第七章 异方差模型

1、第七章第七章 异方差模型异方差模型 本章内容：本章内容： n普通回归中的异方差 n时间序列中的条件异方差模型简介 n使用Eviews建立ARCH模型 第一节第一节 异方差的概念异方差的概念 一. 异方差的性质 n随机误差项的方差受到解释变量的影响，随解 释变量取值的变化而变化，称随机误差项存在 异方差。 n同方差性(Homoskedasticity)：等同的(home)分 散程度(skedasticity); 随机扰动项ui对每一个样本点的方差是一个常数 niuVar i ,2, 1,)( 2 n异方差性(Heteroskedasticity). 随机扰动项ui的条件方差不再是一个常数 2 )

2、( ii uVar x1 x2 X 收 入 密 度 同方差同方差 Y储蓄 Y=b0+b1x 异方差异方差 x1 x2 X 收 入 密 度 Y储蓄 Y=b0+b1x X Y X Y 递减异方差 递增异方差 Y X X Y 复杂异方差 等方差 二、产生异方差的原因二、产生异方差的原因 n模型中省略了对被解释变量有影响的解释变量 n模型中变量观测值的测量误差 n对被解释变量有影响的各种随机因素 n异方差性还会因为异常值(outliers)的出现而产 生。 Example 1 n对收入低的家庭，收入中扣除必要的生活费支出外， 用于其他支出和消费的部分也较小，随机项波动程度 小，即方差小 n对收入高的家

3、庭，收入中扣除必要的生活费支出外， 用于其他支出和消费的部分也较大，随机项波动程度 小，即方差大 n因此，随机误差项的方差随解释变量（收入）的增加 而递增 iii XbbY 10 （储蓄）（收入） Example 2 n对规模小的企业，在一定的劳动投入和资金投 入下，产出的波动幅度小，随机项的方差小 n对规模大的企业，在一定的劳动投入和资金投 入下，产出的波动幅度大，随机项的方差大 n随机误差项的方差随企业规模增大而递增 iiii XbXbbY 22110 lnln （产出）（资本）（劳动力） Example 3 20个国家在第二次世界大战后直至1969年期间的股 票价格(y)和消费者价格(x

4、)的百分率变化的散点图 sample5.311 0 5 10 15 20 25 30 051015202530 X Y 0 5 10 15 246810 X1 Y1 n异方差的产生异方差的产生 a)变量为时间序列数据的模型可能产生异方差 例：1951年至1998年我国商品零售物价指数s和居民消费 价格指数x。Sample5.312 1 2 3 4 5 6 7 556065707580859095 SX -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 556065707580859095 W 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 556065707580859095 W2 b)变量为截面

5、数据的模型更常出现异方差 第二节第二节 出现异方差时的出现异方差时的OLSOLS估计估计 n参数的OLS估计仍然是线性无偏的，但不是最 小方差的估计量 nt检验失效 n降低预测精度：由于异方差，会使得OLS估计 的方差增大，从而造成预测误差变大，降低预 测精度。 1、参数的OLS估计仍然是线性无偏,但不是最小 方差的估计量 1、线性性 2 2 i ii x yx = 2 2 i ii x ux 2、无偏性 E(2 )=E( 2 2 i ii x ux )= 2 2 )( i ii x uEx = 2 3、方差 Var( 2 )=Var( 2 2 i ii x ux )= 22 2 )( )(

6、i ii x uVarx = 22 22 ) ( i ii x x 在同方差时， Var( 2 )= 2 2 i x 一元线性回归模型为例 该形式不具有最小方差 该形式具有最小方差 2、t 检验失效检验失效 ) 2( )( 2 2 nt S t 2 12 2 22 )() ( XXVar u 第三节第三节 异方差的检验异方差的检验 一、非正式方法 1、问题的性质：根据所考虑问题的性质来判 断是否会遇到异方差性。例如:在投资与销售量、 利率等的关系的横截面分析中，如果样本同时含 有小、中和大型厂家，一般都预期有异方差存在. 2 2、图示法、图示法 XX Y Y nEviews步骤： nquick

