第6 章 栅格的非均匀效应与均匀化群常数的计算(反应堆物理分析)

1、 目 录 p6.1 栅格的非均匀效应 p6.2 栅格的均匀化处理 p6.3 栅元均匀化群常数的计算 p6.4 燃料组件内均匀化通量密度分布及少 群常数的计算 p6.5 共振区群常数的计算 p6.6 栅格几何参数的选择 6.1 栅格的非均匀效应 p堆的分类(按照堆芯内燃料和慢化剂的分布形式) 均匀堆：均匀堆：燃料和馒化剂均匀混合在一起，例如把铀 和慢化剂制成铀盐溶液 非均匀堆：非均匀堆：在非均匀堆中，把燃料制成块状，如圆 柱状(棒状)、环状、球状、片状(平板状)等，按一定 的几何形式放置在慢化剂中构成所谓栅格结构的 堆芯。 目前的动力反应堆几乎都是非均匀的。 非均匀反应堆非均匀反应堆 世界上第一

2、座反应堆是世界上第一座反应堆是非均匀非均匀反应堆反应堆? ? 当时还没有铀浓缩技术铀浓缩技术，可以得到的核燃料只有天然铀。 天然铀与任何慢化剂（即使用吸收中子极少的石墨或重水） 组成的均匀混合物都不可能达到临界均匀混合物都不可能达到临界。 费米和西拉德等人敏锐地看出，把燃料做成块状块状，与慢化 剂分开，可以得到更好的效果。 把天然铀块插入石墨块，把这样的石墨块一块块堆起来， 堆到一定大小，就达到了临界。他们把此临界装置称为 Nuclear Pile 天然铀与慢化剂的均匀混合物为什么达不到临天然铀与慢化剂的均匀混合物为什么达不到临 界？界？ p欲达临界，欲达临界，k k 一定要大于 一定要大于

3、1 1。 p天然铀石墨的均匀混合物天然铀石墨的均匀混合物, ,各因子可达到的最大值是各因子可达到的最大值是 1.05 0.59 1.33 0.855 pf k 有关概念 p 反应堆栅格反应堆栅格(Lattice):(Lattice):在非均匀反应堆中，按照某种 有规则的图形布置的燃料和其它材料的阵列 p 栅元栅元(Cell)(Cell)：反应堆各栅格中具有相同材料组成和几 何形状的单元 p 燃料棒尺寸与堆芯内中子平均自由程相比： 轻水堆：约大于1cm,与棒径相当，必须细致考虑非均 匀效应； 快堆：约为数十cm，可粗略处理非均匀效应 VENUS-1# ADS sub-critical react

4、or SCWR-thermal spectrum reactor AP1000-PWR 热中子分布：热中子分布： p 主要在慢化剂中产生：燃料慢 化能力比慢化剂小 p 主要被燃料核吸收：燃料吸收 热中子能力比慢化剂大 p 形成从慢化剂流向燃料快的热 中子流 p 空间自屏效应空间自屏效应：外层燃料核对 内层燃料核的屏蔽作用 p 缺点缺点：燃料吸收热中子能力下 降，热中子吸收系数 减小 非均匀栅格内中子的空间分布非均匀栅格内中子的空间分布 1-热中子热中子; 2-共振中子共振中子; 3-裂变中子裂变中子 2. 共振中子分布：共振中子分布： p共振中子主要在慢化剂中产生 p燃料具有很大共振吸收截面造

5、成强烈空间自屏效应空间自屏效应 p共振中子与燃料核碰撞概率减小，与慢化剂碰撞概率增大 p优点：优点：燃料核共振吸收能力减小, 逃脱共振俘获概率增大 非均匀栅格内中子的空间分布非均匀栅格内中子的空间分布 1-热中子热中子; 2-共振中子共振中子; 3-裂变中子裂变中子 3.3.裂变中子分布：裂变中子分布： p在燃料块内产生 p约60%具有1.1MeV以上的 能量，可引起238U裂变 p优点：优点：燃料制成块状，增加 了快中子增殖效应, 增大 非均匀栅格内中子的空间分布非均匀栅格内中子的空间分布 1-热中子热中子; 2-共振中子共振中子; 3-裂变中子裂变中子 栅格的非均匀效应 p非均匀栅格内的中

