第8-9章正弦电流电路的稳态分析

1、本章重点本章重点 本章重点：本章重点： 正弦量的三要素，两个正弦量的正弦量的三要素，两个正弦量的相位差相位差 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 复阻抗与复导纳复阻抗与复导纳 相量图相量图 用相量法分析正弦稳态电路用相量法分析正弦稳态电路 正弦交流电路中的功率分析正弦交流电路中的功率分析 8.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念 一、正弦量（一、正弦量（sinusoid）的三要素）的三要素 i(t)=Imsin(w w t+ ) Im , w w , , 正弦量的正弦量的三要素三要素 波形波形 w w t i 0 w wT=2 瞬时值瞬时值(instantaneous value)表达式表达式

2、i + _ u (1) 幅值幅值 (amplitude) (振幅、振幅、 最大值最大值)Im：反映正弦量变化：反映正弦量变化 幅度的大小。幅度的大小。 (2) (2) 角频率角频率(angular frequency)w w ： 反映正弦量变化的快反映正弦量变化的快 慢。慢。 w w =d(w w t+ )/dt为相角随时间变化的速度。为相角随时间变化的速度。 正弦量的正弦量的三要素三要素 相关量：相关量：频率频率f (frequency)和和周期周期T (period)。 物理量物理量 符号符号 单位名称单位名称 角频率角频率 w w rad/s ，弧度，弧度/秒秒 频率频率 f 1/s H

3、z，1/秒秒 赫赫兹兹 周期周期 T s，秒，秒 T f w w 2 2 : 关关系系 (3) 初相位初相位(initial phase angle) ：反映了正弦量的计时起点。：反映了正弦量的计时起点。 ( (w wt+ ) 相位角。相位角。 w wt i 0 =0=0 = = / /2 =-=- / /2 一般规定一般规定：| | 。 (w wt+ )|t=0= 初相位角，简称初相位。初相位角，简称初相位。 同一个正弦量，同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同计时起点不同，初相位不同。 二、相位差二、相位差 (phase difference)：两个同频率正弦量相位角之差。：两个同频率正弦

4、量相位角之差。 设电压设电压u(t)=Umsin(w w t+ u), 电流电流 i(t)=Imsin(w w t+ i) 则则 电压、电流间的相位差为电压、电流间的相位差为 j j = (w w t+ u)-(w w t+ i)= u- i j j 0 电压电压 领先领先(超前超前(lead)电流电流j j 角，或电流角，或电流 落后落后(滞后滞后(lag) 电压电压 j j 角角(u 比比 i 先到达最大值先到达最大值)； j j 0 阻抗三角形阻抗三角形(impedance triangle) R、L、C 串联电路的性质串联电路的性质 Z=R+j(w wL- -1/w wC)=|Z|j

5、j w wL 1/w w C ，X0， j j 0，电压领先电流，电路为感性；，电压领先电流，电路为感性； w wL1/w w C ，X0， j j 1/w w C ) 由由UR 、UX 、U 构成的构成的电压三角电压三角 形与阻抗三角形相似。形与阻抗三角形相似。 U L U C U I R U j j UX 22 XR UUU j j U UR UX 例例 L C R u uL uC i + - + - +- 已知：已知：R=15 , L=0.3mH, C=0.2 F, Hz103 ,V)60sin(25 4 ftuw w 求求 I , uR , uL , uC 。 解解其相量模型为其相量模

6、型为 I jw wL R + - + - +- U LU . CU . Cw wj 1 V605 U 4 .6354.335 .26j5 .56j15 1 jj o C LRZ 5 .56j103 . 01032jj 34 Lw w 5 .26j 102 . 01032 1 j 1 j 64 Cw w A4 . 3149. 0 4 .6354.33 605 Z U I 则则 A )4 . 3( sin2149. 0 tiw w UL=8.42VU=5V，分电压大于总电压，分电压大于总电压， 原因是原因是uL， uC相位相差相位相差180，互相抵，互相抵 消的结果。消的结果。 U L U C U

7、 I R U j j - -3.4 相量图相量图 V 4 . 3235. 24 . 3149. 015 IRU R V 4 .8642. 84 . 3149. 0905 .56j ILU L w w V 4 .9395. 34 . 3149. 0905 .26 1 j I C U C w w V )4 . 3sin(2235. 2 tuRw w V )6 .86sin(242. 8 tuLw w V )4 .93sin(295. 3 tuCw w 二、电阻、电感和电容并联的电路二、电阻、电感和电容并联的电路 由由KCL UCU L UGIIII CLR w w w w j 1 j i L C