7、/graph,在随后的对话框中输入残差序列 名和因变量名 n从Graph type中选Scatter Diagram a)如果残差的绝对值分布比较随机，无明显规 律，可判定不存在异方差。 n例：sample5.313的消费支出Y和收入X数据的异方差 图检验。 -20 -10 0 10 20 30 50100150200 Y RESID 二、正式方法二、正式方法 1 1 Goldfeld-QuandtGoldfeld-Quandt检验检验 建立两个子样本：按大小排列样本观测值，去除中间c个观测值 （c一般为样本容量的1/4到1/3） 原假设（同方差）： ； 备择假设（异方差）： 分别对两个子样本

8、利用最小二乘估计进行回归，得出残差平方和 选择统计量： 若 拒绝H0，存在异方差；若 ，接受H0 ，同方差 2 2 2 10 :H 2 2 2 11 :H ) 2 , 2 ( ) 2 /( ) 2 /( 1 2 1 2 k cn k cn F RSS RSS k cn RSS k cn RSS F FF FF n例：sample5.314的消费支出Y和收入X数据的异方差 的戈德菲尔德-匡特检验。 1、按X升序排序 2、去掉居中的4个观测 3、对头13个观测值作回归 11 17.377 6968. 04094. 3 1 df RSS XY ii 对末13个观测值作回归 4、计算统计量 5、查表5

9、%显著水平的F临界值为2.82，故否定原假设， 认为存在异方差性。 11 8 .1536 7941. 00272.28 2 df RSS XY ii 07. 4 11/11.377 11/8 .1536 / / 1 2 dfRSS dfRSS F 2 、Glejser检验检验 n基本思想：看看残差与解 释变量是否存在因果关系 n方法： 对残差 和解释变量Xi 进行各种形式的回归分析 （最小二乘估计） 如果某种回归形式的拟合 优度高，系数的t检验显 著，说明 受到Xi的影 响，即存在异方差 i i iii vXu 21 | iii vXu 21 | i i i v X u 1 | 21 i i

10、i v X u 1 | 21 iii vXu 21 | iii vXu 2 21 | 3、 Spearman等级相关系数检验等级相关系数检验 利用最小二乘法进行回归分析，计算残差 原假设：同方差；备择假设：异方差 对解释变量Xi和 分别按从小到大的顺序排列，并赋予1到n中的 一个顺序号表示其等级 对每个下标i，计算Xi和 的等级差di 计算等级相关系数 计算统计量 当 ，等级相关系数不明显，接受原假设，同方差；否则 存在异方差 i i i nn d r n i i 3 1 2 6 1 ) 1 , 0(1NnrZ 2/ ZZ 4 4 WhiteWhite检验检验 1）、利用最小二乘法进行回归，计

11、算残差 2）、将 关于各解释变量、各解释变量的平方、两两 解释变量的乘积利用最小二乘法作回归分析。 3）、计算white检验的统计量 4）、若 拒绝H0，存在异方差；若 ， 接受H0 ，同方差。其中k是除常数项以外的回归系数 的个数。 i 2 i 2 Rnm )( 2 km )( 2 km n例：对sample5.315数据作white异方差检验 LS Y C X Z 拒绝原假设，认为有异方差存在。 White Heteroskedasticity Test: F-statistic19.41959 Probability0.000022 Obs*R-squared 16.02013 Prob

12、ability0.006787 n其他异方差检验：布劳殊-培干-戈弗雷(Breusch-Pagan- Godfrey)、reset检验、帕克(Park)检验等等。 第四节第四节 异方差的处理异方差的处理 n情形一： 已知时 n情形二： 未知时 2 i 2 i 加权最小二乘法加权最小二乘法(WLS) WLS的思路：的思路： n根据误差最小建立起来的OLS法，同方差下，将各个样 本点提供的残差一视同仁是符合情理的。各个 提供 信息的重要程度是一致的。 n但在异方差下，离散程度大的 对应的回归直线的位置 很不精确，拟合直线时理应不太重视它们提供的信息。 即Xi对应的 偏离大的所提供的信息贡献应打折扣

13、， 而偏离小的所提供的信息贡献则应于重视。 n因此采用权数对残差提供的信息的重要程度作一番校正， 可以提高估计精度。这就是WLS（加权最小二乘法）的 思路。 i i i 加权最小二乘法的机理加权最小二乘法的机理 n以递增型为例。设权术WI与异方差的变异趋势相反。 Wi=1/2i。Wi使异方差经受了“压缩”和“扩张”变 为同方差。 加权最小二乘法的原理加权最小二乘法的原理 大乘小，小乘大，加权为同方差 误差随E由大到小 权数w由小到大 1. 1. 已知时已知时 ikikiii XbXbXbbY 22110 两边同除 i iiiiii iki k iii X b X b X bb Y 2 2 1

