第七章Fourier变换1

1、2021-7-11 1 FourierFourier积分变换积分变换 （傅氏变换）（傅氏变换） LaplaceLaplace积分变换积分变换 （拉氏变换）（拉氏变换） 2021-7-12 1 1、何为积分变换？、何为积分变换？ ).()(),(Fdttftk b a 记记为为 所谓积分变换，就是通过积分计算，把一所谓积分变换，就是通过积分计算，把一 个函数变成另一个函数的一种变换个函数变成另一个函数的一种变换. . ：变变量量，具具体体形形式式可可写写为为这这类类积积分分一一般般要要含含有有参参 像像原原函函数数；是是要要变变换换的的函函数数，这这里里 )(tf 像像函函数数；是是变变换换后后

2、的的函函数数， )( F .),(积积分分变变换换核核是是一一个个二二元元函函数数， tK 2021-7-13 3 2、积分变换的产生、积分变换的产生 原原 问问 题题 原问题的解原问题的解 直接求解困难直接求解困难 变换变换较简单问题较简单问题 变换后问题的解变换后问题的解 求求 解 解 逆变换逆变换 2021-7-14 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、 商运算化为较简单的和、差运算；商运算化为较简单的和、差运算； 再如，解析几何中的坐标变换，复变函数中的再如，解析几何中的坐标变换，复变函数中的 保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况保角变换

3、，其解决问题的思路都属于这种情况. . 基于这种思想，便产生了积分变换基于这种思想，便产生了积分变换. . 其主要应用：其主要应用： 数学上：数学上：求解方程的重要工具；求解方程的重要工具； 能实现卷能实现卷 积与普通乘积之间的互相转化积与普通乘积之间的互相转化. . 工程上：工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统是频谱分析、信号分析、线性系统 分析的重要工具分析的重要工具. . 2021-7-15 1. 1. Fourier积分与积分与Fourier 积分变换积分变换 2. 2. 单位单位 脉冲函数脉冲函数 3. 3. Fourier积分变换的性质积分变换的性质, ,卷积卷积 第七章第七章

4、Fourier Fourier 变换变换 2021-7-16 定理定理1 1 一一个个周周期期上上满满足足：上上满满足足狄狄氏氏条条件件，即即在在 为为周周期期的的实实函函数数，且且在在是是以以设设 2 , 2 )( TT TtfT （1 1）连续或只有有限个第一类间断点；）连续或只有有限个第一类间断点； （2 2）只有有限个极值点）只有有限个极值点. . 则在则在连续点连续点处，有处，有 变变换换积积分分公公式式与与一一、FourierFourier 7.1 Fourier7.1 Fourier变换的概念变换的概念 )1()sincos( 2 )( 1 0 n nnT tnbtna a tf

5、 2021-7-17 ).,2,1(sin)( 2 ),2,1(cos)( 2 , 2 ,d)( 2 2 2 2 2 2 2 0 ndttntf T b ndttntf T a T ttf T a T T T T T T Tn Tn T 其其中中 ).0()0( 2 1 )1( 00 0 tftf t TT 式式右右端端级级数数收收敛敛于于处处，在在间间断断点点 2021-7-18 i eeee iiii 2 sin, 2 cos 由由 1 0 )sincos( 2 )( n nnT tnbtna a tf 注意：注意： )(”写写为为“也也有有的的课课本本上上把把“ji . 222 22 2

6、 )( 1 0 1 0 n tninntninn n tnitni n tnitni n T e iba e ibaa ee ib ee a a tf 2021-7-19 .傅傅氏氏级级数数的的复复数数形形式式 n nt T i nT ectf 2 )( , 2, 1, 0,)( 1 2 2 2 ndtetf T c T T nt T i Tn )2()( 1 2 2 2 2 n nt T i T T nt T i T edtetf T 2 nn n iba c 2 nn n iba c 1 0 )sincos( 2 )( n nnT tnbtna a tf 2021-7-110 )(tf 2

7、 T 2 T )()(2/, 2/tftfTT T 上作上作在在 相相等等的的范范围围越越大大与与越越大大)()(,tftfT T )()(,tftfT T 时时当当 在在-T/2,T/2之外按周期之外按周期T延拓到整个数轴上延拓到整个数轴上 2021-7-111 dedeftf tii )( 2 1 )( 积积分分公公式式。的的称称为为Fouriertf)( n ti T T i T T T T nn edef T tftf 2 2 )( 1 lim)(lim)( 即即时时的的极极限限形形式式当当的的函函数数 可可看看作作周周期期为为上上的的非非周周期期函函数数在在所所以以定定义义 ,)(