6、子通量密度分布是不均匀的； p空间自屏效应空间自屏效应 ：p变大，f 变小（小于p的效应）， 略有上升； p合理选择燃料快的直径或厚度、栅距等，可以提 高无限介质增殖因子K（四因子公式） 6.2 栅格的均匀化处理 p非均匀反应堆有成千上万根燃料棒 , 严格计算非常复杂 p非均匀反应堆中子通量密度分布：宏观 + 微观 p实际计算中，非均匀反应堆等效为均匀反应堆非均匀反应堆等效为均匀反应堆 均匀化处理均匀化处理 p均匀化思想：均匀化思想：用一个等效的均匀介质来代替非均匀栅格， 使得计算结果（特征物理量，如中子反应率）计算结果（特征物理量，如中子反应率）与非均匀栅 格相等或近似。 p核心问题核心问题

7、：如何确定等效均匀化介质的各种中子截面参数 或有效群常数 p首选物理量首选物理量：栅元内各能群的各种中子反应率中子反应率 Ggsfax dVdEErErdVdEEr gg EV x EV gx , 1;, ),(),(),( , 因而： , ( ,)( ,) ( ,) g g EgV x g g EV x r Er E dVdE r E dVdE f f D D S S= 蝌 蝌 , ( ,)( ,) ( ,) , ,;1, g x g EVEgV r E dVdEx r Er E dVdE xa f sgG ff DD S=S = 蝌蝌 ( ,)( ,) gg EVEV r E dVdEr

8、E dVdEff DD = 蝌蝌 近似认为： 非均匀反应堆的计算 p把栅格均匀化把栅格均匀化，考虑非均匀效应计算出等效均匀 化系统的均匀化群常数； p把非均匀系统等效成均匀系统把非均匀系统等效成均匀系统。利用上面计算的 均匀化常数，采用均匀反应堆理论计算临界大小、 中子通量密度分布、功率分布等 这种处理方法叫做非均匀反应堆的均匀化处理非均匀反应堆的均匀化处理 堆芯的均匀化截面的计算 非均匀堆的均匀化计算步骤 栅元的均匀化计算。计算由燃料、 包壳和慢化剂组成的一维圆柱栅元， 求出多群中子通量密度空间能群分 布，归并求出少群或宽群的栅元均匀 化截面 燃料组件的均匀化计算。由栅元均 匀化计算结果，进

9、行燃料组件的二维 计算，得到组件均匀化少群截面常数 全堆芯的扩散计算。利用燃料组件 少群均匀化常数进行全堆扩散计算， 求出堆芯有效增值系数和中子通量密 度及功率分布。 21 6.3 栅元均匀化群常数的计算 p 均匀化群常数计算的考虑 计算的主要问题是求介质内中子通量密度分布主要问题是求介质内中子通量密度分布 栅元介质具有强吸收性 = 扩散理论不适用扩散理论不适用! ! 采用更精确的输运理论：SN方法、CPM方法、MC方法等 采用维格纳采用维格纳-赛兹（赛兹（Wigner-Seitz）等效栅元近似）等效栅元近似 栅元均匀化群常数： R/0.56419 R0.52504a aa 正方形栅元 六角形

10、栅元 , ),( ),(),( , dVdEEr dVdEErEr g g EV EV x gx 22 6.3.1 6.3.1 积分输运理论（碰撞概率法）的基本方程积分输运理论（碰撞概率法）的基本方程 t rr/ 假设在L系内中子与原子核的散射各向同性，r处源 Q(r,E)所产生中子对r处的中子通量密度的贡献为 ),( rrE 为连接r与r点的直线路径的“光学距离光学距离”， 也就是以平均自由程为单位量度的距离以平均自由程为单位量度的距离。当t为常数时，等于 2 exp ( ,) ( ,) 4 E rr Q r E rr 0 ),(),( rr t dllErrE 其中 23 6.3.1 6.

