高中数学 第三章 统计案例能力深化提升 2-3

1、学必求其心得，业必贵于专精第三章 统计案例能力深化提升类型一线性回归分析【典例1】一个车间为了规定工时定额,需确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下表:零件数x(个）102030405060708090100加工时间y（min)627275818595103108112127（1）画出散点图,并初步判断是否线性相关。(2）若线性相关，求回归直线方程.（3)求出相关指数.(4）作出残差图。(5）进行残差分析.【解析】(1)画散点图如图所示，由图可知,x，y线性相关.（2）x与y的关系可以用线性回归模型来拟合,不妨设回归模型为=x+。将数据代入相应公式可得数据表:序号零件个

2、数xi(个）加工时间yi(min)xiyi11062620100220721 440400330752 250900440813 2401 600550854 2502 500660955 7003 6007701037 2104 9008801088 6406 40099011210 0808 1001010012712 70010 00055092056 13038 500所以=55,=92,所以=0.670,=-=92-55=55.133，所以回归直线方程为=0。670x+55。133。(3）利用所求回归方程求出下列数据.61。83368.53375.23381.93388。633yi0

3、.1673。4670。233-0.933-3.633yi30-20-17-11795.333102.033108.733115.433122。133yi0.3330.967-0。7333.4334。867yi311162035所以r2=1-0。983.(4)因为=yi-，利用上表中数据作出残差图，如图所示。(5)由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性,由r2的值可以看出回归效果很好。由残差图也可观察到,第2、5、9、10个样本点的残差比较大,需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误.【方法总结】解决回归分析问题的一般步骤(1)画散点图。根据已知数据画出散点图.（2)判断变量的相关性并

4、求回归方程.通过观察散点图,直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程。（3）回归分析.画残差图或计算r2，进行残差分析.(4）实际应用。依据求得的回归方程解决问题。【巩固训练】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位:千元）与月储蓄yi(单位:千元）的数据资料,算得xi=80，yi=20，xiyi=184，=720.（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程=x+。(2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关.（3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程=x+中,=,=,其中，为样本平均值。【

5、解析】（1)由题意知n=10，=xi=8，=yi=2，又n=720-1082=80，xiyi-n=1841082=24，由此得=0。3,=-=20.38=-0。4，故所求回归方程为=0.3x-0.4。(2）由于变量y的值随x的值增加而增加（=0.30),故x与y之间是正相关.(3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为=0。370。4=1。7（千元)。类型二独立性检验【典例2】（1）某保键药品推销商为推销其药品，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患a疾病。经调查发现，在不使用该药品的418人中仅有18人患a疾病.请用所学知识分析该药品对防治a疾病是否有效?（2）在对人们

6、饮食习惯的一次调查中,共调查了124人,其中六十岁以上的70人,六十岁以下的54人,六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主，六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主,另外33人则以肉类为主。根据以上数据建立一个22列联表;判断人的饮食习惯是否与年龄有关。【解析】(1）将问题中的数据写成22列联表如下表：患病不患病总计使用5100105不使用18400418总计23500523将上述数据代入公式k2=中,计算可得k0.04145,而0.041452。706,所以没有充分的证据表明该药品对防治a疾病有效。（2）22列联表如下:主食蔬菜主食肉类总计六十岁以下213354六十岁

7、以上432770总计6460124根据列联表,可得k2的观测值k=6。2015。024。故在犯错误的概率不超过0。025的前提下认为“人的饮食习惯与年龄有关”.【方法总结】独立性检验问题的基本步骤（1)找相关数据，作列联表。（2）求统计量k2.（3）判断可能性,注意与临界值作比较，得出与事件有关的确信度。【巩固训练】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下:性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1）估计该地区老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例。(2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？【解析】(1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为=14%.(2)由表中数据，得k2的观测值为k=9.967.因为9。9676.635，所以在犯错误的概率不超过0。01的前提下，即有99的把