第6章 叠加法——对一般动力荷载的反应

1、高等结构动力学 第六章第六章 高等结构动力学 对一般动力荷载的反应- 叠加法 高等结构动力学 高等结构动力学 图图6-1 （无阻尼）（无阻尼）Duhamel积分的推导积分的推导 结构承受图结构承受图6-1所示任意的一般性荷裁所示任意的一般性荷裁p(t)，求解体系的反，求解体系的反 应。应。 高等结构动力学 第六章中所述的短持续时间冲击作用下计算结构反应的近第六章中所述的短持续时间冲击作用下计算结构反应的近 似分析方法，可以用作推导在一般动力荷载下计算反应的似分析方法，可以用作推导在一般动力荷载下计算反应的 基础；基础； t= 时的荷载强度时的荷载强度P（，在，在d 时间间隔内作用结构上，时间间

2、隔内作用结构上， 将产生荷载冲量将产生荷载冲量p( )d 。用方程。用方程(6-19) 来计算结构对这个来计算结构对这个 冲量的反应。冲量的反应。 无阻尼体系的无阻尼体系的DuhamelDuhamel积分积分 高等结构动力学 对于有限持续时间的冲量来说，这种方法是近似的，对于有限持续时间的冲量来说，这种方法是近似的， 但当荷载的持续时间趋于零时，它却是精确的但当荷载的持续时间趋于零时，它却是精确的;因此，因此， 在微分时间在微分时间d期间，荷载期间，荷载p()所产生的反应恰为所产生的反应恰为(对于对于 t) ( ) ( )sin() pd dv tt m （6-1） dv(t)项表示在项表示在

3、t时程范围内微分冲击时程范围内微分冲击p()d引起的自由振动反应的贡引起的自由振动反应的贡 献，不是时间间隔献，不是时间间隔dt内内v的变化。的变化。 高等结构动力学 图图6-1 （无阻尼）（无阻尼）Duhamel积分的推导积分的推导 整个荷载时程可以视作由一系列连续的短脉冲所组成，每一个脉冲将产整个荷载时程可以视作由一系列连续的短脉冲所组成，每一个脉冲将产 生一个如方程（生一个如方程（6-1）所示的微分反应。对于这个线性弹性体来说，则总反）所示的微分反应。对于这个线性弹性体来说，则总反 应可将在荷载时程所产生的全部微分反应相加而获得，亦即对方程（应可将在荷载时程所产生的全部微分反应相加而获得

4、，亦即对方程（6-1） 进行积分：进行积分： t dtp m tv 0 )(sin)( 1 )( （6-2） 高等结构动力学 Duhamel积分积分 高等结构动力学 方程（方程（6-2）一般称作无阻尼体系的）一般称作无阻尼体系的Duhamel积分。它可用来计算任意积分。它可用来计算任意 形式的动力荷载形式的动力荷载p(t)作用下无阻尼单自由度体系的反应。但在荷载变化很不作用下无阻尼单自由度体系的反应。但在荷载变化很不 规则时，计算必须利用数值积分来进行。规则时，计算必须利用数值积分来进行。 （6-3） 方程（方程（6-2）也可写成如下形式）也可写成如下形式 t dthptv 0 )()()(

5、式中新的符号的定义如下式中新的符号的定义如下 )(sin 1 )( t m th （6-4） 方程（方程（6-3）称作卷积积分。计算任意荷裁作用下结构的反应时，利用）称作卷积积分。计算任意荷裁作用下结构的反应时，利用 这个积分可以获得整个时间域的反应。函数这个积分可以获得整个时间域的反应。函数h(t-)一般称作单位脉冲反应一般称作单位脉冲反应 （这是对无阻尼体系定义的），因为它表示，在（这是对无阻尼体系定义的），因为它表示，在t=时，在一个单位大小的时，在一个单位大小的 脉冲作用下，结构的反应。脉冲作用下，结构的反应。 高等结构动力学 不用说，在方程（不用说，在方程（6-2）中，必须假定在荷载

6、开始作用时）中，必须假定在荷载开始作用时 （t=0时），结构处于静止状态。对于其它特定的初始条件：时），结构处于静止状态。对于其它特定的初始条件： v(0)0和和 (0)0，这个解还必须加上一个附加自由振动反应。，这个解还必须加上一个附加自由振动反应。 因此，一般情况下因此，一般情况下 （6-5） t dtp m tvt v tv 0 )(sin)( 1 cos)0(sin )0( )( 高等结构动力学 如果所施加的荷载函数是可积的，结构的动力反应可以用前面如果所施加的荷载函数是可积的，结构的动力反应可以用前面(6-2)或或(6- 5)式的积分来计算。在许多实际情况中，因为荷载仅由试验数据给出

