大学物理课件第09章温度与气体动理论

1、1 一、热学的研究对象一、热学的研究对象 热学是研究与热学是研究与热现象热现象有关的规律的科学。有关的规律的科学。 凡是与物质的热运动或温度有关的物质特凡是与物质的热运动或温度有关的物质特 性和状态的变化，统称为性和状态的变化，统称为热现象热现象。 大量分子的无规则运动称为大量分子的无规则运动称为热运动热运动。 第第2篇篇 热学热学 Thermology 2 统计规律：统计规律： 大量偶然事件整体满足的规律。大量偶然事件整体满足的规律。 二、热运动的特点二、热运动的特点 （1）微观粒子的运动永不停息、无规则。）微观粒子的运动永不停息、无规则。 每个粒子的运动有极大的每个粒子的运动有极大的偶然性

2、偶然性无序无序 性。性。 （2）对）对大量大量粒子的整体，运动表现出必然粒子的整体，运动表现出必然 的、确定的规律的、确定的规律统计规律统计规律。 3 三、热学的研究方法三、热学的研究方法 （1）热力学（宏观法）：）热力学（宏观法）： 实验规律实验规律严密的推理（应用数学）严密的推理（应用数学） 优点：优点：可靠、普遍。可靠、普遍。缺点：缺点：未及微观本质未及微观本质 宏观法与微观法相辅相成。宏观法与微观法相辅相成。 （2）统计物理学（微观法）：）统计物理学（微观法）： 物质的微观结构物质的微观结构+统计的方法。统计的方法。 优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：

3、可靠性、普遍性差。缺点：可靠性、普遍性差。 4 第第9章章 温度和气体动理论温度和气体动理论 (Temperature and Kinetic theory of gases) 主要内容：主要内容： 平衡态平衡态 温度的概念温度的概念 理想气体温标理想气体温标 理想气体状态方程理想气体状态方程 气体分子的无规则运动气体分子的无规则运动 5 理想气体的压强理想气体的压强 温度的微观意义温度的微观意义 能量均分定理能量均分定理 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实验验证 玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律 实际气体等温线实际气体等温线 范德瓦尔斯方程范

4、德瓦尔斯方程 非平衡态非平衡态 输运过程输运过程 6 系统与外界系统与外界 热力学系统：作为研究对象热力学系统：作为研究对象 的一个或一组物体。的一个或一组物体。 外界：系统以外的物体。外界：系统以外的物体。 2. 平衡态平衡态 系统的各种性质不随时间改变的状态。系统的各种性质不随时间改变的状态。 是动态平衡：微观总平均效果不变。是动态平衡：微观总平均效果不变。 9.1 平衡态平衡态 Equilibrium State 7 e.g. P、V、T等 3. 宏观状态参量宏观状态参量 描述平衡态的宏观量描述平衡态的宏观量 4. 微观参量微观参量 描述系统内分子运动状态的物理量描述系统内分子运动状态的

5、物理量 如分子的质量如分子的质量m、直径、直径 d 、速度、速度 v、动量、动量 p、能量、能量 等。等。 平衡状态下，宏观参量是微观参量的统计平衡状态下，宏观参量是微观参量的统计 平均值。平均值。 8 9.2 温度的概念温度的概念 Temperature 1. 温度的定义温度的定义 2.热力学第零定律热力学第零定律 如果物体如果物体A和物体和物体B能分别能分别 与与C的同一状态的同一状态处于平衡态，处于平衡态， 那么那么A、B 必定处于共同的必定处于共同的 平衡态。平衡态。 共处于共处于平衡态的系统具有平衡态的系统具有 相同的温度。相同的温度。 9 3. 温标温标 温度的数值表示法温度的数值

6、表示法 三要素：三要素： （1）测温物质和测温属性；）测温物质和测温属性； （2）选定点；）选定点； （3）规定测温属性随温度的变化关系。）规定测温属性随温度的变化关系。 4.摄氏温标摄氏温标 （1）选：液体（水银或酒精）体积随温度膨胀）选：液体（水银或酒精）体积随温度膨胀 标志温度；标志温度； （2）定点：）定点：1atm下水的冰点及沸点；下水的冰点及沸点； 10 （3）液体体积随温度成线性关系：）液体体积随温度成线性关系： 标准状态下，冰水混合，留一刻痕，标准状态下，冰水混合，留一刻痕， 水沸水沸 腾，又一刻痕，之间腾，又一刻痕，之间100等份，等份，1份就是份就是1 C （摄氏度）。（摄

