第8章 曲面立体10114

1、退出退出 第八章 曲面立体 8.1 曲线与曲面 8.2 回转面 8.3 直纹面 8.4 螺旋线和螺旋面 中途返回请按“ESC” 键 8.1.1 曲线 8.1 曲线与曲面 一、曲线的形成和分类一、曲线的形成和分类 1、形成:曲线可以看作由以下三种方式形成： 点不断改变方向运动轨迹； 曲面与平面或曲面与曲面的交线； 直线族或曲线族的包络线； 上 一 节 下 一 节 返 回 退 出 2、分类 根据几何性质不同（或曲线上点的相对位置）而分： 规则曲线 不规则曲线 平面曲线：曲线上所有点都在同一平面内。如： 圆、椭圆，抛物线等； 空间曲线：连续四点不在同一平面上的曲线。如： 圆柱螺旋线、两曲面体相贯线等

2、； 为了能准确地画出曲线的投影，一般应把曲线上特 殊点的投影作出，以控制曲线投影的形状和范围。 特殊点： 本身上的特殊点：反曲点 、反折点；（控制形 状） 对投影面特殊点：最前、后、上、下、左、右点； （控制范围） 二、曲线投影的性质 1.曲线的投影一般仍为曲线 2.属于曲线的点的投影 必属于该曲线同面投影 3.属于曲线某点的切线 投影与该曲线同面投 影仍相切于该切点的 投影 中途返回请按“ESC” 键 1、平面曲线投影的特性 2、圆的投影 1、圆柱螺旋线： 四、空间规则曲线 2、圆锥螺旋线画法 上 一 节 下 一 节 返 回 3、椭圆的投影 4、椭圆的画法 圆柱螺旋线的形成及三要素 圆柱螺旋

3、线的画法 圆柱螺旋线的展开、螺旋角、升角 (1) 已知椭圆的长、短轴，作椭圆 (2) 已知椭圆的任意一对共轭直径，作椭圆 三、平面规则曲线 退 出 1、平面曲线投影的特性 中途返回请按“ESC” 键 积聚性实形性 尖点两重点拐点 三、平面规则曲线 1）.倾斜于投影面的圆，它的投影为椭圆 返 回 2、圆的投影 2） 倾斜于投影面的圆上任意一对相互垂直的直径 投影成椭圆上的一对共轭直径 返 回 3）倾斜于投影面的圆上一对相互垂直的直径，其中 一 条为投影面平行线时，则它们在该投影面的投影 为椭圆的长、短轴 返 回 例1 已知一圆属于铅垂面P，（P平面对V面的夹角为b），直径为 2R，且已知该圆圆心

4、O的两面投影，试作该圆的两面投影。 中途返回请按“ESC” 键 例2 已知一般位置平面I II III IV上有一个以O为圆心，直径为2R的 圆，试作其两面投影 中途返回请按“ESC” 键 3、椭圆的投影 1）在特定条件下，椭圆 投影可为一圆 2）椭圆的一对共轭直径， 投影后性质不变 返 回 一般斜平面上的圆 圆所在的 平面倾斜于 三个投影面 时，圆的任 一投影都是 椭圆，椭圆 长轴的长度 总是等于圆 的直径d。 1）已知椭圆的长、短轴，作椭圆 中途返回请按“ESC” 键 4、椭圆的画法 2）已知椭圆的任意一对共轭直径，作椭圆 中途返回请按“ESC” 键 1 2 3 4 例题 已知一圆属于正垂

5、面P，并知其圆心为O，直径为 40 mm，求作该圆的三面投影图。 20 中途返回请按“ESC” 键 例题如图所示， 在平行四边形IJKL 内有一个圆，已知 圆心C的正面投影 c，直径为28mm， 求作这个圆的两面 投影。 按给定条件作平行四边形上的圆的两面投影 (a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果 作圆心作圆心C C的水平投影的水平投影c c。 作圆的水平投影椭圆作圆的水平投影椭圆。 作圆的正面投影椭圆作圆的正面投影椭圆。 例例 半径为半径为r r的圆位于一般倾斜平面的圆位于一般倾斜平面ABCDABCD上，并知圆上，并知圆 心的位置，试作出其投影。心的位