7、，此时式的积分来计算。在许多实际情况中，因为荷载仅由试验数据给出，此时 反应就必须用数值的方法才能十算。注意到在这样的分析中，三角恒等反应就必须用数值的方法才能十算。注意到在这样的分析中，三角恒等 式式 ，和把方程，和把方程(6-2)写成如下形式（在零初写成如下形式（在零初 始假定条件下）将是有用的：始假定条件下）将是有用的： （6-10） 或或 tt dp m tdp m ttv 00 sin)( 1 coscos)( 1 sin)( ttBttAtvcos)(sin)()( 其中其中 t t dp m tB dp m tA 0 0 sin)( 1 )( cos)( 1 )( （6-11）

8、sincoscossin)sin(ttt 高等结构动力学 因此，要进行因此，要进行Duhamel积分的数值积分，必须进行积分积分的数值积分，必须进行积分 和和 的数的数 值计算。例如，苜先考察这两个积分中的第一个，其被积函数绘于图值计算。例如，苜先考察这两个积分中的第一个，其被积函数绘于图7-2中。中。 为了数值计算的方便，计算等时间增量为了数值计算的方便，计算等时间增量的函数值，函数的相继值用相应的函数值，函数的相继值用相应 的角标来区分。可将这些纵坐标乘以适当的加权系数然后相加而得到近似的的角标来区分。可将这些纵坐标乘以适当的加权系数然后相加而得到近似的 积分值。以数学式子表达，即积分值。

9、以数学式子表达，即 （6-8*） 其中其中 ，而，而 表示数值求和过程，其具体形式依赖于所表示数值求和过程，其具体形式依赖于所 利用的近以积分的序号。对于三种基本的近似方法，其求和方法如下进行：利用的近以积分的序号。对于三种基本的近似方法，其求和方法如下进行： A t t m dy m tA )( 1 )( 1 )( 0 简单求和法简单求和法(=1): 1210 1 )( N A yyyyt（6-9a*） )(tA )(tB cos)()(py A t )( 1 高等结构动力学 图图 6-2 Duhamel积分数值求和法的公式化积分数值求和法的公式化 梯形法则梯形法则(=2): （6-9 b*

10、） NN A yyyyyt 1210 2 222)( 高等结构动力学 simpson法则法则(=3): （6-9 c*） NN A yyyyyt 1210 3 424)( 对于对于simpson法则来说，式中法则来说，式中 必须是偶数。必须是偶数。 利用式利用式(6-9*)中任何一个式子和式中任何一个式子和式(6-8*)，可得到所考虑的特定时间，可得到所考虑的特定时间t的的 积分的近似值。但是，一般来说，需要求整个反应过程而不只是求某特定时积分的近似值。但是，一般来说，需要求整个反应过程而不只是求某特定时 间的位移，换句话说，必须计算一系列相继时刻间的位移，换句话说，必须计算一系列相继时刻t1

11、，t2，的反应，其中两的反应，其中两 相邻时间之间的间隔为相邻时间之间的间隔为 （如用（如用simpson法则寸为法则寸为2 ）。）。 为了得到全部为了得到全部 的反应过程，把方程（的反应过程，把方程（6-9*）的求和表示成增量形式更为方便。）的求和表示成增量形式更为方便。 /N t 高等结构动力学 simpson法则法则(=3): （6-10c*） cos)()(cos)()()( 22 ttpttptt AA 33 ( )(2)(2)cos(2)4 ()cos( )cos( ) AA ttp ttp ttp tt 简单求和法简单求和法(=1): )(cos)()()( 11 ttptt A

12、A （6-10a*） 梯形法则梯形法则(=2): （6-10b*） 高等结构动力学 简单求和简单求和 0121 () N=1,2,3, (6-12a)N N Ayyyy m 梯形法则梯形法则 0121 (222) N=1,2,3, (6-12b) 2 N NN Ayyyyy m Simpson法则法则 0121 (424) N=2,4,6, (6-12c) 3 N NN Ayyyyy m 利用其中任意一个式子，都可以直接由多需利用其中任意一个式子，都可以直接由多需N的任意具体的任意具体 值来获得值来获得 。但是，通常是要求整个反应的时间历程，。但是，通常是要求整个反应的时间历程， 为此必须计算

13、直到获得所期望反应时间历程的一系列为此必须计算直到获得所期望反应时间历程的一系列N的的 值。为此，应用这些式子的如下递归形式更有效：值。为此，应用这些式子的如下递归形式更有效： NA NA 无阻尼体系无阻尼体系 高等结构动力学 1 1 () N=1,2,3, (6-13a)NN N AAy m 简单求和简单求和 梯形法则梯形法则 1 1 () N=1,2,3, (6-13b) 2 NN NN AAyy m Simpson法则法则 2 21 (4) N=2,4,6, (6-13c) 3 NN NNN AAyyy m 这里这里 0 0A 高等结构动力学 （6-11*） 项可用完全同样的方法来计算，