7、氏度）。 A 和和 B 处于平衡态，处于平衡态， tA=tB A B 酒精或水银酒精或水银 5. 热平衡热平衡 两个相互接触的物体，当它们的温度相等两个相互接触的物体，当它们的温度相等 时达到的平衡态。时达到的平衡态。 11 9.3 理想气体温标理想气体温标 （Ideal Gas of Temperature Scale） 1. 玻意耳定律玻意耳定律 一定质量的气体，在一定温度下，其一定质量的气体，在一定温度下，其 压强压强P和体积和体积V的乘积是个常数。的乘积是个常数。 2. 理想气体理想气体 在各种压强下都严格遵守玻意耳定律在各种压强下都严格遵守玻意耳定律 的气体。的气体。 常量 （温度不

8、变） PV 12 3. 理想气体温标理想气体温标 （1）选：理想气体为测温物质）选：理想气体为测温物质 PVT由玻意耳定律：由玻意耳定律： （2）标准温度定点（）标准温度定点（1954年国际规定）：年国际规定）： 水的三相点：水的三相点： K：理想气体温标单位：理想气体温标单位 名称：开名称：开尔文尔文 水、冰和水蒸汽共存水、冰和水蒸汽共存 时的平衡态温度时的平衡态温度 3 273 16T.K三相点温度三相点温度 13 （3）测温属性随温度的变化关系）测温属性随温度的变化关系 由玻意耳定律：由玻意耳定律： PVT 3 273 16T.K三相点温度三相点温度 333 TPV = TPV 33 3

9、 VP PV TT 33 16.273 VP PV 测定某状态测定某状态P、V，即可确定相应温度，即可确定相应温度T。 14 4. 定体气体温度计定体气体温度计 体积保持不变体积保持不变TK P P 27316 3 . 气体温度计使用范围：气体温度计使用范围： （1）T 0.5K（低压（低压3He 气）（气）（2） 实际气体在实际气体在 P 0 时的极限时的极限 模型模型 （理想气体）（理想气体） 4. 定体气体温度计定体气体温度计 5. 热力学温标（绝对温标）热力学温标（绝对温标） 不依赖于任何物质的特性的温标不依赖于任何物质的特性的温标 在理想气体温标有效范围内，两种温标一致在理想气体温标

10、有效范围内，两种温标一致 15 热力学温度又叫绝对温度。热力学温度又叫绝对温度。 6. 国际温标：国际温标： 摄氏温标与绝对温标的关系：摄氏温标与绝对温标的关系： t = (T273.15) 国际上按最接近热力学温标的数值，规定国际上按最接近热力学温标的数值，规定 的一些固定点的温标。的一些固定点的温标。 7. 热力学第三定律热力学第三定律 热力学零度热力学零度（绝对零度）是不能达到（绝对零度）是不能达到 的！的！ 16 9.4 理想气体状态方程理想气体状态方程 （Ideal Gas Equation of State） 对质量为对质量为 m 的理想气体的理想气体 333 VP PV T T

11、由于由于 00 0 PVPV TT 得到：得到： T T VP PV 0 00 T T VP v m 0 0 ,0 vRT 标准状态下：标准状态下： P0= 1.013 105 Pa 1 mol气体的体积气体的体积 Vm,0 =22.4l =10-3m3 则：则：V0= vVm,0 T0= 273.15K RT M m 得：得： 17 mol m pVRT M 理想气体状态方程理想气体状态方程 m气体质量气体质量(kg) Mmol摩尔质量摩尔质量(kg/mol) 普适气体常量普适气体常量or摩尔气体常量摩尔气体常量 其中： )Kmol/(31J.8 273.15 104 .2210013.1