11、3.1 积分输运理论的基本方程积分输运理论的基本方程 2 4 ),(exp),( ),(dV rr rrEErQ Er V 2 4 ),(exp),( rr rrEErQ 对于栅元计算，边界条件：等效栅元的边界为各向同性全反 射且净中子流等于零，或者是入射流为零的真空边界。空间任 意点r处的中子通量密度应等于单位时间内从所有其它点r产 生的源中子对r处中子通量密度贡献之和 积分中子输运方程积分中子输运方程 积分输运方程积分输运方程 vs. 扩散方程扩散方程 24 输运方程的数值求解输运方程的数值求解碰撞概率法碰撞概率法（CPM：Collision Probability Method） jiV

12、VVVIiV jiii ,0,;, 1, 12iI 1. 首先将系统划分为I个互不相交的均匀子区均匀子区 当区域划分足够小时，可假设： 每一子区的截面参数为常数或可用该区每一子区的截面参数为常数或可用该区 的的平均值表示平均值表示 每一子区内的中子源强或中子通量密度每一子区内的中子源强或中子通量密度 等于常数等于常数（平源或平通量密度近似）（平源或平通量密度近似） 2. 对能量变量采用分群近似求解分群近似求解，把能量区间自E0到0分为 E0E1EgEG=0，G个能量区间，称为G群近似。 25 碰撞概率法碰撞概率法（CPM：Collision Probability Method） I j jg

13、ijjgiigigt VPQV 1 , gj gi EV j jg EV i ig dVdEErQ V Q dVdEEr V ),( 1 ),( 1 , , 12iI 3. 在积分输运方程两端乘以t，然后在每一子区体积内Vi及能 量区间Eg内对方程进行体积与能量积分，并按照分群近似方 法处理，得 其中 2 4 ),(exp),( ),(dV rr rrEErQ Er V 分别表示第g群第i区平均中子通量密度和第g群第j区平均中子源强 26 I j jgij G g jggf g jggiigigt VP k V 1 , 1 , , G g gjggf G g g jgjggjg S k Q 1

14、 , , 1 , , 源项源项： 忽略外源，得碰撞概率形式积分输运方程碰撞概率形式积分输运方程 群常数及首次碰撞概率可事先求得，上式为一线性方程组，可用迭代方法求迭代方法求 解。解。CPMCPM方法方法关键是首次碰撞概率计算，与几何及材料有关关键是首次碰撞概率计算，与几何及材料有关，专门程序计 算。 I j jgijjgiigigt VPQV 1 , , , ,2 0 exp() ;() 4 ij rr g t g i ij gjigt g VV j rr PdV dVrrdl V rr Pij,g为第j区内产生的一个各向同性中子不经任何碰撞到达i区发生首次碰撞概率首次碰撞概率 27 6.3.

15、2 6.3.2 碰撞概率方程的解及少群常数计算碰撞概率方程的解及少群常数计算 I j j n jf n j j n jf n VQ k VQ k 1 )2( , )2( I 1 )1( , )1( 1 G g n jgf n jgjf Q 1 )1( , , )1( , I j jgij n jf I j G g n g gijj n jgjggi n igigt VPQ k PVV 1 , )1( , 11 )1( , )( , , )( , 迭代方程为迭代方程为： 其中： 用源迭代方法源迭代方法求解碰撞概率形式积分输运方程： 收敛准则收敛准则： 2 , , , 1 )( )1()( )(

16、)1()( max; n nn ig igig gi n nn k kk I j jgij G g jggf g jggiigigt VP k V 1 , 1 , , 28 Ggtfax V V I i iig I i iigigx gx , 2 , 1;, , , , 栅元的均匀化截面栅元的均匀化截面： ign iin gngni iinnn gg V V , , Ggtfax V V gn I i iin gn I i iininx gx , 2 , 1;, , , , 少群的群转移均匀化截面少群的群转移均匀化截面： 均匀化栅元的少群截面均匀化栅元的少群截面（n n表示多群编号，表示多群编

