第4章 刚体力学

1、115 ,25,28,29,32,38,43,44P 一一 理解理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量 与线量的关系与线量的关系. 二二 理解理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转 动的转动定理动的转动定理. 三三 理解理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及角动量概念，掌握质点在平面内运动以及 刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单 系统的力学问题系统的力学问题. 四四 理解理解刚体定轴转动的

2、转动动能概念，能在有刚体刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体 绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化：在外力作用下，形状和大小都不发生变化 的物体的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组） 刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动 . 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 若刚体中所有点的运动若刚体中所有点的运动 轨迹都保持完全相同，或者轨迹都保持完全相同，或者 说刚体内任意两点间的连线说刚体内任意两点间的连线 总是平行于它们的初始位置总是

3、平行于它们的初始位置 间的连线间的连线 . 4.1 刚体的基本运动刚体的基本运动 4.1.1 平动平动 4.1.2 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周 运动运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的平面运动刚体的平面运动 :刚体上任一质元都在平行于一固刚体上任一质元都在平行于一固 定参考平面的平面内运动定参考平面的平面内运动. 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ x 一一 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度 z 参考平面参考平面 )(t )()(ttt 角位移

4、角位移 )(t 角坐标角坐标 约定约定 r 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r 沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tt t d d lim 0 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向 参考轴参考轴 4.2 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述 角加速度角加速度 t d d 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同； 3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 . ,a , v 定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一 维转动）的转动方向可维

5、转动）的转动方向可 以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表 示示 . 00 在在冲击冲击等问题中等问题中 L 常量常量 1 I 2 I 1 r 2 r 100 20 0 例例:如图所示，两圆柱体可绕各自的质心水平轴自由转动，它们如图所示，两圆柱体可绕各自的质心水平轴自由转动，它们 的转动惯量分别为的转动惯量分别为 和和 ，半径分别为半径分别为 和和 ，初角速度分别为，初角速度分别为 和和 ;现使两者侧面接触，因现使两者侧面接触，因 摩擦两圆柱体最终以相同的线速度转动，试求：摩擦两圆柱体最终以相同的线速度转动，试求： (1)稳定后最终两者的角速度；稳定后最终两者的角速度； (2)在该过程中在该

6、过程中A圆柱对圆柱对B圆柱的冲量矩。圆柱的冲量矩。 1 C 2 C解解 在该过程中，受力分析如图所示，两转轴在该过程中，受力分析如图所示，两转轴 、 12 F 21 F A对对B及及B对对A的摩擦力分别为的摩擦力分别为 和和 1 F 2 F 对圆柱对圆柱A、B间的支持力间的支持力 和和 及两圆柱体间的正压力对各自转轴无力矩及两圆柱体间的正压力对各自转轴无力矩 对对A、B分别应用角动量定理分别应用角动量定理 A： 112110 0 () t rFdtI 1 B： 22122 0 0 t r FdtI 2 2 r 1 r 将将(1 )式两边乘上式两边乘上, (2)式两边乘上式两边乘上相加可得相加可

7、得 12 vv 1 12 2 rr 1221 FF 由由 即即 且且 3 4 2 1101 22 ()0r IrI 5 由由(3)、（）两式，得、（）两式，得 2 1 20 1 22 1 22 1 I r I rI r 1 1 20 2 22 1 22 1 I rr I rI r 6 7 将将(7)式代人式代人(2)式可得式可得A圆柱对圆柱对B圆柱的冲量矩为圆柱的冲量矩为 1 2 1 20 221 22 1 22 10 t I I rr r Fdt I rI r 有许多现象都可以有许多现象都可以 用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明. 自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律 2 动量

8、守恒定律动量守恒定律 2能量守恒定律能量守恒定律 2角动量守恒定律角动量守恒定律 2电荷守恒定律电荷守恒定律 2质量守恒定律质量守恒定律 2宇称守恒定律等宇称守恒定律等 花样滑冰花样滑冰 跳水运动员跳水跳水运动员跳水 高台跳水 角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 变小则变大，乘积保持不变，变大则 变小。 收臂 大 小 用外力矩用外力矩 启动转盘后启动转盘后 撤除外力矩撤除外力矩 张臂 大 小 花样滑冰中常见的例子 角动量守恒的另一类现象 变小则变大，乘积保持不变，变大则 变小。 收臂 大 小 用外力矩用外力矩 启动转盘后启动转盘后 撤除外力矩撤除外力矩 张臂 大 小 花 样 滑 冰