12、R 35 0 0 ,0 T VP m 18 理想气体状态方程的另一形式：理想气体状态方程的另一形式： n分子数密度分子数密度(m-3) k=R/NA=1.38 10-23J/K 1 mol 的任何气体都有：的任何气体都有： 1 mol m pRT V M 1 RT V nkT 玻尔兹曼玻尔兹曼(Boltzmann)常量常量 23 6023 10 A N./ mol 阿伏伽德罗常量阿伏伽德罗常量 1 A NR PRTT VVN 19 一房间的容积为一房间的容积为 。白天气。白天气 温为温为21 ，大气压强为，大气压强为0.98 105Pa，到晚，到晚 上气温降为上气温降为12 ，而大气压强升为，

13、而大气压强升为 1.01 105Pa 。窗是开着的，从白天到晚上。窗是开着的，从白天到晚上 通过窗户漏出了多少空气（以通过窗户漏出了多少空气（以kg表示）？表示）？ 视空气为理想气体并已知空气的摩尔质量视空气为理想气体并已知空气的摩尔质量 为为29.0g/mol。 4m10m5m 例例9.1 解：解： mol m pVRT M 由理想气体状态方程由理想气体状态方程 得到：得到： mol MpV m TR 20 355 29 0 10200 0 98 101 01 10 8 31294285 14 6(kg) moldn dn MVpp m RTT . . . () () 由于V等于房间容积始终

14、不变，所以 漏出的空气为： 结果负号表明，从白天到晚上有空气 流进了房间。 21 恒温气压。恒温气压。求大气压强求大气压强 P 随气体的高随气体的高 度度 h 变化的规律。设空气温度不随高变化的规律。设空气温度不随高 度改变度改变. 例例9.2 解：解：设高度设高度h处有一薄层空气，厚处有一薄层空气，厚dh， 底面积为底面积为S，其上下面的气体压强分，其上下面的气体压强分 别是别是P+dP和和P. 该该薄层空气的重力为薄层空气的重力为dmggSdh 由力的平衡条件：由力的平衡条件： (d )dpp SgS hpS ddpg h 22 mol m pVRT M 由理想气体状态方程由理想气体状态方

15、程 得到得到 mol pM RT 代入代入dp 公式可得公式可得dd mol pMg ph RT 分离变量积分分离变量积分 0 00 d dd phh molmol p MgMgp hh pRTRT 得出得出 0 ln mol Mgp h pRT 23 0 mol Mgh RT pp e 或或 恒温气压公式恒温气压公式 一种高度计的原理一种高度计的原理（适用高度（适用高度 2 km） 对珠穆朗玛峰顶，对珠穆朗玛峰顶， h=8844.43m(2005年年) ， 算出算出 0 33atmp. 珠穆朗玛峰顶温度很珠穆朗玛峰顶温度很 低，低，p值实际更低。值实际更低。 取取 0 29 0 g/mol2

16、731 00atm mol M.,TK , p. 24 9.5 气体分子的无规则运动气体分子的无规则运动 （Motion of Gas Molecular） 1. 分子的平均自由程和平均碰撞频率分子的平均自由程和平均碰撞频率 一个分子在单位时间内一个分子在单位时间内 所受到的平均碰撞次数。所受到的平均碰撞次数。 （1）平均自由程）平均自由程 一个分子连续二次碰撞之间所经过的各段一个分子连续二次碰撞之间所经过的各段 路程的平均值。路程的平均值。 z （2）平均碰撞频率）平均碰撞频率 二者关系：二者关系： t ztz vv 25 2. 平均自由程和平均碰撞频率的统计解释平均自由程和平均碰撞频率的统

17、计解释 分子有效直径为分子有效直径为d （分子间距平均值）分子间距平均值） （1）分子模型）分子模型 分子为刚性小球分子为刚性小球 A d d d 其他分子皆静止其他分子皆静止, 只有分子只有分子A以相对平均以相对平均 速率速率 运动运动 .u 以以A分子球心分子球心 所经过的轨道为轴所经过的轨道为轴 线，以线，以d为半径作为半径作 一圆柱体一圆柱体 26 A d d d 凡中心在圆柱体内的凡中心在圆柱体内的 分子均会与分子均会与A A相碰相碰 （2）统计计算）统计计算 碰撞截面碰撞截面 2 d 一秒钟内与该一秒钟内与该A碰撞的分子数为：碰撞的分子数为： n u t zn u t 2u v可证