17、号，g g表示少群编号）表示少群编号）： 6.4 燃料组件内均匀化通量密度分布及少 群常数的计算 p燃料组件计算的考虑：燃料组件计算的考虑： 燃料组件的计算可等效为二维问题，使问题简化 组件数很多，采用碰撞概率法计算量大，耗时 界面流方法(穿透概率法)：把组件分成若干个子区，各个子 区之间通常用界面流必须连续的条件来耦合。能够使计算 大大简化。 J 1J - 1J = 2 1i =2 31i-i ( , )i j m S 3 s J - 3 s J + 1 s J - 1 s J + 2 s J - 2 s J + 4 s J - 4 s J + 2 s 3 s 4 s 1 s, i j 根据

18、中子平衡原理，(i,j)子区Sn表面的出 射流方程： , 4 1 ( , )( , )( , )( , )( , ) 1, ;1, ;1,;1,4 n gnm gnm gg SijgS VSS S m Ji jV Q i j Pi jJi j Pi j iIjJgGn +- = =+ = 1 ( , )( , )() ( , )( , )( , ) G g gfggggg g Q i ji ji ji jSi j k c nf = =S+S+ ,n g S J 分别为(i,j)子区Sn表面上的出射和入射总中子流 ( , ) g i jf 为(i,j)子区平均中子通量密度 ( , ) n g S

19、 V Pi j 为入射到Sm表面上的g能群中子未经碰撞穿过子区从Sn表面 逸出的首次穿透概率 3 s J - 3 s J + 1 s J - 1 s J + 2 s J - 2 s J + 4 s J - 4 s J + 2 s 3 s 4 s 1 s, i j , 4 1 ( , )( , )( , )( , )( , ) 1, ;1, ;1,;1,4 n gnm gnm gg SijgS VSS S m Ji jV Q i j Pi jJi j Pi j iIjJgGn +- = =+ = 1 ( , )( , )() ( , )( , )( , ) G g gfggggg g Q i j

20、i ji ji jSi j k c nf = =S+S+ , , , 1 ()()( , )( , ) lu gru glu gru gt ggg ux y i j JJJJi jQ i j V f +- = +-+ S= 根据中子守恒关系从输运方程可以推得(i,j)子区的中子平衡方程 方程右边第一项为子区内对Sn表面出射中子流的贡献，第二项表示入 射到子区表面Sm上的中子未经碰撞直接穿出Sn的数目，两部分之和构成 Sn表面总出射中子流 32 6.5 6.5 共振区群常数的计算共振区群常数的计算 g E F gi i ga dEE I )( , F V F F dVEr V E),( 1 )(

21、 i E Fai dEEEI)()( g g E F E Fa ga dEE dEEE )( )()( , p 共振能区（几共振能区（几ev0.01Mevev0.01Mev）的考虑）的考虑 共振能区，对某些核素存在强烈共振吸收现象 共振吸收截面与能量、栅元的几何结构、介质温度等有关 在多群库中，并不直接给出共振截面，而是给出一些共振参数数据， 根据栅元的具体结构计算得出。 pg g群共振吸收截面群共振吸收截面 定义第i个共振峰有效共振积分 第g个能群有效共振积分 gi i E Fag IdEEEI g )()( g g群共振吸收截面转换为群共振吸收截面转换为 33 6.5.1 6.5.1 非均

22、匀栅元有效共振积分的计算非均匀栅元有效共振积分的计算 p 有效共振积分计算的考虑有效共振积分计算的考虑 非均匀栅格的空间-能量分布不均匀性，计算复杂 孤立棒栅元假设孤立棒栅元假设：假定燃料块间的距离大于中子在慢化 剂内的平均自由程，如重水堆、石墨堆 只取一个栅元考虑：在孤立棒假设下，从一个燃料块飞 出的共振中子不可能在穿过慢化剂时未经碰撞而仍以其 原来能量进入相邻的另一个燃料块 假设栅元只是由燃料和慢化剂组成，且燃料由由一种元 素组成，计算结果可扩展到多种元素 34 6.5.1 6.5.1 非均匀栅元有效共振积分的计算非均匀栅元有效共振积分的计算 / , )1 ( )()( dEdE E EE

