第七章二阶电路零输入响应

1、7.5 7.5 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 uc(0+)=U0 i(0+)=0 0 2 c cc u dt du RC dt ud LC 01 2 RCPLCP L CLRR P 2 /4 2 LCL R L R1 ) 2 ( 2 2 已知：已知： 1. 1. 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 R R L L C C + + - - i uc 特征根：特征根： 特征方程：特征方程： 电路方程：电路方程： 2. 2. 零状态响应的三种情况零状态响应的三种情况 二二个个不不等等负负实实根根 2 C L R 二二个个相相等等负负实实根根 2 C L R 二二个个共共轭轭复复根根

2、 2 C L R L CLRR P 2 /4 2 过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 欠阻尼欠阻尼 2 )1( C L R tptp c eAeAu 21 21 0210 )0(UAAUuc 0 )0()0( 2211 APAP dt du Ci c 0 12 1 2 0 12 2 1 U PP P A U PP P A )( 21 12 12 0 t P t P c ePeP PP U u )( 21 12 12 0 tt c PP ePeP PP U u U0 t uc tP e PP UP 1 12 02 tP e PP UP 2 12 01 设设|P2|P1| )( )( 21 12 0

3、tt c c pp ee PPL U dt du Ci t=0+ ic=0 , t= i c=0 ic0 t = tm 时时ic 最大最大 t U0 uc tm 2tm uL ic 0 t 0 t tm i减小减小, uL 0 t=2 tm时时 uL 为极小值为极小值 )( )( 21 21 12 0 tt L pp ePeP PP U dt di Lu )( 21 12 12 0 tt c PP ePeP PP U u 0, , 0 0 LL utUut iC为极值时的为极值时的tm即即uL=0时的时的 t,计算如下计算如下: 0)( 21 21 ttpp ePeP 21 1 2 pp p

4、p n tm )( )( 21 21 12 0 tt L pp ePeP PP U dt di Lu m m tP tP e e P P 2 1 1 2 能量转换关系能量转换关系 R R L L C C + + - - R R L L C C + + - - t U0 uc tm 2tm uL ic 0 t tm uc减小减小 ， ，i 减小 减小. 2 )2( C L R 特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根 LCL R L R P 1 ) 2 ( 2 2 jP )( 1 )( 2 0 谐振角频率 衰减系数令： LC L R )( 22 0 固有振荡角频率 则 uc的解答形式：的解答形式

5、：12 1212 () ptpttj tj t c uAeAeeAeAe 经常写为：经常写为： )sin( tAeu t c A ， 为待定常数为待定常数 0cossin)(0)0( sin)0( 00 AA dt du UAUu c c 由初始条件 arctg U A ， sin 0 ， ， ，间的关系间的关系: 0 sin 0 0 UA 0 )sin( 0 0 teUu t c )sin( 0 0 teUu t c 0 0c uU 是其振幅以为包络线依指数衰减的正弦函数。 t=0时时 uc=U0 uc零点：零点： t = - ，2 - . n - uc极值点：极值点： t =0， ，2 .

6、 n t - 2 - 2 0 U0 uc t eU 0 0 t eU 0 0 t - 2 - 2 0 U0 uc ic te L U dt du Ci t c c sin 0 )sin( 0 0 teU dt di Lu t L uL零点：零点： t = ， + ，2 + . n + ic零点：零点： t =0， ，2 . n ， ic极值点为极值点为uL零点。零点。 能量转换关系：能量转换关系： 0 t t - - t t - 2 - 2 0 U0 uc ic R R L L C C + + - - R R L L C C + + - - R R L L C C + + - - 特例：特例：

7、R=0时时 2 1 0 0 ，则 LC t L U i utUu Lc sin )90sin( 0 0 0 等幅振荡等幅振荡 t L L C C + + - - 2 )3( C L R L R PP 2 21 tt c teAeAu 2 1 0)(0)0( )0( 21 010 AA dt du UAUu c c 由由初初始始条条件件 解出：解出： 02 01 UA UA 0 0 0 (1 ) (1 ) t c t c c t L uU et duU icte dtL di uLU et dt 非 振 荡 放 电 临 界 阻 尼 经典法求二阶电路零输入响应的步骤：经典法求二阶电路零输入响应的步