18、可证 可得平均碰撞频率为可得平均碰撞频率为 2 22 zndn vv 一秒钟内与该一秒钟内与该A碰撞的分子数为：碰撞的分子数为： 27 z v 由由 由理想气体状态方程由理想气体状态方程 可得平均自由程为可得平均自由程为 2 11 22 nd n PnKT 平均自由程又可写为平均自由程又可写为 2 2 KT d P T一定时，平均自由程与一定时，平均自由程与 P 成反比。成反比。 对空气分子对空气分子 d 3.5 10-10 m 标准状态下标准状态下 89 6 9 10 m;6 5 10s.z./ 气体容器线度气体容器线度 时，实际时，实际 就是容器的线度。就是容器的线度。 28 9.6 理想

19、气体的压强理想气体的压强 （ Pressure of Ideal Gas ） 类比：类比： 压强产生于大量分子在无规则运动中压强产生于大量分子在无规则运动中 对器壁的碰撞。对器壁的碰撞。 推导：理想气体分子模型统计方法推导：理想气体分子模型统计方法 29 关于每个分子的力学性质的假设关于每个分子的力学性质的假设 分子可看作质点；分子可看作质点； 除碰撞外，分子之间和分子与器壁之除碰撞外，分子之间和分子与器壁之 间均无相互作用；间均无相互作用； 碰撞是弹性的；碰撞是弹性的； 分子的运动遵从经典力学规律。分子的运动遵从经典力学规律。 自由的、遵循经典力学规律的弹性质 点。 理想气体分子的微观模型：

20、理想气体分子的微观模型： 30 2.关于分子集体的统计假设关于分子集体的统计假设 分子运动速度不同，通过不断碰撞而分子运动速度不同，通过不断碰撞而 变化；变化； 揭示大量偶然事件整体规律的方法揭示大量偶然事件整体规律的方法 大量分子对器壁碰撞：恒定的、持续力的作用大量分子对器壁碰撞：恒定的、持续力的作用 单个分子对器壁碰撞单个分子对器壁碰撞: : 偶然性偶然性 、不连续性、不连续性 平衡态时，分子按位置的分布是均匀的；平衡态时，分子按位置的分布是均匀的； 分子数密度各处相同分子数密度各处相同 d d n NN VVd d n NN VV 31 平衡态时，分子的速度按方向的分布是平衡态时，分子的

21、速度按方向的分布是 均匀的，即均匀的，即 0 xyz vvv 222 xyz vvv 其中 222 2 12xxNx x vvv v N 由于对每个分子 2222 ixiyiz vvvv 两侧取平均 2222 xyz vvvv 则 2222 1 3 xyz vvvv 32 注意注意 dV 应是宏观小微观大的体积元应是宏观小微观大的体积元 Eg. 标准状态下，标准状态下，1cm2的空气中有的空气中有 2.7 1019个分子个分子 若若dV=10-15m ，dV内有1010个分子个分子 涨落涨落 各时刻的各时刻的 dN/dV 值相对于平均值值相对于平均值 n的差别。的差别。 通常，通常， dV=1

22、0-15m “宏观大”，涨涨 落落相对于平均值相对于平均值n可忽略不计。可忽略不计。 33 压强公式的推导压强公式的推导 设容器体积：设容器体积：V 每个分子的质量每个分子的质量m ni为第为第i组分子的分子数密度组分子的分子数密度 总的分子数密度总的分子数密度 总分子数：总分子数：N 把分子按速度区间分成把分子按速度区间分成 若干组若干组 到到 区间，其速度都为区间，其速度都为 设第设第i组分子的速度在组分子的速度在 i v ii vdv i v 12i nnnn 34 设设 dA 法向为法向为 x 轴轴 选取容器上一面积微元选取容器上一面积微元 dA 分子一次碰撞给予器壁的分子一次碰撞给予