23、 V F E E F FFs F 在燃料快内能量高于E的中子与燃料核弹性 碰撞后进入E与E+dE能量范围内的中子数 这些中子在燃料快内发生首次碰撞的数目燃料快内发生首次碰撞的数目为 / , 0 )1 ( )()( )(1dEdE E EE EPV F E E F FFs FF P PF0 F0(E): (E): 在燃料块内产生的均匀和各向同性分布、能量为E的中子未经碰撞逸出块外 在慢化剂内发生首次碰撞的概率，即首次飞行逃脱概率首次飞行逃脱概率。 F和F为燃料块内和慢化剂内共振 中子平均通量密度 35 E EEP dE E EE EPEE FtF E E F FFs FFFt F )()( )1

24、 ( )()( )(1)()( ,0 / , 0, E E 1 )( 0 )()( 0,0, EPVEPV MMMtFFFt 根据中子平衡原理，得燃料快内的中子慢化方程燃料快内的中子慢化方程 假设共振峰很窄，慢化剂内能谱分布慢化剂内能谱分布为： 互易关系式互易关系式 在慢化剂内慢化到慢化剂内慢化到E E与与E+dEE+dE能量范围内的中子在燃料快中发生首次碰撞的数目能量范围内的中子在燃料快中发生首次碰撞的数目 / , 0 )1 ( )()( )(dEdE E EE EPV M E E M MMs MM (6-35) 假设 t,M t,M s,M s,M, , (6-33) (6-33)式可转换

25、为式可转换为dE E PV FFFt0, (6-36) (6-37) P PM0 M0(E): (E): 慢化剂内能量为E的中子在燃料块内发生首次碰撞的概率。 含F (E)的积分方程，若PF0已知，求解方程可得F (E) 。 (6-33) 36 6.5.2 6.5.2 等价原理等价原理 首次飞行逃脱概率首次飞行逃脱概率P PF0 F0非常复杂， 非常复杂，近似方法求解近似方法求解。 S V l 4 定义燃料棒平均弦长燃料棒平均弦长(6-38) l e 1 假想的假想的“逃脱逃脱”宏观截面宏观截面 (6-39) VN S lNN FFF e e 4 1 假想的假想的“逃脱逃脱”微观截面微观截面(

26、6-40) l P FtFte e F , 0 1 1 维格纳有理近似公式维格纳有理近似公式 (6-41) ),()()(I )(0 )(, 1 , 1 )( )( , , , , , , e E Fa eFsFa eFp E FaF eFsFa eFp F TFdE E dEEE NRIM NR EE E ii 近似宽共振， 近似窄共振 (6-42) 对比(6-42)与(2-75): 若非均匀反应堆的e等于均匀堆的FMsM NN/ , ，则两者的 有效共振积分相等，即为等价原理等价原理。 37 6.5.4 6.5.4 温度对共振吸收的影响温度对共振吸收的影响 p多普勒效应多普勒效应：= 非均

27、匀堆共振吸收随温度而改变 能量自屏能量自屏 空间自屏空间自屏 p“能量自屏能量自屏”效应效应 )1(1 1 , 01 101 , , , , , , eFp i E eFp Fa Fa i E eFsFa eFp Fai E E dE E E dE I i i 38 6.5.4 6.5.4 温度对共振吸收的影响温度对共振吸收的影响 )1 ( , 01 101 eFp i i E E I )1 ( , 02 202 eFp i D E E I 02IDIi =共振吸收随温度升高而升高共振吸收随温度升高而升高 p“能量自屏能量自屏”效应效应 39 6.5.4 6.5.4 温度对共振吸收的影响温度对共振吸收的影响 =共振吸收随温度