6、置，试作出其投影。 解：首先，在水平 投影中作椭圆的长短轴： 长轴的方向为面内水平 线的水平投影的方向， 长度等于圆的直径2r。 短轴垂直于长轴，长度 利用直角三角形法求出。 其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它 们是一对共轭直径12、34。根据共轭直径可求 出椭圆上的其余四个点5、6、7、8，用八点法 画出正面投影椭圆。 最后，利用平面上定点的方法求出水平投影中的5、 6、7、8四点，从而画出水平投影椭圆。 返 回 一、曲面的形成一、曲面的形成 曲面可以看作为动线（直线或曲线）在一定的约束条件下运 动的轨迹。动线称为母线母线；其在任一位置称为素线素线。约束母线 运动的线或面，分别

7、称为导线导线或导面导面。 8.1.2曲面 返 回 二、曲面的分类 按曲面形成是否有规律:规则、不规则； 按曲面是否可展开:可展、不可展； 据母线是直线还是曲线：直纹面、曲线面； 据母线运动是否回转轴：回转面、非回转面； 24 8.2.1回转面的形成和基本性质回转面的形成和基本性质 8.2 8.2 回转面回转面 1.回转面的形成回转面的形成 母母 线线 （子午线（子午线） 轴轴 线线 喉喉 圆圆 赤道圆赤道圆 纬纬 圆圆 以一平面曲线或直线为母线，绕同以一平面曲线或直线为母线，绕同 一平面内的一条定直线旋转而形成的曲一平面内的一条定直线旋转而形成的曲 面。该定直线称为旋转面的轴线面。该定直线称为

8、旋转面的轴线。 母线的任意位置称母线的任意位置称素线素线。母线上。母线上 任意点的运动轨迹都是一个垂直于任意点的运动轨迹都是一个垂直于 轴线的圆，称为轴线的圆，称为纬圆纬圆。曲面上比相。曲面上比相 邻两侧都大的纬圆，称为曲面的邻两侧都大的纬圆，称为曲面的赤赤 道圆道圆；都小时则称为；都小时则称为喉圆喉圆。母线的。母线的 上、下端点所形成的纬圆，分别称上、下端点所形成的纬圆，分别称 作作顶圆和底圆顶圆和底圆。 8.2 回转面 25 8.2 8.2 回转面回转面 2.回转面的投影及面上的点 顶顶 圆圆 喉喉 圆圆 纬纬 圆圆 赤道圆赤道圆 底底 圆圆 退 出 表1 常见回转体 圆 柱 体 回 转

9、面 形 成 规 律 母线:与轴线平 行的直线 轴线:直线轴线:直线 母线:圆或圆弧 轴线:圆的直径 母线:圆或圆弧 轴线:不经过圆心而 与之同平面的 直线 直 观 图 圆 锥 体圆 球 体圆 环 体 母线:与轴线相 交的直线 8.2.2 回转体 一、圆柱 作图步骤： 画底面和顶面的投影 画转向线 画轴线 正面转向线 侧面转向线 空间分析 中途返回请按“ESC” 键 圆柱 返回 圆柱投影图分析 底面水平面 转向线 顶面水平面 圆柱面 前半个圆柱面 后半个圆柱面 左半个圆柱面 右半个圆柱面 正面转向线 侧面转向线 后 前 左 右 中途返回请按“ESC” 键 例3 已知属于圆柱面上的点A、B、C 的