23、器壁的 冲量：冲量： 器壁对分子：器壁对分子： ixixixix mvmvmvI2)( 分子对器壁：分子对器壁： ixixix mvII2 dt 时间内与时间内与dA碰撞的分子数：碰撞的分子数： ixixixix mvmvmvI2)( d d iix nvA t 第第 i 组分子对器壁的冲量组分子对器壁的冲量 35 在在dt时间内，分子给器壁的冲量：时间内，分子给器壁的冲量： d d (2) iixix nvA tmv dt时间内，所有分子对器壁的总冲量时间内，所有分子对器壁的总冲量 对所有对所有vix0的分子求和：的分子求和： 2 0 1 d d (2)2d d 2 ix ix iixixi

24、 vi nvA tmvmnvA t 2 d d ix i i mnvA t 气体的压强气体的压强 dd dd d FI p At A 2 ix i i mnv 36 由于由于 22 2ixiix x vnv v Nn 2222 1 3 xyz vvvv 2 12 33 tPnmvn气体压强气体压强 其中其中 2 2 1 vm t 分子的平均平动动能分子的平均平动动能 2 3 t Pn压强公式压强公式 37 9.7 温度的微观意义温度的微观意义 (The Microscopic Interpretation of Temperature) 1.温度公式温度公式 PnkT 2 3 t Pn 由由

25、2 3 t nnKT 3 2 t KT 或或 温度公式温度公式 各种理想气体在平衡状态下，其分子平均平各种理想气体在平衡状态下，其分子平均平 动动能只与温度有关，且与动动能只与温度有关，且与T成正比。成正比。 38 注意注意 T是宏观状态参量，只适于平衡态；是宏观状态参量，只适于平衡态； 温度温度T是统计概念；是统计概念； 温度与热力学系统的整体运动无温度与热力学系统的整体运动无 关。关。 t 是相对于系统的质心参考是相对于系统的质心参考 系测量的系测量的. 内动能：内动能：系统内所有的平动系统内所有的平动 动能的总和。动能的总和。 温度反映的是分子的无规则运动温度反映的是分子的无规则运动（又

26、（又 称称热运动热运动）。）。 39 2.方均根速率方均根速率 2 33 m kTRT v mM 2 13 22 t mvKT 由由 得到得到方均根速率方均根速率 求求00C时，氢气和氧气分子的平均平动动时，氢气和氧气分子的平均平动动 能和方均根速率。能和方均根速率。 例例9.3 解：解：氢气和氧气分子的平均平动动能相等氢气和氧气分子的平均平动动能相等 21 3 5 65 10J 2 t KT. 2 23 H 3 1 84 10 m s; m RT v./ M 2 22 O 4 61 10 m sv./ 40 “量子零度量子零度” 按温度公式，当按温度公式，当T0K时，时， 气体分子的气体分子

27、的 0，即分子运动停止，即分子运动停止。这是经典。这是经典 理论的结果。金属中的自由电子也在不停运动，理论的结果。金属中的自由电子也在不停运动， 组成组成“电子气电子气”，在低温下不遵守经典统计规，在低温下不遵守经典统计规 律。量子理论给出，即使在律。量子理论给出，即使在0K时，电子气中的时，电子气中的 电子的平均平动动能并不为零。例如，铜块中电子的平均平动动能并不为零。例如，铜块中 的自由电子在的自由电子在0K时的平均平动动能为时的平均平动动能为4.23 eV。 如按经典理论的计算，这样的能量相当于多高如按经典理论的计算，这样的能量相当于多高 的温度？的温度？ 例例9.4 t 解：解： 3

28、2 t KT 4 2 3 19 10 K 3 t T. K 差异大！差异大！ 41 9.8 能量均分定理能量均分定理 (Equipartition Theorem of Energy) 运动自由度（自由度）运动自由度（自由度） 物体的能量常以物体的能量常以“平方项平方项” 和的形式出现，和的形式出现， 能量表示式中“平方项平方项”的数目即的数目即运动自由度。运动自由度。 Eg.自由物体的平动动能自由物体的平动动能 222 111 222 k,txyz Emvmvmv 转动动能转动动能 222 111 222 k,rxxyyzz EJJJ 42 2.分子的自由度分子的自由度 一维振子的能量一维振