8、)(),( TtfT tf T )()(limtftfT T 2021-7-112 定定理理)(积积分分定定理理Fourier dttf Dirichlettf | )(|)2( )()1(条条件件在在任任何何有有限限区区间间上上满满足足 :),()(上上满满足足在在若若 tf 则则有有 为为间间断断点点 为为连连续续点点 t tftf ttf dedef tii , 2 )0()0( ),( )( 2 1 2021-7-113 )3()()( dtetfF ti 设设 )4()( 2 1 )(:)( deFtftf ti 的的连连续续点点则则在在 逆逆变变换换。的的式式为为 变变换换的的式式

9、为为）称称（ FourierF Fouriertf )()4( ,)(3 )()(),()( 1 tfFFtf - FF记记为为 的的像像原原函函数数。为为像像函函数数的的为为称称)()(,)()( FtftfF ).()()4()3(tfF和和式式，定定义义了了一一个个变变换换对对式式和和 2021-7-114 0 sin , , 0 10 , 1 )(1 d Fourier t tf 积积分分 并并求求变变换换的的 其其它它 求求例例 得得变变换换定定义义由由解解,:Fourier 1 0 )()(dtedtetftf titi F i e e i i ti 11 1 0 i isinco

10、s1 )( cos1sin Fi 2021-7-115 deFF ti )( 2 1 )( 1 - F由由于于 dei ti cos1sin 2 1 其其它它 、 ， , 0 10, 2/1 101 t t 有有时时当当,0 t di cos1sin 2 1 2 1cos1 2 sin 2 1 d i d 2021-7-116 2 1sin 2 1 d于于是是 2 sin 0 dDirichlet积分积分 2021-7-117 FourierFourier变换的物理意义变换的物理意义 的的又又称称为为换换在在频频谱谱分分析析中中，傅傅氏氏变变)()(tfF 频谱函数频谱函数 的的称称为为频频谱

11、谱函函数数的的模模)()(tfF 振幅频谱振幅频谱 (简称简称频谱频谱） 之之为为是是连连续续变变化化的的，所所以以称称由由于于 连续频谱连续频谱 频谱图是连续曲线频谱图是连续曲线 2021-7-118 t f (t) o 这个函数称为指数衰减函数这个函数称为指数衰减函数, ,在工程中常遇到在工程中常遇到. . . ,)0( 0, 0 0, )(4 并并作作图图 的的频频谱谱求求指指数数衰衰减减函函数数例例 t te tf t 2021-7-119 0 )()(dteetfF tit F:解解 0 )( dte ti 22 1 i i 22 1 )( F t )(tf )(F 1 O O 20

12、21-7-120 7.3 单位脉冲函数及其单位脉冲函数及其Fourier变换变换 一、单位脉冲函数的定义和性质一、单位脉冲函数的定义和性质 解：解：函数，则函数，则表示上述电路中的电荷表示上述电路中的电荷若以若以)(tq 0, 1 0, 0 )( t t tq 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率，即由于电流强度是电荷函数对时间的变化率，即 t tqttq dt tdq ti t )()( lim )( )( 0 例：在原来电流为零的电路中例：在原来电流为零的电路中, 某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进入一单位进入一单位 电量的脉冲电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i

13、(t). 所以所以, , 当当t t 0 0时时, , i(t t)=0; )=0; 当当t =0=0时，由于时，由于q q( (t t) )不连续不连续, , 从而在普通导数意义下从而在普通导数意义下, , q( (t t) )在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的. . 2021-7-121 如果我们如果我们形式形式地计算这个导数地计算这个导数, , 得得 . 1 lim )0()0( lim)0( 00 tt qtq i tt 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度够表示这样的电流强度. . 为此为此, , 引

14、进一称为狄拉克引进一称为狄拉克(Dirac)(Dirac) 的函数的函数. . 有了这种函数有了这种函数, , 对于许多集中于一点或一瞬时的对于许多集中于一点或一瞬时的 量量, , 例如点电荷，点源例如点电荷，点源, , 集中于一点的质量及脉冲技术中集中于一点的质量及脉冲技术中 的非常窄的脉冲等的非常窄的脉冲等, , 就能够象处理连续分布的量那样就能够象处理连续分布的量那样, , 以以 统一的方式加以解决统一的方式加以解决. . .0, ,0,0 )( t t ti 广义函数，广义函数， 没有普通意义没有普通意义 下的函数值下的函数值. . 2021-7-122 。为为函数简称函数狄拉克, (

