第5章速度和静力

1、 1. 位置矢量的微分位置矢量的微分 用下面的符号表示某个矢量的微分用下面的符号表示某个矢量的微分: -位置矢量的速度是用位置矢量描述的空间一点的线速度位置矢量的速度是用位置矢量描述的空间一点的线速度. -位置矢量的速度可以通过计算位置矢量的速度可以通过计算Q相对于坐标系相对于坐标系B的微分进的微分进 行描述行描述. -速度矢量可以在任意坐标系中描述，其参考坐标系可用左速度矢量可以在任意坐标系中描述，其参考坐标系可用左 上标注明上标注明: 0 ()( ) lim BB BB Q t dQ ttQ t VQ dtt () A ABB Q d VQ dt 速度矢量与空间某点相关，而描述此点速度的大

2、小取决 于两个坐标系：一个是进行微分运算的坐标系，另一个是描 述这个速度矢量的坐标系. -微分运算的坐标系B，描述速度矢量的坐标系 B: 当两个上标相同时，不需要给出外层上标. -微分运算的坐标系A，描述速度矢量的坐标系 B: 用相对于参考坐标系的旋转矩阵表示. () ABAB QBQ VR V () BBB QQ VV 自由矢量: 可能出现在空间任意位置但保持大小和方向 不变的矢量. 速度、力和力矩矢量是自由矢量。 我们讨论的是一个坐标系原点相对于某个常见的世界参考坐标系的速 度，而不考虑相对于任意坐标系中一般点的速度，对于这种情况，定义 一个缩写符号: 式中的点为坐标系 C的原点，参考坐标

3、系为 U. 用 表示坐标系 C原点的速度， 是坐标系C的原点在坐标系A 中表示的速度 (尽管微分是相对于坐标系 U进行的). A C v U CCORG vV C v 例子: U 是固定世界坐标系. T固连在速度为 100 mph的火车上.坐标 系 C固连在速度为 30 mph的汽车上. 两车前进方向为 U的X方向。旋 转矩阵 已知并且为常数. 30 U UU CORGCORGC d PVvX dt 1 ()(100)100 CUCCCU TORGTUTUC VvRvRXRX 1 ()70 CTCTUU CORGTCORGCT VR VRRX , UU TC RR 2. 角速度 线速度描述了点

4、的一种属性，角速度描述了刚体的一种属性。坐标系 总是固连在被描述的刚体上，所以可以用角速度来描述坐标系的旋转运 动. 描述了坐标系 B相对于A的旋转. 的方向就是 B 相对于 A的瞬时旋转轴, 大小表示旋转速度. A B A B 像任意矢量一样, 角速度矢量可以在任意坐标系中描述，所以需要 附加另一个左上标,例如 就是坐标系 B 相对于 A 的角速度在 坐标系 C中的描述. 一种情况下的简化符号: 这里, 为坐标系 C 相对于某个已知参考坐标系 U的角速度. 例如, 是坐标系 C 的角速度在坐标系 A 中的描述(尽管这个角速度是相对于 U的). A C C () CA B U CC 1. 线速

5、度 把坐标系 B 固连在一个刚体上，要求描述相对于坐标系 A 的运 动 . 坐标系B 相对于A的位置矢量用 和旋转矩阵 来 描述.假设方位 不随时间变化，则Q点相对于坐标系A的运动是 由于 或 随时间的变化引起的. 坐标系A 中的Q点的线速度: 适用于坐标系B和坐标系A的相对方位保持不变的情况. A BORG P A BORG P A BR BQ AAAB QBORGBQ VVR V BQ A BR 2. 角速度 考虑两坐标系重合，相对线速度为零的情况. 它们原点始终保持重合. 坐标系 B相对于 A的方位随时间变化。B相对于A的旋转速度用矢量 来表示, 已知 是坐标系B中一个固定点的位置。 Q

6、uestion: 从坐标系 A看固定在坐标系 B中的矢量，这个矢量将如何随 时间变化?这个系统是否转动？ BQ A B 假设从坐标系 B看矢量Q是不变的: . 从坐标系A中看点Q的速度为旋转角速度 . 的微分增量一定垂直于 和 . 微分增量的大小为: 矢量的大小和方向满足: AAA QB VQ AQ A B AQ (sin )() AA B QQt 0 B Q V A B x x yy z z k kK k 如果 Q 相对于 B是变化的: 利用旋转矩阵消掉双上标: 3. 线速度和角速度同时存在的情况 () AABAA QQB VVQ AABAAB QBQBB VR VR Q AAABAAB Q