14、即项可用完全同样的方法来计算，即 B t m tB )( 1 )( )(tB 其中其中 可以用与方程（可以用与方程（6-10*）一样的表达式来计算，但用）一样的表达式来计算，但用 正弦函数代替余弦函数，将方程（正弦函数代替余弦函数，将方程（6-8*）和（）和（6-11*）代入方程）代入方程 （6-10）则可导得无阻尼体系最后的反应方程：）则可导得无阻尼体系最后的反应方程： （6-12*） B t )( BA tttt m tv cos)(sin)( 1 )( 高等结构动力学 例题E6-1 为了说明Duhamel积分的数值计算，我们来计算一个承 受冲击波的水塔的动力反应。结构和冲击波荷载的理想化

15、模型示于 图E6-1. 图图 E6-1 承受冲击波荷载的水塔承受冲击波荷载的水塔 高等结构动力学 对于这个体系，振动频率和周期为： 270032.3 30 96.6 kg W 2 0 .2 0 9T NN A yyyyyt 1210 3 424)( 弧度/秒 秒 在数值积分中所用的时间增量为 秒，其相应的自 由振动角增量为 弧度（较长的增量 大概也可获得同样满意的结果）。计算 的公式为： 其中 在这个无阻尼分析中，应用Simpson法则求和，公式如下： 0.005 300.0050.15 3因此。 （6-7*） ( )vt t t dp m tB dp m tA 0 0 sin)( 1 )(

16、cos)( 1 )( （6-9*） ( )( ) s in( ) c o sv tAttBtt （6-6*） 高等结构动力学 初值的选取：初值的选取： 由图6-1可知，当 时， ，当 时，根据三角形比例关系，依次计算出相应的 ， 从而得出相应的 和 的值。 0 2(0)0p （ ）0.005,0.010,. ( )19.32,38.64.p sintcost 0 ( )os0 5c01pt 当时 ， sint=0,cost=1(3)(4) （ ） 乘数=1（6）（根据公式（6-9*）确定） 乘数=4（6） （根据公式（6-9*）确定） ( ) cos1(7)(010pt乘 数 ） 0.005

17、( ) cos19.320.98919.09 5pt 当时，p( )=19.32,sint=0.150, cost=0. (3) (4),98（9） 5 0.010 ( ) cos38.640.95536.9pt 当时 ， p()=38.64,sint=0.295, cost=0. (3) (4),95（5） () cos4(19.09476.4(7)pt乘 数 ） 高等结构动力学 乘数=1（6） （根据公式（6-9*）确定） (7)( ) cos1(36.9136.9pt乘 数 ） （三项之和） 076.436.9113. (8)3A 01 1 3 .31 1 3 3 (9 ).A （两项之

18、和） 0( )p当时 ，sint=0(10) 乘数=1（11）（根据公式（6-9*）确定） 0.005 ( )0.152.9p 当时 ， sint=19.32(10) () sin1(1 2010)pt乘 数 ） 乘数=4（11）（根据公式（6-9*）确定） (12)( )sin4(2.9411.6pt乘数） 0.010( )p当时，sin t=38.64 0.295=11.4(10) 乘数=1（11）（根据公式（6-9*）确定） (12)( )sin1(11.4111.4pt乘数） 高等结构动力学 011.611.423.0(13)B （三项之和） 023.(14)023.0B （两项之和）

19、 0,0500 1sinAt当时（ ） cos0 1.000106Bt （） 根据公式（6-10） sinco( 7)s00 10AtBt 5 1.852 10G m ( )(sin(18)cos)0vGAtBt英 尺 K=2700千磅/英尺 ( )( )0 s fkv千 磅 (19) 以 时为例同理进行计算：0.020 (0.020)77.28p千磅 sinsin(0.6)0.564t coscos(0.6) 0.826t 高等结构动力学 ( )cos()(0.020) cos(0.6)77.28 0.82663.8ptp 乘数=1(0.020) cos(0.6) 163.8p ( )cos

20、() 4284.4pt千磅 ( )cos() 148.0pt千磅 当 时0.025 当 时 0.030 63.8284.448.0396.2A 4 2 2 .43 9 6 .28 1 8 .6A ( )sin()(0.020) sin(0.6)77.28 0.56443.6ptp 乘数=1 (0.020) sin(0.6) 143.6p 当 时0.025 0.030 当 时 ( )sin() 4270.0pt千磅 ( )sin() 160.5pt千磅 43.6270.060.5374.4B 3 7 4 .11 7 8 .85 5 2 .9B 高等结构动力学 sin818.6 0.783641.