29、子的能量 22 11 22 Ekxmv He O2 单原子分子单原子分子 Ne 自由度自由度 i = 3 平动自由度平动自由度 t = 3 单原子分子单原子分子 H2 自由度自由度 i = 5 平动自由度平动自由度 t = 3 +转动转动自由度 r=2 43 平动自由度平动自由度 t 转动自由度转动自由度 r 总自由度总自由度 itr 单原子分子单原子分子303 刚性双原子分子刚性双原子分子325 刚性多原子分子刚性多原子分子336 H2OCO2NH3CH3OH 多原子分子多原子分子 自由度自由度 i = 6 平动自由度平动自由度 （t = 3 ）+转动自由度（转动自由度（ r=3） 气体分子

30、的自由度气体分子的自由度 44 由统计假设：平衡状态下，大量气体分子沿各由统计假设：平衡状态下，大量气体分子沿各 方向的运动机会完全相等。方向的运动机会完全相等。 平衡状态下，分子的每一个平衡状态下，分子的每一个平动自由度平动自由度的平均动的平均动 能都相等。能都相等。 222 111 222 xyz mvmvmv 1 2 kT 2222 113 222 txyz mvm(vvv )kT 3.能量均分定理能量均分定理 平动自由度上的平均动能平动自由度上的平均动能 222 111 222 xyz mvmvmv 45 能量均分定理能量均分定理 在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子每的平衡态下，气

31、体分子每 个自由度的平均能量都相等，等于个自由度的平均能量都相等，等于 。 1 2 kT 分子的平均总动能：分子的平均总动能： 单原子分子单原子分子 kT 2 3 刚性双原子分子刚性双原子分子 kT 2 5 刚性多原子分子刚性多原子分子 kT 2 6 2 i kT 46 4.理想气体的内能理想气体的内能 气体的内能所有分子的无规则运动动 能与分子间相互作用势能的总和。 理想气体理想气体的的内能内能 = = 所有分子所有分子动能的总和动能的总和。 2 i kT每个分子的平均动能为每个分子的平均动能为 () 2 i ENkT 分子总数为分子总数为 理想气体的内能为理想气体的内能为 由由 上式变为上

32、式变为 AA RN k, NN () 2 i ERT 47 理想气体的内能只是理想气体的内能只是温度温度的函数，且与热的函数，且与热 力学温度成正比。力学温度成正比。 2 mol mi ERT M 质量为质量为m的理想气体的内能为的理想气体的内能为 48 9.9 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 (Distribution of Maxwell Speeds) 速率分布函数速率分布函数 设一定温度下，分布在某一速率间隔设一定温度下，分布在某一速率间隔 vv+dv 内的分子数为内的分子数为 dN ，其占总分子数，其占总分子数 N 的百分比的百分比dNv /N与与dv成正比，也是成正比，也是

33、v 的的 函数。函数。 d v N f (v )dv N 一个分子一个分子的速率在速率的速率在速率v所在的所在的dv区间内的区间内的 概率概率“概率密度概率密度” 49 表示：平衡态下，速率在表示：平衡态下，速率在v 附近附近所在所在 的单位速率的单位速率区间区间内的分子数占总分子数的内的分子数占总分子数的 百分比。百分比。 一个分子一个分子的速率处于的速率处于v附近单位速率区附近单位速率区 间的概率间的概率“概率密度概率密度” 速率分布函数速率分布函数其中其中 vN N vf v d d )( 性质：性质： 00 d d1 N v N f(v) v N 归一化条件归一化条件 50 2.麦克斯

34、韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 麦克斯韦速率分布函数为：麦克斯韦速率分布函数为： 2 3 2 22 4d 2 mv kT m f (v )()v ev kT 在平衡态下，理想气体分子速率在在平衡态下，理想气体分子速率在 v v+dv 区间内的分子数占总分子数的百分比区间内的分子数占总分子数的百分比 为为 2 3 2 22 4 2 mv kT m f (v )()v e kT 3.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线 几何意义 51 曲线下小窄条的面积为曲线下小窄条的面积为 d d v N f (v ) v N 曲线形状：曲线形状： f(v) v 0 T1 , m1 T2 , m2 对应