15、Dirac) : :的的极极限限可可看看成成是是普普通通函函数数序序列列系系来来定定义义, , 关关常常意意义义下下“值值”的的对对应应的的函函数数值值，也也不不能能用用通通 它它没没有有通通常常意意义义下下函函数数是是一一个个广广义义函函数数， )(lim)( 0 tt 称称 t t t t ,0 0, 1 0,0 )( :)(图形为t 1 2021-7-123 显然显然 1 1 )( 0 dtdtt 1)( dtt 所以所以 因此，单位脉冲函数还可因此，单位脉冲函数还可定义定义为满足下列条件为满足下列条件 的函数：的函数： 0)(0)1( tt 时，时，当当 1)()2( dtt 2021

16、-7-124 :为1的有向线段来表示 用一个长度单位脉冲函数工程上,常常 。 ： 函数值处处为零这个邻域外, 非常大的值,的非常狭小的邻域内取函数在 函数可以理解为 0 t 其中有向线段长度代表函数的积分值，称为冲激强度。其中有向线段长度代表函数的积分值，称为冲激强度。 t )(t 1 2021-7-125 )0()()(fdttft 则点连续,在若一般地, 0 )(tttf )()()( 00 tfdttftt 函数时刻的表示单位脉冲发生在 00) (ttt :函数的性质 (1) 对任意连续函数对任意连续函数f(t)，有，有 t t0 )( 0 tt 称为称为 筛选性质筛选性质 2021-7

17、-126 )()()2(tt 0,0 0,1 )(,)()3( t t tutu即为单位阶跃函数设 )()(tudtt t )( )( t dt tdu 则有则有 2021-7-127 :变换函数的Fourier 二二、 )()(tF F dtet ti )(1 0 t ti e deFt ti- 2 1 1)()( 11 FF 可见可见, 单位脉冲函数与常数单位脉冲函数与常数1构成了一构成了一傅氏变换对傅氏变换对； 1)( t F即即 )(1t -1 F 2021-7-128 所以所以 )(2)(1)(. 5 FFouriertf变换为的证明例 )()( 1 Ftf - F deF ti )

18、( 2 1 de ti )(2 2 1 1 0 ti e )(2)(1 FF 证：证： 1)(2 -1 F 常数常数1与与 构成了一构成了一傅氏变换对傅氏变换对；)(2 2021-7-129 0, 0 , 0, 1 )( t t tu 称为单位跃阶函数称为单位跃阶函数. 首先注意，这里的变换显然指的是广义变换首先注意，这里的变换显然指的是广义变换. 我们用考察我们用考察逆变换逆变换的方法证明的方法证明. . 则则事事实实上上，设设),( 1 )( i F de i tf ti )( 1 2 1 )( ).( 1 )( i tu的的傅傅氏氏变变换换为为证证明明 2021-7-130 dede i

19、 titi )( 2 11 2 1 d)( 2 1sin 2 1 ti ed t 由于由于, 2 sin 0 dx x x 所以所以 当当 t0 时，有时，有 . 2 sinsin 000 du u u d t ut t时时 综上所述，根据综上所述，根据(*), 有有 )(tf 0, 0 2 1 2 1 0, 1 2 1 2 1 t t ).(tu 证毕证毕! ! )( 1 i 1 - F 2021-7-132 解：由定义，有解：由定义，有 de ti )( 2 1 0 )()( 0 和和 例例7 求求的傅氏逆变换的傅氏逆变换. . . 2 1 0 ti e 特别地特别地 )( 0 -1 F

20、2 1 )( 1 - F )(2 0 0 ti e F 2021-7-133 .)(2 0 0 构构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换对对和和即即 ti e 0 0 2 () (). (*) it ed t 特别的特别的, )(2 dte ti 2021-7-134 例例8变变换换的的求求函函数数Fourierttf 0 cos)( dttetfF ti 0 cos)()(F:解解 dteee tititi )( 2 1 00 dtee titi )( 2 1 )()( 00 )( 0 )( 0 )()(sin 000 it 同理可求得：同理可求得： 2021-7-135 常用函数傅里叶变换公式

21、常用函数傅里叶变换公式 i tue t 1 )( 1)(F F 1=)( (2)t F F )()( =cos F (3)aaat )()( = sin F (4)aaiat )( 1 =)( F (5) i tu )(2 =1 F (6) )(2= F (7) 0 0 ti e 2021-7-136 变变换换存存在在的的条条件件均均满满足足、假假定定Fouriertftftf)()()( 21 线线性性性性质质. 1 ,),()(),()( 212211 为为常常数数、设设kkFtfFtf FF )()()()( 22112211 FkFktfktfk F则则 )()()()( 2 1 21