8、骤： 非非振振荡荡放放电电过过阻阻尼尼， 2 C L R tptp c eAeAu 21 21 振振荡荡放放电电欠欠阻阻尼尼， 2 C L R )sin( tAeu t c 非非振振荡荡放放电电临临界界阻阻尼尼， 2 C L R tt c teAeAu 2 1 定常数定常数 )0( )0( dt du u c c 由初始条件 可推广应用于一般二阶电路可推广应用于一般二阶电路 1、根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后电路的微分方程、根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后电路的微分方程 （二阶）。（二阶）。 2、由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电还是、由特征方程求出特征根，并判断电路是处

9、于衰减放电还是 振荡放电还是临界放电状态。振荡放电还是临界放电状态。 电路如图，电路如图，t=0时打开开关。时打开开关。 求求uc,并画出其变化曲线。并画出其变化曲线。 解解（1） uc(0 )=25V iL(0 )=5A 特征方程为：特征方程为： 50P2+2500P+106=0 13925jP 例例1. 55 F F 2020 1010 1010 0.5H0.5H 100100 50V50V + -uc c + - 0LC 2 c cc u dt du RC dt ud )139sin( 25 tAeu t c iL （2）开关打开为）开关打开为RLC串串 联电路，方程为：联电路，方程为：

10、 5 20 10 10 50V + + - - iL + uC -0-电路电路 )139sin( 25 tAeu t c (3) 5 25)0( dt du c u c c 4 10 5 sin25cos139 25sin A 0 176 355 ，A Vteu t c )176139sin(355 025 t 0 uc 355 25 例例2 u2 2 u 1 1 ku 1 1 i 2 2 i 3 3 i 1 1 R RC C R R C C A A 左图为左图为RC振荡电路，振荡电路， 讨论讨论k取不同值时取不同值时u2的的 零输入响应。零输入响应。 节点节点A列写列写KCL有：有： dt

11、du c R u i 11 1 12 1111 )( 1 )(uudt dt du C R u Cdt du C R u R KVL有：有： 0 1 ) 3 ( 22 1 2 1 2 CRdt du RC k dt ud 两边微分整理得：两边微分整理得： 特征方程为：特征方程为： 0 13 22 2 CR P RC k P 0 1 ) 3 ( 22 1 2 1 2 CRdt du RC k dt ud 22 ) 1 () 2 3 ( 2 3 RCRC k RC k P 特征根为：特征根为： RCRC k1 , 2 3 0 令令 2 0 2 P则则 数数时时特特征征根根为为一一对对共共轭轭复复

12、2 0 2 )1( 22 ) 1 ( ) 2 3 ( RCRC k |3 - k| 2 ,1 k 5为振荡情况为振荡情况 )sin( 1 tAeu t 1 k 0衰减振荡衰减振荡 3 k 5 0+电路的微分方程电路的微分方程 (b)(b)求通解求通解 (c)(c)求特解求特解 (d)(d)全响应全响应= =强制分量强制分量+ +自由分量自由分量 定定常常数数由由初初值值 )0( )0( )( dt df f e 2. 2. 二阶电路的全响应二阶电路的全响应 已知：已知：iL(0)=2A uc(0)=0 求求：iL, iR 。 (1) 列微分方程列微分方程 50 2 2 L L Ri dt di

13、 L dt id RLC (2)求特解求特解 R R L L C C i R R i L L i C C 50 V50 V 50 W50 W F F 100100 0.50.5H H 0 50L 2 2 dt id LCi R dt di L L 节点法：节点法： AiL1 解解 例例 (3)求通解求通解 020000200 2 PP 特征根为：特征根为： P= -100 j100 )100sin(1 100 tAei t 50 2 2 L L Ri dt di L dt id RLC (4)定常数定常数 )0( 0sin100cos100 )0( 2sin1 L L uAA iA 2 45 A )45 100sin(21 100 tei t L 特征方程为：特征方程为： (5)求求iR )100sin(1 100 tAei t R 或设解答形式为：或设解答形式为： 定常数定常数 ?)0( 1)0( 1)0( dt di ii R CR R u i c R 50 200)0( 1 )