35、于：对应于： m1=m2 时时, T2T1 T1=T2 时时, m2m1 曲线下的面积为曲线下的面积为 0 d1f(v) v 52 三种速率三种速率 最概然速率最概然速率vP vP所在区间内的分子数占分子总数的百所在区间内的分子数占分子总数的百 分比最大。分比最大。 d 0 d f ( v ) v 22 1 41 P molmol kTRTRT v. mMM 温度越高，速率大的分子数越多温度越高，速率大的分子数越多 由 1 2 8 ()() p m f ve kT 而 v=vP时，时， 53 平均速率平均速率 v 0 ()d( )d N iv vvNv NNvf vv 2 3 3 22 0 4

36、 ()d 2 mv kT m v ev kT 88 1 60 molmol kTRTRT v. mMM 54 2222 0 ()d( )d i N v vvNvNNv f vv 2 rms 33 1 73 molmol kTRTRT vv. mMM 方均根速率方均根速率2 v 2 3 4 22 0 3 4 ()d 2 mv kT mkT v ev kTm 三种速率比较：三种速率比较： rmsp vvv 55 大气组成。大气组成。计算计算He和和N2分子在分子在20oC时的时的 方均根速率，并以此说明地球大气中为方均根速率，并以此说明地球大气中为 何没有氦气和氢气而富有氮气和氧气。何没有氦气和氢

37、气而富有氮气和氧气。 例例9.5 解：解： e e H 3 H 33 8 31 293 1 35(km/s) 4 0010 rms, RT. v. M. 2 2 N 3 N 33 8 31 293 0 417 (km/s) 28 0 10 rms, RT. v. M. 地球表面的地球表面的逃逸速度逃逸速度为为v=11.2km/s， e H 8 rms, vv 2 N 25 rms, vv 由速率分布原因，大部分由速率分布原因，大部分He可逃逸，可逃逸， 而大部分而大部分N2不能。不能。 56 3.麦克斯韦速度分布率的推导麦克斯韦速度分布率的推导 （1）设总分子数）设总分子数N，粒子速度在，粒子

38、速度在x，y，z三个三个 方向的分量分别为方向的分量分别为 vx ， vy， vz 。 dNvx： vxvx+dvx速度分量区间的粒子数速度分量区间的粒子数 粒子在粒子在vx 附近附近dvx区间区间内出现的概率内出现的概率: d ()d x v xx N g vv N 平衡态时，粒子在各个方向出现的概率相等平衡态时，粒子在各个方向出现的概率相等: d ()d y v yy N g vv N d ()d z v zz N g vv N 57 分布函数分布函数g(vx):粒子在单位粒子在单位vx 区间区间内出现的概率。内出现的概率。 （2）粒子出现在）粒子出现在vx vx+dvx， vy vy+d

39、vy， vz vz+dvz间的概率：间的概率： d () () ()ddd v xyzxyz N g vg v g vvvv N ddd xyz F vvv () () () xyz Fg vg v g v速度分布函数速度分布函数 （3）粒子向各个方向运动的概率相等，速度分）粒子向各个方向运动的概率相等，速度分 布函数与粒子速度方向无关布函数与粒子速度方向无关 222 xyz vvvv 58 222 () () ()= () xyzxyz g vg v g vF vvv 则则 因而因而g(vx)应有的形式为：应有的形式为： 2 () x Av x g vCe 由此：由此： 2 22 y zx

40、Av AvAv FCeCeCe 222 () 3 xyz A vvv C e 2 3 Av C e 令令 2 1 A 2222 () 3 d ddd xyz vvvv xyz N C evvv N 由归一化条件，得到：由归一化条件，得到： 22 2222 3 d ddd1 y zx vv vv xyz N Cevevev N 59 利用数学公式：利用数学公式： 2 d u eu 得到：得到： 323 2 1C () 1 C 得到麦克斯韦速度分布函数：得到麦克斯韦速度分布函数： 2222 () 33 d 1 ddd xyz vvvv xyz N evvv N 60 用麦克斯韦按速度分量分布函数，

41、用麦克斯韦按速度分量分布函数， 求出单位时间内碰撞到单位面积器求出单位时间内碰撞到单位面积器 壁上的分子数壁上的分子数 。 例例9.6 解：解：dt内碰到面积内碰到面积dA容器上速度在容器上速度在dvx区间的区间的 分子数分子数: d()d x vxx nng vv dd d x vx n vt A 单位时间碰到单位器壁面积上速度单位时间碰到单位器壁面积上速度 在在dvx区间的分子数区间的分子数: d()d xxx ng vvv 由由 2 22 1 22 2 x x mv v/ a kT x m g(v )Ce()e kT 61 2 1 22 0 d()d 2 x mv kT xx m nev