22、 1 12211 1 FkFkFkFk - FFF 7.4 Fourier变换的性质变换的性质 2021-7-137 显而易见，显而易见，位移公式的作用位移公式的作用是：知道了一个函数是：知道了一个函数 的变换，便可由此求出其位移函数的变换！的变换，便可由此求出其位移函数的变换！ 位位移移性性质质. 2 则则设设),()( Ftf F )()()1( Featf ai F )()()2( 0 0 Ftfe ti F (1)(1)在无线电技术中也称为时移性质。在无线电技术中也称为时移性质。 (2)(2)在无线电技术中也称为频移性质在无线电技术中也称为频移性质。 ti tfF 0 e)()( 0

23、1 F或或者者 2021-7-138 ), 0( )( 1 )( 0 0 9为实数已知 例 i F )( 1 F - F求 i F 1 )( 0 由于 )()( 1 0 1 0 FeF -ti- FF 0,0 0, t te t 0,0 0, )( )( 1 0 t te F ti - F 解：解： 于是于是 从而得到从而得到 2021-7-139 微微分分性性质质. 3 0)(lim)( | tfFouriertf t 存存在在条条件件且且满满足足若若 )()()( Fitfitf FF则则 像像函函数数的的微微分分性性质质 则则设设),()( Ftf F)()(titfF F )()( F

24、ittf F或或 )()()( )( nnn Ftfti F一般地，一般地， 2021-7-140 )0()(.1 0,0 0, t te t tf已知0例 )(),( 2 tftttfFF求 )()(tfFF i 1 2 )( 1 )()( i F d d ittf F 32 2 22 )( 2 )()( i F d d itft F 解：解： 2021-7-141 积积分分性性质质. 4 则则，时时，且且当当设设0)(),()( t dttftFtf F 1 ( ) ( ) t f t dtf t i FF 2021-7-142 例例11 11 求解微分积分方程求解微分积分方程 ),()(

25、)()(tfdxctbxtxa t ()()()(), c aiXbXXF i 其中 t+, a, b, c均为常数. 解：设解：设),()(),()(tfFtxXF FF F 则则 从而从而 .)( 2 1 )( deXtx ti () (). F X c bia 故故 2021-7-143 注：运用傅氏变换的线性性质注：运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分性质微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程可以把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过解代通过解代 数方程与求傅氏逆变换数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方程的解就可以得到此微分方程的解. 另另 外外

26、, 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一. 2021-7-144 相相似似性性质质6 则则设设),()( Ftf F )0()( 1 )( a a F a atf F则则 ).(2)(),()( ftFFtfF FF F则则若若 5 5、对称性质、对称性质 性性质质翻翻转转 7则则设设),()( Ftf F )()( FtfF则则 2021-7-145 性质小结: 若F f(t)=F(), F g(t)=G() )()(: | 1 )0()(: )(2)(: )( 1 d)(: )()(: )()( e)()(: )()()()(: 0 0 0 0 Ft

27、f a F a aatf ftF F i ttf Fitf Fetf Fttf GFtgtf t tj ti 翻转翻转 相似相似 对称对称 积分积分 导数导数 位移位移 线性线性 2021-7-146 例例1 12 计算计算 。 )25( tuF 解：（先用相似性，再用位移性质）解：（先用相似性，再用位移性质） )25()5(),2()(tutgtutg则令 )25(tu )5(tg 5 1 5 )( tg 5 1 5 )2( tu 5 2 )( 5 1 tuFe i 5 2 )( 1 5 1 i e i ) 5 ( 5 5 1 5 2 i e i 2021-7-147 乘积定理 若F()=F

28、 f(t), G()= Fg(t), 则 1 ( ) ( )d( ) ( )d 2 f t g ttFG 能量积分 若F()=F f(t), 则有 221 ( )d( ) 2 f ttFd n这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式 2021-7-148 在与则称之为函数收敛,对任何实数)()( 2 tftf1t 即记为上的卷积,),(*)(),( 21 tftf dtff)()( 21 若广义积分内有定义,在设),()(),( 21 tftf dtfftftf)()()(*)( 2121 1. 1. 卷积定义卷积定义 )(*)()(*)()1( 1221 tftftftf )(*)(

29、)(*)()()(*)() 2( 3121321 tftftftftftftf 运算规律：运算规律： （交换律）（交换律） （分配律）（分配律） 7.4 Fourier变换的卷积性质变换的卷积性质 2021-7-149 , 0,0 0, )( 1 t te tf t 0,0 0, )( 2 t te tf t , 0( , 0 ) dtfftftf)()()(*)( 2121 0)(*)( 21 tftf 例例13. 求下列函数的卷积求下列函数的卷积 解：由定义解：由定义 当当t0时时 ， t dtfftftft 0 2121 )()()(*)(0 时时，当当 t ta dee 0 )( t ttt e