7、BORGBQBB VVR VR Q 1. 正交矩阵的导数性质 对任何 的正交矩阵 R ，有: 求导，得到: 定义 , 由此有 . S 是一个反对称阵（skew-symmetric matrix）. 正交矩阵的微分与反对称阵之间存在如下特性: . T SRR 1 SRR ()0 TTTTT n RRRRRRRR nn T n RRI 0 T n SS 2. 由于参考系旋转的点速度 假定固定矢量 相对于坐标系 B是不变的. 如果坐标系 B是 旋转 的 ( 的微分非零), 也是变化的，即使 为常数。 引入 的表达式 : 利用正交矩阵的性质: 旋转矩阵通常称为角速度矩阵. AP BP AABAAB B

8、PB PR PorVR P 1AABAAA PBBB VR PR RP A BR BP AAA PB VS P BP 3. 反对称阵和矢量积 如果反对称阵 S 的各元素如下: 容易证明: (P 是任意矢量). 定义 为角速度矢量. 因此，得到: 这里与 相关的的符号 表明该角速度矢量确定了坐标系 B 相对于 A 运动. 0 0, 0 zy x zxy yx z S SPP AAA PB VP 4. 角速度矢量的物理概念 对旋转矩阵 直接求导: 把 写成两个矩阵的组合: 式中，在时间间隔 中, 绕轴 的微量旋转为 0 ()( ) lim t R ttR t R t ()R tt ()() ( )

9、 K R ttRR t t K 33 00 ()() lim( )lim() ( ) KK tt RIRI RR tR t tt 已知 于是有: 1 ()1 1 zy Kzx yx kk Rkk kk ( ) xxxyzxzy Kxyzyyyzx xzyyzxzz k k vck k vk sk k vk s Rk k vk sk k vck k vk s k k vk sk k vk sk k vc 0 0 0 0 lim() ( ) zy zx yx t kk kk kk RR t t sin() cos()1 最后，用 除以这个矩阵，并取极限得: 于是有: 角速度矢量 的物理意义是，在任

10、一时刻，旋转坐标系方位的变化可 以看作是绕着某个轴 的旋转。这个瞬时转动轴，可作为单位矢量，与 绕这个轴的旋转速度标量 构成角速度矢量。 1 0 0 0 zy zx yx RR 0 0( ) 0 zy zx yx kk RkkR t kk x x yy z z k kK k t K 操作臂是一个链式结构，每一个连杆的运动都与它的相邻杆有关，由 于这种结构的特点，我们可以由基坐标系依次计算各连杆的速度。连杆 i+1的速度就是连杆i的速度加上那些附加到关节i+1上新的速度分量. 1. 角速度 连杆i+1的角速度等于连杆的角速度加上一个由于关节i+1的角速度引 起的分量 1 1 111 iiii i

11、 iiii RZ 111 1 11 iiii i iiii RZ 2. 线速度 坐标系 i+1原点的线速度等于坐标系 i原点的线速度加上一个 由于 连杆i的角速度引起的新的分量. 在坐标系 i+1中: 对于转动关节: 对于移动关节: 11 1 111 1111 () iii iii iiiiii iiiiiii R vR vPdZ 11 iiii iiii vvP 111 1 11 11 11 () iiii i iiii iiiii iiiii RZ vR vP 11 11 () iiiii iiiii vR vP 从一个连杆到下一个连杆依次应用这些公式，可以计算出最后一个连 杆的角速度 和

12、线速度 ，注意，这两个速度是按照坐标系N表 达的。在后面可以看到。如果用基坐标来表达角速度和线速度的话，就可 以用 去左乘速度，向基坐标进行旋转变换. N N 0 NR N N v 0N NNN vR v 0N NNN R 例子: 一个具有两个转动关节的操作臂.计算操作臂末端的速度，将它表达 成关节速度的函数。给出两种形式的解答，一种是用坐标系3来表示的， 另一种是用坐标系0来表示的。 221 22 1 2 0 0 0 001 0 000 1 csl sc T 2 2 3 100 01 00 00 1 0 00 0 1 l T 11 0 11 1 00 00 0010 0001 cs sc T