9、 收臂 大 小 张臂 大 小 先使自己 转动起来 收臂 大 小 共轴系统的角动量守恒 共轴系统若外则恒矢量 轮、转台与人系统 轮 人台 初态全静 初 人沿某一转 向拨动轮子 轮 末态 人台 轮轮 末 人台人台 初 得 人台人台 轮轮 导致人台导致人台 反向转动反向转动 转动与碰撞 续上 例例 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并并 与纸面垂直的轴在竖直平面内转动与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位当细杆静止于水平位 置时置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并背并背 离点离点O 向细

10、杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m. 问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向小虫应以多大速率向 细杆端点爬行细杆端点爬行? 0 v 22 0 ) 4 ( 12 1 4 l mml l mv l 0 7 12 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒 l 0 7 12 v 由角动量定理由角动量定理 dd()dI ddd LI M ttt t r mrmrml t mgr d d 2) 12 1 ( d d cos 22 即

11、即 考虑到考虑到 t ) 7 12 cos( 24 7 cos 2d d 0 0 t l t g t rv v lg 例例 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下落处自由下落 到跷板的一端到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设跷设跷 板是匀质的板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在在 竖直平面内转动竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落在跷板落在跷板 上上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可弹起多高可弹

12、起多高? l l/2 CA B M N h 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度 21 M )2( ghv 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、 N具有相同的线速度具有相同的线速度 2 l u m 把把M、N和跷板作为和跷板作为 一个系统一个系统, 角动量守恒角动量守恒 21 M )(2gh v 2 l u 22 M 11 2 22122 ll mImum lmlv lmm ghm mllm lm )6( )2(6 212 2 21 22 M v 解得解得 演员演员 N 以以 u 起起 跳跳, 达到的高度达到的高度 h mm m g l g u h 2 222 ) 6 3 ( 82

13、 l l/2 CA B M N h . 力矩的功力矩的功 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理. 力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理. .刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理 力力 的元功的元功 力矩的功 力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算 若在某变力矩若在某变力矩 的作用下，刚体由的作用下，刚体由 转到转到 作的总功为作的总功为 力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 如果刚体同时受到几个外力的作用，则各外力矩对刚体所如果刚体同时受到几个外力的作用，则各外力矩对刚体所

14、 做的总功为做的总功为 0 WMd 外 i i MM 式中式中 力矩的功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 总摩擦力矩 是 各微环带摩擦元力矩 的积分 环带面积 环带质量 环带受摩擦力 环带受摩擦力矩 圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功 得 粗 糙 水 平 面 转轴 平放一圆盘 2 1 22 21 11 d 22 WMII . 转动动能转动动能 2 2 1 ii i k mEv .刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 2 1 d MW 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体 转动动能的增量转动动能的增量 . 222 11 (

15、) 22 ii i mRI 22 11 d dd d II t 刚体的机械能刚体的机械能KPEEE 刚体重力势能刚体重力势能 2 1 2 C EImgh pii Emgh i i C mh mgmgh m 刚体的刚体的 机械能机械能 质心的势能质心的势能 刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立 c h 0 P E C i m i h 机械能守恒与转换定律机械能守恒与转换定律 守恒与转换条件 1122 kpkp EEEE 恒量 功能原理（刚体+地球为系统） () kp WWEE 外力矩非 0WW 外力

16、矩非 从从而而 k WWWE 外力矩非保守力矩 O 例例 如图所示，一圆轮可绕过其中心如图所示，一圆轮可绕过其中心的水平轴自由转动的水平轴自由转动 达到最低位时，轮轴所受的支撑力达到最低位时，轮轴所受的支撑力N是多少是多少? m ，轮的边缘处镶有一与轮等质量的小球。在，轮的边缘处镶有一与轮等质量的小球。在轮的质量为轮的质量为 1 初始时刻轮处于静止，小球处的半径与竖直向上的方向成初始时刻轮处于静止，小球处的半径与竖直向上的方向成 角。求释放后，圆轮角速度角。求释放后，圆轮角速度的大小如何变化的大小如何变化? 当小球达当小球达 1 1 sin(coscos )WmgRdmgR 解解 如图建立坐标