10、一个投影求另外 两面投影 中途返回请按“ESC” 键 例4 已知圆柱面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面 投影 中途返回请按“ESC” 键 二、圆锥 作图步骤： 画底面的投影 画转向线 画轴线 画正面转向线 画侧面转向线 空间分析 中途返回请按“ESC” 键 画锥顶 圆锥 返回 圆锥投影图分析 底面：水平面 前半个圆锥面 后半个圆锥面 圆锥面： 左半个圆锥面 右半个圆锥面 锥顶: 中途返回请按“ESC” 键 圆锥表面上取点线 例 5 例 7 1.属于圆锥表面的特殊位置点 纬圆法素线法 已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另 外两面投影 中途返回请按“ESC” 键 2.属于圆锥表面的一般位置

11、点 例 6-1 例 6-2 过点取属于圆锥面的线（直线或圆）， 则点的投影在该线上 返回 例5 圆锥表面上取点-特殊位置点 返回 例6 圆锥表面上取点-纬圆法 返回 例6 圆锥表面上取点-素线法 返回 例7 已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另外两面 投影 返回 例7 已知圆锥面上的曲线AD 的水平投影，求另外两面 投影 中途返回请按“ESC” 键 圆台的投影圆台的投影 圆台的投影圆台的投影 (a)(a)立体图立体图 (b)(b)投影图投影图 圆锥台 中途返回请按“ESC” 键 三、圆球 投影图： 画转向线 画轴线 空间分析 中途返回请按“ESC” 键 圆球 返回 圆球投影图分析 正面转向

12、线A 侧面转向线B 水平面转向线C 中途返回请按“ESC” 键 例8 圆球表面上取点-特殊位置点 中途返回请按“ESC” 键 例9-1 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影 水平圆为辅助线 中途返回请按“ESC” 键 例9-2 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影 正平圆为辅助线 中途返回请按“ESC” 键 例9-3 已知属于圆球面的点K 的水平投影，求其另外两面投影 侧平圆为辅助线 中途返回请按“ESC” 键 例10 已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两面投影 中途返回请按“ESC” 键 例10 已知圆球面上的曲线AD 的正面投影，求另外两 面投影 中途返

13、回请按“ESC” 键 四、圆环 圆环的投影： 画母线圆圆心轨迹 画转向线 画轴线 判别可见性，图线加粗 中途返回请按“ESC” 键 画母线圆 圆环投影图分析： 内环面 外环面 外环面水平面转向线 内环面正面转向线 内环面水平面转向线 外环面正面转向线 内、外环面分界线 内环面 外环面 环面 中途返回请按“ESC” 键 外环面和内环面 返回 例11 已知圆环面上的点A、B 的一个投影，求它们的另 一个投影 中途返回请按“ESC” 键 例12 已知圆环面上的曲线AD 的水平投影，求正面投影 中途返回请按“ESC” 键 同轴回转体的投影 两个投影图 形相同,另外 一个投影为若 干个同心圆。 中途返回

14、请按“ESC” 键 同轴回转体表面上的点 中途返回请按“ESC” 键 60 直纹面是由直母线运动而形成的 曲面。直纹面分为可展直纹曲面和不 可展直纹曲面。 8.3 直纹面 8.3 8.3 直纹面直纹面 可展直纹曲面可展直纹曲面 当曲面上相邻两素线相交或平行时，当曲面上相邻两素线相交或平行时， 所形成的曲面可以展平在一个平面上而称为所形成的曲面可以展平在一个平面上而称为 可展直纹曲面。常见的可展直纹曲面有可展直纹曲面。常见的可展直纹曲面有柱面柱面 和和锥面锥面。 1、锥面 返 回 正椭圆锥面斜椭圆锥面正圆锥面 62 8.3 8.3 直纹面直纹面 锥面应用锥面应用 锥面在建筑工程中，锥面在建筑工程

