (了解了解) 1、麦克斯韦速度分布律、麦克斯韦速度分布律（1859年导出）年导出） zyx kT ddde kT m N Nd vvv k 2 3 0 ) 2 ( )( 2 1 2 1 222 0 2 0kzyx mmvvvv分子动能分子动能 ,d-,d- yyyxxx vvvvv