13、 1212 0012 31231212 0 0 001 cs RR R Rsc 基坐标系的速度为零: Frame 13: 110111000 1 100110001 1 00 0,()0 0 RZvRvP 22221 2 1 1 22111 2111222221 11 2 1 1 000 0 ()0 00 0 000100100 cscsl s l vR vPscscll c 22 22122 211222222 112 000 000 001 cs Rzscz 00 00 0,0v 1 211 21 2 332223 322232121121212 12 0 ()(00 )() 000 l

14、sl s l vRvPRl cl cl 12121 211 1 121212 0 312121212121 1 121212 0() 0()() 00100 csl sl sl s vscl cll cl c 33232 3 32232 12 0 0RZ 1. 雅可比 Jacobian 假设6个函数，每个函数都有6个独立的变量： 计算 的微分关于 的微分的函数 : 11123456 22123456 66123456 ( ,) ( ,) ( ,) yf x x x x x x yfx x x x x x yfx x x x x x j x i y () F YXJ XX X ()YF X 11

15、1 1126 126 222 2126 126 666 6126 126 fff yxxx xxx fff yxxx xxx fff yxxx xxx 雅可比Jacobian: 偏导数矩阵就是雅可比矩阵, 这些偏导数都是 的 函数 . 将上式两端同时除以时间微分，将雅可比矩阵看成是X中的速度向Y中 速度的映射: . 在任一瞬时，X都有一个确定的值， 是一个线性变换。在每一 个新时刻，如果X改变，线性变换也会随之而变。所以，雅可比是时变的 线性变换. ()J X () YJ X X i x66 2. 在机器人中的 应用 在机器人学中，通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速 度联系起来:

16、这里 是操作臂关节角矢量， 是笛卡尔速度矢量. 给雅可比表达式附加上左上标，以此表示笛卡尔速度所参考的坐标系. 对于任意已知的操作臂位形，关节速度和操作臂末端的速度的关系是 线性的，然而这种线性关系仅仅是瞬时的，因为在下一刻，雅可比矩 阵就会有微小的变化. 00 ( ) vJ v 对于通常的6关节机器人，雅可比矩阵是 66阶的矩阵，61的笛 卡尔速度矢量是由一个 31的线速度矢量和一个 31 的角速度矢量组合 起来的： 雅可比矩阵的行数等于操作臂在笛卡尔空间的自由度数量，雅可比矩 阵的列数等于操作臂的关节数量。 0 0 0 v 例子: 以两连杆操作臂为例, 写出该操作臂的雅可比矩阵，该矩阵将关

17、节速 度和末端执行器的速度联系起来。 We could also consider a 32 Jacobian that would include the angular velocity of the end-effector. 1 23 1 222 0 ( ) l s J l cll 1 2 1 3 31 2 1212 () 0 l s vl cl 1 1 12 1212 0 31 1 12 1212 () () 0 l sl s vl cl c 1 12 122 120 1 12 122 12 ( ) l sl sl s J l cl cl c 11212 11212 coscos()

18、 sinsin() B B xll yll qqq qqq =+ =+ 11121212 11121212 sinsin()() coscos()() B B dxldldd dyldldd q qqqqq q qqqqq = -+ =+ 112122121 112122122 sinsin()sin() coscos()cos() B B dxllld dyllld qqqqqq qqqqqq 轾轾轾-+-+ 犏犏犏 = 犏犏犏 + 臌臌臌 另一种雅可比矩阵的计算方法 另一种雅可比矩阵的计算方法，通过对操作臂的运动方程直接微分求雅克比矩 阵： 这种方法可以直接求得线速度，但得不到 31的方位

19、矢量，而这个矢量的导数 就是 . 还有很多方法求雅可比矩阵. 1231231 12 12 1231231 12 12 0 0 0010 0001 B W csl cl c scl sl s T 1 12 12 1 12 12 xl cl c yl sl s 1 12 122 121 1 12 122 12 2 l sl sl sx yl cl cl c 3. 奇异性 如果这个矩阵是非奇异的，那么一直笛卡尔速度的话，就可以对该矩 阵求逆计算出关节的速度: 雅可比矩阵可逆性的性质: 雅可比矩阵对于所有的 值都是可逆的吗？ 如果不是，在什么位置不可逆? 大多数操作臂都有使得雅可比矩阵出现奇异的 值，

20、这些位置就称 为操作臂的奇异位形或简称奇异状态。 所有的操作臂在工作空间的边界 都存在奇异位形，并且大多数操作臂在它们的工作空间也有奇异位形. 1( ) Jv 奇异位形大致分为两类: 1) 工作空间边界的奇异位形 出现在操作臂完全展开或者收回使得末端执行 器处于或非常接近空间边界的情况. 2) 工作空间内部的奇异位形 出现在远离工作空间的边界，通常是由于两个 或两个以上的关节轴线共线引起的. 当一个操作臂处于奇异位形时，它会失去一个或多个自由度。. 在笛卡尔空间的某个方向上（或某个子空间中），无论选择什么样的 关节速度都不能使机器人手臂运动. 例子: 简单的两连杆操作臂，奇异位形在 什么位置?