15、中， 也有着广泛的应用。右图也有着广泛的应用。右图 表示了一个用锥面构成的表示了一个用锥面构成的 完体建筑。完体建筑。 2、柱面 正椭圆柱面斜椭圆柱面正圆柱面 柱面 返 回 3、切线曲面 返 回 4、渐开线螺旋面 48 例题 过图中所示的螺旋线(右旋,导程为48 mm),作一渐开 线螺旋面。 中途返回请按“ESC” 键 5、双曲抛物面 中途返回请按“ESC” 键 双曲抛物面的形成 P 导平面 直导线直导线直母线 70 8.3 8.3 直纹面直纹面 双曲抛物面应用实例双曲抛物面应用实例 （a）屋顶 （b）岸坡（渐变段） 6、锥状面 中途返回请按“ESC” 键 形成：一直母线沿一直导线和曲导线连续

16、运动，同时始终平行 于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。 P 导平面曲导线 直导线 73 8.3 8.3 直纹面直纹面 锥状面锥状面应用实例应用实例 下图是锥状面作为厂房屋顶的一个实例。屋面上下图是锥状面作为厂房屋顶的一个实例。屋面上 的素线都平行于山墙。的素线都平行于山墙。 7、柱状面形成： 中途返回请按“ESC” 键 P 形成：一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平 面，这样形成的曲面称为柱状面 导平面曲导线 曲导线 76 柱状面的应用实例 8.3 8.3 直纹面直纹面 六、柱状面六、柱状面 79 8.3 8.3 直纹面直纹面 柱状面应用实例柱状面应用实例 右图所示的是右图所

17、示的是 柱状面应用于拱门柱状面应用于拱门 上的实例。可以看上的实例。可以看 出：导线应为拱口出：导线应为拱口 曲线曲线(一为半圆，一为半圆， 一为半椭圆一为半椭圆)，导，导 面应为水平面。面应为水平面。 8、单页双曲回转面的形成：由直母线绕与它交叉的轴线旋 转而形成。 中途返回请按“ESC” 键 单页双曲回转面的投影 中途返回请按“ESC” 键 类直纹曲面 中途返回请按“ESC” 键 拉伸曲面 中途返回请按“ESC” 键 9、 球面、环面 返 回 回转曲面 中途返回请按“ESC” 键 边界曲面 中途返回请按“ESC” 键 柱状圆纹曲面返 回 羊角状圆纹曲面返 回 8.4.1、圆柱螺旋线 中途返

18、回请按“ESC” 键 旋向1）形成2）三要素：直径导程 右旋 左旋 8.4 螺旋线与螺旋面 母线旋转一周时， 动点沿母线移动的距离 叫做螺距。螺距h和导 圆柱的半径R是确定螺 旋线的两个参数。给出 这两个参数的大小，再 根据螺旋线的方向(譬 如是右螺旋)，就可以 做出螺旋线的投影。 R h 螺旋线投影作法： （1）用半径）用半径R作出导圆柱的投影；作出导圆柱的投影； （2）把导圆柱的底圆周）把导圆柱的底圆周(在水平投影上在水平投影上)和和 螺距螺距h(在正面投影上在正面投影上)分成同样多的等份分成同样多的等份(如如 12等份等份)； （3）在水平投影上用数字沿螺旋线方向）在水平投影上用数字沿螺

19、旋线方向 顺次标出各分点顺次标出各分点0、1、12； （4）从）从0、1、12 向上作铅垂联系线，向上作铅垂联系线， 得各分点的正面投影；得各分点的正面投影； （5）用曲线圆滑的连接）用曲线圆滑的连接0、l、 2 12各点，各点， 得一正弦曲线该曲线得一正弦曲线该曲线 就是所作螺旋线的正面投影。就是所作螺旋线的正面投影。 0 6 7 8 9 10 11 12 1 2 34 5 0 1 2 3 11 12 10 9 8 7 6 5 4 圆柱螺旋线的画法 中途返回请按“ESC” 键 2、圆锥螺旋线画法 中途返回请按“ESC” 键 8.4.2、正螺旋柱状面的形成 中途返回请按“ESC” 键 一直线沿