8、R u iLiC + - iL I jw w LU L I C I Cj 1 R + - R I UC L G )j 1 j(w w w w UBBG CL )j( UBG )j( j j |j YBG U I U I U I Y ui u i 令令 Y 复导纳复导纳(complex admittance) ； G电导电导(导纳的实部导纳的实部)；B电纳电纳(susceptance )(导纳的虚部导纳的虚部)； |Y|复导纳的模；复导纳的模； j j 导纳角导纳角(admittance angle) 。 关系关系 arctan | | 22 G B BGY j j 或或 G=|Y|cosj j

9、 B=|Y|sinj j |Y|=I/U jj = i- - u 导纳三角形导纳三角形(admittance triangle) |Y| G B B 0 j j Y=G+j(w wC- -1/w wL)=|Y|j j w w C 1/w w L ，B0， j j 0，电路为容性，电路为容性，i领先领先u； w w C1/w w L ，B0， j j 0，电路为感性，电路为感性，i落后落后u； w wC=1/w w L ，B=0， j j =0，电路为电阻性，电路为电阻性，i与与u同相。同相。 相量图相量图：选电压为参考向量：选电压为参考向量(w wC 1/w w L，jj0，则，则B 0 ,

10、电路吸收功率；电路吸收功率；p 0 , j j 0 , 感性，感性， 滞后功率因数滞后功率因数 X0 , j j 0，表示网络内部为感性，表示网络内部为感性(inductive)； Q 0，电感吸收无功功率。，电感吸收无功功率。 u i R + - QR =UIsinj j =UIsin0 =0 i uL + - QL =UIsinj j =UIsin90 =UI PC=UIcosj j =Uicos(- -90 )=0 不消耗能量不消耗能量 QC0，电容发出无功功率。，电容发出无功功率。 i uC + - QC =UIsinj j =UIsin (- -90 )= - -UI 六、交流电路功

11、率的测量六、交流电路功率的测量 单相功率表原理单相功率表原理 )sin(2 ,sin2 21 t R U R u itIii w ww w设设 1 BiBiM 因因力力矩矩 i1 电流线圈电流线圈 * 设电流设电流i1从电流线圈从电流线圈“*”端流入端流入 电压线圈电压线圈 i2 R *+ - u 电压电压u正端接电压线圈正端接电压线圈“*”端端 dtttI R U KdtiiM TT 00 21 )sin(sinww固固有有 2 B ii 又又因因磁磁感感应应强强度度 PKUIKI R U KMcoscos jj 例例 三表法测线圈参数。三表法测线圈参数。 已知已知f=50Hz，且测得，且测

12、得 U=50V，I=1A，P=3W。 30 1 30 22 2 I P RRIP解解 R L + _ U I Z V A W * * 50 1 50 | I U Z 22 )(|LRZw w H127. 0 314 40 3050 314 1 | 1 2222 RZL w w 平均功率平均功率 P = UI1cosj j 指针偏转角度指针偏转角度(由由M确定确定)与与P成正比，由偏转角成正比，由偏转角(校准后校准后)即即 可测量平均功率可测量平均功率 P 。 8.11 复功率复功率 一、复功率一、复功率(complex power) 功功率率”。来来计计算算功功率率，引引入入“复复和和为为了了

13、用用相相量量IU )eeRe( Re)cos( , jj )j( iu iu IU eUIUIP IIUU iu iu U * I Re * IUP * IUS U I 负负 载载 + _ 记记 为复功率，单位为为复功率，单位为VA。 相相量量的的共共轭轭为为其其中中II * j jj j SUIUIS iu )( 复功率也可以表示为复功率也可以表示为 sin cos j sinjcos j j j j j jj j UIQ UIP QP UIUIS 其中其中 表示为直角坐标形式为表示为直角坐标形式为 电压、电流的有功分量电压、电流的有功分量(active component)和无功分量和无功

14、分量(reactive component) (以感性负载为例以感性负载为例) R jX + _ + _ + _ U R U X U I U I R U IUUIP R j jcos 的无功分量的无功分量 的有功分量的有功分量 II II B G I U B I G I X U GjB + _ G I I B I U IUUIQ X j jsin 的的无无功功分分量量 的的有有功功分分量量 UU UU X R j j j j B UIUIQ sin G UIUIP cos *2* 2* )(* * YUYUUYUUIUS ZIIIZIUS 复功率守恒定理复功率守恒定理(theorem of c