17、系，如图建立坐标系，X轴沿水平方向，轴沿水平方向，Y轴沿竖直方向，轴沿竖直方向，Z轴轴 沿转动轴垂直纸面向外。重力矩对轮球系统作的功为：沿转动轴垂直纸面向外。重力矩对轮球系统作的功为： 22 1 1 ()0(coscos ) 2 WImRmgR 2 1 , 2 IImR式中： 为轮的转动惯量，所以有 1 4 (coscos ) 3 g R 根据定轴转动动能定理，重力矩所作的功等于根据定轴转动动能定理，重力矩所作的功等于 轮球系统转动轮球系统转动动能的增量，即动能的增量，即 1 42 sinsin 233 dgdg dtRdtR 2 1 4 (coscos ) 3 cncc g arr R 2

18、sin 3 ctcc g arr R 1 2 (cos1) 3 cn g a 0 ct a 系统质心加速度的法向分量及切向分量分别为系统质心加速度的法向分量及切向分量分别为 , 2 c R r 当小球运动到最低位时当小球运动到最低位时 质心加速度为：质心加速度为： 0 x N 22 ycn Nmgma 1 25 222( cos) 33 ycn Nmgmamg 1 25 2(cos) 33 mg因此，得出轮轴受力大小为因此，得出轮轴受力大小为 1 25 (cos)0 33 而且而且 表明轮轴所受支撑力的方向向上。表明轮轴所受支撑力的方向向上。 由质心运动定理可知由质心运动定理可知, 在小球处于

19、最低位时，轮轴所受支撑力在小球处于最低位时，轮轴所受支撑力 N满足下面的条件：满足下面的条件： 动能定理例题三 段，外力矩作正功 段，外力矩作负功 合外力矩的功 从水平摆至垂直 由 得 转轴对质心轴的位移 代入得 摆至垂直位置时杆的 水平位置静止释放 例例 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由 转动转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入竿内距支 点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为问子弹的初速率为 多少多少 ? v a m m 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 . 子弹射

20、入竿的过程系统角动量守恒子弹射入竿的过程系统角动量守恒 ) 3 1 ( 22 malmamv o a m v 30 22 3 3 malm am v o a m v 30 mamalmmalmg6)3)(2)(32( 22 v 222 ) 3 1 ( 2 1 malm )30cos1 ( 2 l gm)30cos1 (mga 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 . 22 3 3 malm am v 4.6.1 刚体平面平行运动的描述 1.基面与基点基面与基点 基面基面:选择一个平行于参考平面的平面 特征特征:刚体内垂直于参考平面的直

21、线上的各质元的运 动状态完全相同。 基点基点：在基面上选择一个点 2.研究方法 刚体的平面平行运动可分解为平动和定轴转动刚体的平面平行运动可分解为平动和定轴转动 ()AB( )A B刚体由1运动到2的过程可看作是: 2 A j B2 刚体自位置刚体自位置1 1随基点随基点平动到位置平动到位置，然后再令刚体绕过基点，然后再令刚体绕过基点 B B j 的轴转动的轴转动达到位置达到位置2; 2; 或者，刚体自位置或者，刚体自位置1 1随基点随基点A A平动至平动至 , , 然后再令刚体绕过基点然后再令刚体绕过基点位置位置 A 的轴转动的轴转动达到位置达到位置2 2 AB jj 但是在同样的时间内刚体

22、平动的距离并不相同 在这两种过程中，刚体所转过的 角度是相同的，即 平动速度依赖于基点的选择，而转动角速度平动速度依赖于基点的选择，而转动角速度与基点的选择无关与基点的选择无关 4.6.2 转动瞬心 纯滚动 1.转动瞬心 选定基点A点后，基面上任一质元B的运动速度可写为 BA BA vvR 在任一时刻, 基面上恒有一点的速度为零, 这点叫做转动瞬心转动瞬心。 即刚体上任意质元在该瞬时的运动仅仅是绕瞬心的转动 BABARRR 是从A指向B的位矢, BAR 转动的速度 是B点绕A点 (2).判别式 , ccc xRvRaR 111 ; PcPcc rrrvvvvr 0 2 BcB AcAc vvR