21、0At cos552.90.622344.2Bt 根据公式（6-10） sincos641.0344.2296.8AtBt 5 1.852 10G m 5 ( )(sincos) 1.85210296.80.0055 vGAtBt 英 尺 K=2700千磅/英尺 ( )( )27000.005514.84 s fkv千 磅 高等结构动力学 高等结构动力学 高等结构动力学 表示有阻尼体系在一般动力荷载下的反应的表示有阻尼体系在一般动力荷载下的反应的Duhamel积分式，除了由微积分式，除了由微 分荷载冲量分荷载冲量 所引起的自由振动反应按指数衰减外，其推导和无阻尼分所引起的自由振动反应按指数衰减

22、外，其推导和无阻尼分 析完全相同。因此，在方程（析完全相同。因此，在方程（2-49）中令）中令 和使和使 ， 得出得出 （6-12*） 其中指数衰减是在荷载作用时其中指数衰减是在荷载作用时( 时刻时刻)就开始的。在整个荷载作用时间就开始的。在整个荷载作用时间 内对这些微分反应项求和，则结果为内对这些微分反应项求和，则结果为 这就是和方程这就是和方程(6-2)对应的有阻尼反应。对应的有阻尼反应。 （6-14*） )(sin )( )( )( t m dp etdv D D t t t D t D dtep m tv 0 )( )(sin)( 1 )( ( )pd (0)0v(0) ( )/vpd

23、m t 高等结构动力学 把（把（6-14*）式和（）式和（6-3）式的卷积积分相比较可以看出，有阻尼体系对）式的卷积积分相比较可以看出，有阻尼体系对 单位脉冲的反应由下式给出：单位脉冲的反应由下式给出： （6-15*） 为了对有阻尼体系反应作数值计算，可把方程（为了对有阻尼体系反应作数值计算，可把方程（6-14*）改写成方程）改写成方程(6- 10)的形式：的形式： 此时此时 （6-16*） )(sin 1 )( )( te m th D t D ttBttAtv DD cos)(sin)()( t D t D t D t D d e e p m tB d e e p m tA 0 0 sin

24、)( 1 )( cos)( 1 )( （6-17*） 高等结构动力学 这些积分可用前述增量求和的同样方法进行计算，只是运算中要考虑指这些积分可用前述增量求和的同样方法进行计算，只是运算中要考虑指 数衰减。第一个积分由下式给出：数衰减。第一个积分由下式给出： （6-18*） 式中的求和，可用上面所讨论的各种方法表达如下：式中的求和，可用上面所讨论的各种方法表达如下： （6-19a*） （6-19b*） A D t m tA )( 1 )( 简单求和法（简单求和法（=1）：）： )exp()(cos)()()( 11 A D A ttptt 梯形法则（梯形法则（=2）：）： ttpttptt D

25、A D A cos)()exp()(cos)()()( 22 高等结构动力学 （6-19c*） Simpson法则（法则（=3）：）： )2exp()2(cos)2()2()( 33 A D A ttptt ttpttp DD cos)()exp()(cos)(4 项由余弦项换上正弦函数而得的类似表达式给出。项由余弦项换上正弦函数而得的类似表达式给出。)(tB 上述任何一种数值方法所得解的精度当然依赖于时间间隔上述任何一种数值方法所得解的精度当然依赖于时间间隔 的长短。的长短。 一般来说，要能很好地确定荷载函数和三角函数，必须选取足够短的一般来说，要能很好地确定荷载函数和三角函数，必须选取足够

26、短的 ； 根据一般的经验，根据一般的经验， 时一般可得到满意的结果。精度和计算的工作时一般可得到满意的结果。精度和计算的工作 量随着求和方法的序号而增加。一般来说，量随着求和方法的序号而增加。一般来说，Simpson方法的精度高，因此虽方法的精度高，因此虽 然它的数值计算复杂，但仍为大众所采用。然它的数值计算复杂，但仍为大众所采用。 101t 高等结构动力学 ( )( )sin( )cos DD v tA ttB tt 其中其中 0 1exp() ( ) ( )cos exp() t D D A tpd mt 0 1exp() ( ) ( )sin exp() t D D B tpd mt 与前面的无阻尼体系一样，这些积分表达式可以用增量与前面的无阻尼体系一样，这些积分表达式可以用增量 求和的方法来计算，但是现在必须考虑阻尼产生的指数求和的方法来计算，但是现在必须考虑阻尼产生的指数 衰减特性。