15、onservation of complex power) 在正弦稳态下，任一电路所有支路吸收的复功率之和为零。在正弦稳态下，任一电路所有支路吸收的复功率之和为零。 即即 0 0 0)j( 0 0 1 1 1 1 * 1 b k k b k kb k kk b k kk b k k Q P QP IUS 此结论可此结论可用特勒根定理证明用特勒根定理证明。 对于复阻抗或复导纳，复功率也可以表示为对于复阻抗或复导纳，复功率也可以表示为 *)(* 21 IUUIUS 一般情况下一般情况下 b k k SS 1 + _ + _ + _ U 1 U 2 U I 不不等等于于视视在在功功率率守守恒恒复复功

16、功率率守守恒恒 , * 2121 * SSIUIU 21 UUU 21 SSS V )1 .37(236 )15j5/()25j10(010 U 已知如图，求各支路的复功率。已知如图，求各支路的复功率。例例 + _ U 100o A 10 j25 5 -j15 1 I 2 I 解法解法1 VA 1424j1882010)1 .37(236 o 发发 S VA 1920j768) 25j10 1 (236 *2 * 1 2 1 YUS 吸吸 VA 3345j1113 * 2 2 2 YUS 吸吸 电源支路电源支路 支路支路1 支路支路2 A)3 .105(77. 8 15j525j10 15j5

17、 010 o 1 I 解法解法2 + _ U 100o A 10 j25 5 -j15 1 I 2 I A5 .3494.14 1S2 III VA 1923j769)25j10(77. 8 2 1 2 11 ZIS 吸吸 VA 3348j1116)15j5(94.14 2 2 2 22 ZIS 吸吸 VA 1423j1885 )25j10)(3 .105(77. 810 11 * ZIIS S 发发 电源支路电源支路 支路支路1 支路支路2 二、功率因数二、功率因数(power factor)的提高的提高 设备容量设备容量 S (额定额定)，向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。，向负载送多

18、少有功要由负载的阻抗角决定。 P=Scosj j S 75kVA 负载负载cosj j =1, P=S=75kW cosj j =0.7, P=0.7S=52.5kW 一般用户：一般用户： 异步电机异步电机 空载空载 cosj j =0.20.3 满载满载 cosj j =0.70.85 日光灯日光灯 cosj j =0.450.6 (1) 设备不能充分利用；设备不能充分利用； (2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流当输出相同的有功功率时，线路上电流I=P/(Ucosj j)大，大， 线路上功率、电压损耗大。线路上功率、电压损耗大。 功率因数低带来的问题功率因数低带来的问题 可采用并联电容

19、，提高感性负载电路的功率因数。可采用并联电容，提高感性负载电路的功率因数。 分析分析 U I L I C I j j1j j2 jw wL R U L I + _ I C I Cw wj 1 并联电容后，原感性负载取用的电流不变，吸收的有功并联电容后，原感性负载取用的电流不变，吸收的有功 和无功都不变，即负载工作状态没有发生任何变化。由于并和无功都不变，即负载工作状态没有发生任何变化。由于并 联电容的电流联电容的电流 领先领先 90o，总电流，总电流 减小。从相量图上看，减小。从相量图上看， ， 的夹角减小了，功率因数得以提高。的夹角减小了，功率因数得以提高。 C I U I U I 功率因数

20、由功率因数由cosj j1 提高到提高到cosj j2， ， 并联电容无功容量的确定并联电容无功容量的确定 U I L I C I j j1j j2 )tgtg( 21 2 PCUQC 全补偿全补偿不要求不要求(电容设备投资增加电容设备投资增加,经济效果不明显经济效果不明显) 欠补偿欠补偿 过补偿过补偿使功率因数又由高变低使功率因数又由高变低(性质不同性质不同) 综合考虑，提高到适当值为宜综合考虑，提高到适当值为宜( 0.95左右左右)。 代入上式，得代入上式，得将将 cos , coscos cos 122 1 j jj jj j j j U P I U P I I L L 21 sinsi

21、nj jj jIII LC )tgtg( )tgtg( 21 2 21 j jj j w w j jj j U P C U P IC 补偿容补偿容 量不同量不同 全补偿全补偿 过补偿过补偿 欠补偿欠补偿 已知：已知：f=50Hz, U=380V, P=20kW, cosj j1=0.6(滞后滞后)。要。要 使功率因数提高到使功率因数提高到0.9 , 求并联电容求并联电容C。 o 11 13.53 6 . 0cos 得得由由 例例 P=20kW cosj j1=0.6 + _ C U 解解 o 22 84.25 9 . 0cos 得得由由 U I L I C I j j1j j2 F 375 )84.25tg13.53tg( 380314 1020 )tgtg( 2 3 21 2 w w U