14、10 1 令 iiiiii i i ki ki i i i ii i i X X X X X XX Y Y , 1 , 2 2 1 10 ikikiiii XbXbXbXbY * 22 * 1100 得 * 2 * 10 , kiiiii XXXXY 已知，所以 i 均可观测 2 i 有1)( * i Var同方差同方差 满足经典假设，用最小二乘法估计参数 n i ii n i ii n i i YYYY i 1 2 2 1 2* 1 2 * ) ( 1 ) ( min 2. 未知时未知时 2 i XXXXXX xb XXX xb XXX b XXX Y XXX XbXbXbbY kiii i

15、 kiii ikk kiii i kiiikiii i kiii kiiii i kikiii ff fff f XXXf , , , ),( 2121 21 11 21 0 21 21 21 22 22110 两边同除 存在异方差： 同方差 转换后的模型符合经典假设，可以用OLS估计参数 n怀特的怀特的“异方差性相一致异方差性相一致”的方差与标准误的方差与标准误： White给出一种估计，可对真实的参数值做出渐近有 效的估计. 例子：例子： 一元线性回归模型： iii XbbY 10 假定： 222 )( ii XVar 随机项的方差与自变量X的平方成正比 两边除以Xi ： i i i i

16、ii i v X bb X b X b X Y 1 01 1 0 2 22 2 2 1 )( 1 )()( i i i i i i i X X Var X X VarvVar 符合经典假设，用OLS求出 对 回归方程 i i X Y i X 1 ii ii i XbbY X bb X Y 1001 1 加权最小二乘法（加权最小二乘法（WLS）的一般形式的一般形式 Y W XX W XI D DD D Y DD XX DD X D W D YXXX B D UUE D DUUD E UU E U B XY U D XB D Y D D DDW DDW I D W D WIW WUUCovUEUX

17、BY w w w n 11 1 11 1111 1 11 * 1 11 11 111 1 111 11 22 2 * * * 2 1 2 ) ( )()( )(0)( 估计加权模型： 左乘模型用 对称正定 加权矩阵加权矩阵W n采用OLS估计原模型：Y=XB+U n得到残差，以各次观察残差的平方作为W权数 矩阵主对角线上总体方差的近似值 DDW DW W e e e e e e e e e n n n 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 第五节第五节 ARCH模型模型 一、一、ARCH模型的定义模型的定义 n由Engle,1982年提出。A

18、utoregressive conditional heteroskedasticity model n波动的集群性(Volatility Clustering)：时序中出 现某一特征的值成群出现的情况。 n就ARCH(1)为例：时刻t的残差 的方差 依赖于时 刻t-1的平方误差的大小，即依赖于 。 更具体地，首先我们做k-变量回归模型： 假定在时刻t-1所有信息的条件下，干扰项的分布为： 2 t t u 2 1t u tktktt uXXY 110 , 0 2 110 tt uNu n定义：对于通常的回归模型 如果随机扰动项的平方 服从AR(q)过程，即 其中， 独立同分布，并满足 ，则称模

19、 型(5.3)是自回归条件异方差模型，简记为ARCH模型。称 序列服从q阶的ARCH过程，记作 。(5.2)和(5.3) 构成的模型称为回归-ARCH模型。 tktktt uXXY 110 2 t u , 2 , 1, 22 110 2 tuuu tqtqtt t 2 )(, 0)( tt DE )(qARCH t 二、二、ARCH效应检验效应检验 n最常用的检验方法：拉格朗日乘数法，即LM检验。 n步骤： n建立辅助回归方程 n原假设和备择假设分别为 n检验统计量 n其中，n为计算辅助回归(5.4)时的样本数据个数， 是辅 1)助回归的决定系数(采用OLS估计) tqtqtt uuu 22 110 2 )1 (0:; 0: 1210 qiHH iq )( 22 qnRLM 2 R 4) 给定显著性水平 和自由度q，如果 ，则拒 绝原假设，认为序列存在ARCH效应；如果 ， 则不能拒绝原假设，说明序列不存在ARCH效应。