21、奇异位形的物理意义 是什么? 它们是工作空间边界的奇异位形还是工作空间内部的奇异位形? 当 等于0 或者 180度时，操作臂处于奇异位形. 当 , 操作臂完全展开，末端执行器仅可以沿着笛卡尔坐标的某 个方向，因此，操作臂失去了一个自由度. 当 , 操作臂完全收回，手臂只能沿着一个方向运动. 由于这类奇异位形处于操作臂工作空间的边界上，因此称为工作空间边界 的奇异位形. 2 0 2 1 2 1 2 2 1 222 0 ( )0 l s DET Jl l s l cll 0 2 180 例子: 对于两自由度操作臂，末端执行器沿着 轴以1.0m/s的速度运动. 当操作臂远离奇异位形时， 关节速度都在

22、允许范围内。但是当 操 作臂接近奇异位形，此时关节速度趋向于无穷大. 首先计算坐标系 0中雅可比矩阵的逆: 当末端执行器以 1m/s 的速度沿着 方向运动时，按照操作臂位形的函 数计算出关节速度: 当操作臂伸展到接近 , 两个关节的速度趋向无穷大. 2 0 12112 12 1 22 21 2 , ccc l sl sl s X 2 122 1201 1 12 121 12 121 2 2 1 ( ) l cl s J l cl cl sl sl l s X 2 0 例子: 对于puma560，给出两个可能出现的奇异位形的位置. 当 接近于 -90 度，存在一个奇异位形.在这种情况下，连杆2和

23、连杆 3完全展开。这种情况属于工作空间边界的奇异位形. 只要 , 操作臂都会处于奇异位置.在这个位形，关节轴4和关节轴 6成一直线，所以这两个关节轴的动作会使末端执行器产生相同的运动。 由于这个奇异位形出现在工作空间内部，所以它属于工作空间内部的奇异 位形。 5 0 3 1. 作用在操作臂上的静力 考虑力和力矩如何从一个连杆向下一个连杆传递 考虑操作臂的自由末端在工作空间推动某个物体. 或者用操作臂举起某个负载的情况. 我们希望求出 保持系统静态平衡的关节扭矩. 首先锁定所有的关节已使操作臂的结构固定. 写出力和力矩对于各连杆坐标系的平衡关系. 最后，为了保持操作臂的静态平衡，计算出需要对各关

24、节 轴依次施加多大的静力矩. 为相邻连杆所施加的力和力矩定义以下特殊符号： 连杆i-1施加在连杆i上的力 连杆i-1施加在连杆i上的力矩 将力相加并令其等于零: 将绕坐标系i原点的力矩相加： i f i n 1 0 ii ii ff 111 0 iiii iiii nnPf 我们从施加于手部的力和力矩的描述开始，从末端连杆到基座进行计 算就可以计算出作用出每一个连杆上的力和力矩: 为了按照定义在连杆本体坐标系中的力和力矩写出这些表达式，用坐 标系i+1相对于坐标系i描述的旋转矩阵进行变换，得到连杆之间静力传 递的表达式: 一个问题：为了平衡施加在连杆上的力和力矩，需要在关节上施加多 大的力矩？ 1 111 ii ii iiii iiii ff nnPf 1 11 1 111 iii iii iiiii iiiii fRf nRnPf 除了绕关节轴的力矩外，力和力矩矢量的所有分量都可以由操作臂 机构本身来平衡，为求出保持系统静平衡所需的关节力矩，应计算关节轴 矢量和施加在连杆上的力矩矢量的点积: 对于关节是移动关节的情况，可以计算出关节驱动力为： 通常，将使关节角增大的旋转方向定义为关节力矩的正方向. iT i iii nZ iT i iii fZ 例: 两连杆操作臂，在末端执行器施加作用力矢量 ，求出所需的关节 力矩. Starting from