42、v kT 1 2 () 2 kT n m 8kT v m 由于 1 4 nv 相同时间内泄漏出的分子数与分子的质相同时间内泄漏出的分子数与分子的质 量的平方根成反比。（富集天然铀中的量的平方根成反比。（富集天然铀中的 235U ，见书 ，见书P322） 62 9.10 麦克斯韦速率分布律的实验验证麦克斯韦速率分布律的实验验证 (Verification test of distribution of Maxwell Speeds) L=20. 40cm r=10.00cm l=0.0424cm =4.8 R以转动， L v vL 改变改变 ，相应速率，相应速率v的原子通过；的原子通过； 测相应

43、测相应vv+dv的射线强度，就可测气体速率分布。的射线强度，就可测气体速率分布。 63 2 Lvvl v r 由麦克斯韦速率分布知：由麦克斯韦速率分布知： 2 4 2 mv kT v e D上上vv+ v区间的原子数区间的原子数 通过细槽的通过细槽的 v区间的原子数区间的原子数 2 ( )v f v 极大值：极大值： 1 2 (4) p vkT m 64 *9.11 玻耳兹曼分布律 玻耳兹曼分布律 (Distribution of Boltzmann) 求状态区间求状态区间dvxdvy dvz dxdydz的分子数为的分子数为? 1. 1. 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 平衡态下（温度一定）平

44、衡态下（温度一定） 速度区间速度区间 vx vx+dvx vy vy+dvy vz vz+dvz 位置区间位置区间 x x+ dx y y+ dy z z+ dz 65 ddddd d d E / kT xyz NNevvvx y z kTE e / 称为称为玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子 玻尔兹曼将麦克斯韦速率分布率推广，以玻尔兹曼将麦克斯韦速率分布率推广，以 Ep+Ek代替代替Ek ，得到，得到玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律： 在温度为在温度为T的平衡状态下，任何系统的微的平衡状态下，任何系统的微 观粒子按状态的分布，即在某一状态区间观粒子按状态的分布，即在某一状态区间 的粒子数与该状态区间的一个

45、粒子的能量的粒子数与该状态区间的一个粒子的能量 有关，而且与有关，而且与 成正比成正比 kTE e / 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 66 2. 重力场中分子按位置的分布重力场中分子按位置的分布 重力场中分子的分布 状态区间状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量分子的总能量 222 1 2 kp xxxp EEE ( vvv)E () ddddd d d KP EE/ kT xyz NCevvvx y z 由玻尔兹曼分布由玻尔兹曼分布 求体积元求体积元 dxdydz 中的分子数中的分子数 dN 67 222 () 2 dddd d d P E xyz vvv/kT / kT xy

46、z Cevvvex y z dd d dC P EkT Nex y z C与与 中的定积分合并为常数中的定积分合并为常数C 体积元体积元 dxdydz 中的分子数密度为中的分子数密度为 d d d p E/ kTdN nC e x y z 0 p E/ kT n e 0 n C 分子在分子在EP=0处分子的数密度处分子的数密度 68 00 mol Mgh/ RTmgh/ kT nn en e EP=mgh，则，则 重力场中气体分子的密度重力场中气体分子的密度 n随高度随高度h的增加按指数规律而的增加按指数规律而 减小。减小。 1909年的皮兰实验的验证年的皮兰实验的验证 由理想气体的压强由理想气体的压强 P= nkT 00 mol Mghmgh kTRT Pn ekTPe 恒温气压公式恒温气压公式 69 9.12 实际气体等温线实际气体等温线 (Isothermals of real Gas) CO2的等温线的等温线 P VO 理想气体等温线理想气体等温线 较大压强较大压强及及较低温度较低温度时，时， 不能看作是理想气体不能看作是理想气体 70 1. 基本概念：基本概念： 饱和蒸汽：饱和蒸汽：液体与其蒸汽共存且能处于平液体与其蒸汽共存且能处于平 衡的状态