20、着 圆柱螺旋线和 圆柱轴线滑动， 并始终与轴线 相交成定角。 这样形成的曲 面叫做螺旋面。 螺旋面分平、 斜两种。 平螺旋面平螺旋面 圆柱螺旋面的画法 中途返回请按“ESC” 键 99 8.4 8.4 螺旋线与螺旋面螺旋线与螺旋面 43 2 1 7 8 6 9 5 10 11 12 13 空心螺旋面的投影画法空心螺旋面的投影画法 100 平螺旋面的应用平螺旋面的应用 螺旋楼梯扶手螺旋楼梯扶手 101 平螺旋面的应用平螺旋面的应用 螺旋楼梯螺旋楼梯 102 8.4 8.4 螺旋线与螺旋面螺旋线与螺旋面 例例 已知螺旋楼梯所在内、外两个导圆柱的直径分别为已知螺旋楼梯所在内、外两个导圆柱的直径分别为

21、d和和D， 沿螺旋上行一圈有十二个踏步，导程为沿螺旋上行一圈有十二个踏步，导程为L，楼板的竖直厚度为，楼板的竖直厚度为 h。作出该螺旋楼梯（右旋）的两面投影。作出该螺旋楼梯（右旋）的两面投影。 在螺旋楼梯的每个踏步中，在螺旋楼梯的每个踏步中， 踏面为扇形，踢面为矩形，踏面为扇形，踢面为矩形， 两端面是圆柱面，底面是平两端面是圆柱面，底面是平 螺旋面；将螺旋楼梯看成是螺旋面；将螺旋楼梯看成是 一个踏步沿着两条圆柱螺旋一个踏步沿着两条圆柱螺旋 线上升而形成，每级踏面与线上升而形成，每级踏面与 踢面的交线是顶部平螺旋面踢面的交线是顶部平螺旋面 的素线；楼板的竖直厚度可的素线；楼板的竖直厚度可 被认为

22、由底部与顶部平螺旋被认为由底部与顶部平螺旋 面间的厚度，如图所示。面间的厚度，如图所示。 平螺旋面的应用平螺旋面的应用 螺旋楼梯螺旋楼梯 103 8.4 8.4 螺旋线与螺旋面螺旋线与螺旋面 作图步骤： （1）把螺旋面的H投影分为 十二等分，每一等分就是螺 旋梯上的一个踏面的H投影。 螺旋梯踢面的H投影，分别积 聚在两踏面的分界线上，如 图中(11)2122(12)和 (31)4142(32)。因此，在画螺 旋梯的两投影时，只要按一 个导程的步级数目等分螺旋 面的H投影，就完成了螺旋梯 的H投影。图（a） 104 作图步骤： （2）画第一级的V投影。 第一级踢面1122的 H投影积聚成一水平线

23、段 (11)2122(12)，踢面的底线 12是螺旋面的一根素 线，求出它的V投影1112 后，过两端点分别画一竖 直线，截取一步级的高度， 得点21和22。矩形 11212212就是第一 级踢面的V投影，它反映踢 面的实形。图（b） 105 作图步骤： （3）画第二步级的V投影。过点 31和32分别画一竖直线，截 取一步级的高度，得点41和 42，矩形31324241就是 第二级踢面V投影。 以此画出其余各步级的踏面和踢 面的V投影。 注意，第四步级和第十步级踢面 平行于W面，它的V投影积聚成一 竖直线段。第五及第九步级的踢 面，由于被螺旋梯本身所挡住， 它们的V投影是看不见的。各步级 V投影图（c）所示。 106 作图步骤：作图步骤： (4)(4)画螺旋梯板底面画螺旋梯板底面 的投影。梯板底面也的投影。梯板底面也 是一个螺旋面，其形是一个螺旋面，其形 状和大小与梯级的螺状和大小与梯级的螺 旋面完全一样，只是旋面完全一样，只是 两者相距一个梯板