23、 vvRv P r 1 r c r P v c P x y o 1 v c v 2.纯滚动 (1).基面上任一质元P的速度 接触点B就是瞬心 (选定基点A点为圆柱体的质心C) 1.随质心轴的平动遵从质心运动定理随质心轴的平动遵从质心运动定理 2.随质心轴的转动遵从转动定律随质心轴的转动遵从转动定律 圆柱体的滚动规律可由上述两个基本方程联立求解。圆柱体的滚动规律可由上述两个基本方程联立求解。 ic Fma cc MI 4.6.4 功能原理 22 11 , 22 ccp WWEEmvIE 非外 式中 4.6.3 刚体平面平行运动的动力学方程 例4.14 设半径为R,质量为m的均匀圆 柱体,沿着倾角

24、为 的斜面无滑动的滚下， 方法1: 用动力学方程讨论解: 试求圆柱体质心的加速度。 1 .2 ., ; 3 . 4 .sin cos0 , c cc mN mg f Rf oxy mgfma Nmg fRIaR 2 sin 3 c ag x y o f gm N c x sin c x 0 0 c v A 0 0 方法2: 用功能原理讨论 22 3 .,0 11 4 .0(sin) 22 c p cccc oxyEx Emg xE xmvI 令 22 2 11 sin 22 4 sin 3 cccc cc mg xmvIvR vgx 可得取微分整理有 1 . 2 .,0. m NfE 地球 不

25、做功做功之总和为守恒 2 sin 3 c ag 的物理意义； ,0 , , cfc vRdWf Rvdt 纯滚动时 前项：摩擦力矩对转动作正功 转动动能 后项：摩擦力对平动作负功 使平动动能 ddd ddd d fAA crrc c Wfrf vt fvvtfvtfvt fRvt x y o f gm N c x sin c x 0 0 c v A 0 0 结果：把一部分平动动能转换为转动动能 在受力点A的位移元 上, 的元功为 d A r f 0 f W 总和为零 例例 一质量为一质量为m、半径为、半径为R的匀质圆柱，在水平外力的匀质圆柱，在水平外力F作用下作用下 l，求质心的加速度和圆柱所

26、受的静摩擦力，求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力 在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂 直距离为直距离为 c Ffma c FlfRI 解解 设静摩擦力设静摩擦力f的方向如图所示，则由的方向如图所示，则由 质心运动方程质心运动方程(在水平方向在水平方向) 及圆柱对质心及圆柱对质心 的转动定律的转动定律,可得：可得： 并考虑纯滚动的条件并考虑纯滚动的条件 c aR 2 () 3 c F lR a mR 2 3 Rl fF R 2 1 2 c ImR以及以及，可解得，可解得 讨论：讨论： ,0 2 R lf静摩擦力向后静摩擦力

27、向后 ,0 2 R lf 静摩擦力向前静摩擦力向前,0 2 R lf 2 2 1 mR 例例. .一绳绕在一个质量为一绳绕在一个质量为 m，半径为，半径为 R的圆柱体上，现将绳铅直的圆柱体上，现将绳铅直 地向上拉，以使自圆柱体放开时其质心不致下落地向上拉，以使自圆柱体放开时其质心不致下落(圆柱体绕通过圆柱体绕通过 C的竖直轴的转动惯量为的竖直轴的转动惯量为 )，试问： (1) 绳中张力为多大绳中张力为多大? （2）当圆柱体达到角速度为）当圆柱体达到角速度为 时，张力对圆柱体做了多少功？时，张力对圆柱体做了多少功？ (3) 在此时间内，共放开的绳子长度为多少？在此时间内，共放开的绳子长度为多少？ mg c mamgT 0 c a mgT 解：（1）设绳的张力为T ，对于圆柱体受到张力T和重力 作用，根据质心运动定理有 依题意 0 0 222 11 24 T WImR （2）设t=0时，t时，圆柱体的角速度为 由于圆柱体所受重力的力矩为零，根据转动动能定理， 张力作功为 T WTRmgR 2 4 T WR Rmgg R （3）设圆柱体总共转过的角度为，则绳子长度为 ，由张力作功可得 22 4 R LR