高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列(一)学案_第1页
高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列(一)学案_第2页
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文档简介

1、学必求其心得,业必贵于专精2.2。1等差数列(一)学习目标1.理解等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式。2。会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3。掌握等差中项的概念,深化认识并能运用知识链接第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举行一次,奥运会如因故不能举行,届数照算这样举行奥运会的年份数构成一个数列,这个数列有什么特征呢?这个数列叫什么数列呢?预习导引1等差数列的概念如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差2等差中项如果三个数x、a、y组成等差数列,那么a叫做x与

2、y的等差中项,且a.3等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1,公差为d,则其通项ana1(n1)d。4等差数列的单调性等差数列an中,若公差d0,则数列an为递增数列;若公差d0,则数列an为递减数列。要点一 等差数列的概念例1若数列an的通项公式为an10lg 2n,试说明数列an为等差数列解因为an10lg 2n10nlg 2,所以an1an10(n1)lg 2(10nlg 2)lg 2(nn)所以数列an为等差数列规律方法判断一个数列是不是等差数列,就是判断an1an(n1)是不是一个与n无关的常数跟踪演练1数列an的通项公式an2n5,则此数列()a是公差为2的等差数列 b是公差为5

3、的等差数列c是首项为5的等差数列 d是公差为n的等差数列答案a解析an1an2(n1)5(2n5)2,an是公差为2的等差数列要点二等差中项及其应用例2(1)在1与7之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成等差数列,求此数列(2)已知数列xn的首项x13,通项xn2npnq(nn,p,q为常数),且x1、x4、x5成等差数列求:p,q的值解(1)1,a,b,c,7成等差数列,b是1与7的等差中项b3.又a是1与3的等差中项,a1.又c是3与7的等差中项,c5。该数列为1,1,3,5,7。(2)由x13,得2pq3,又x424p4q,x525p5q,且x1x52x4,得325p5q25p8q,即

4、q1,将代入,得p1。规律方法在等差数列an中,由定义有an1ananan1(n2,nn),即an,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项跟踪演练2若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,求m和n的等差中项解由m和2n的等差中项为4,得m2n8.又由2m和n的等差中项为5,得2mn10.两式相加,得mn6。m和n的等差中项为3.要点三等差数列的通项公式及应用例3(1)若an是等差数列,a158,a6020,求a75.(2)已知递减等差数列an的前三项和为18,前三项的乘积为66。求数列的通项公式,并判断34是该数列的项吗?解(1)设an的公差

5、为d,首项为a1.由题意知解得所以a75a174d7424.(2)依题意得解得或数列an是递减等差数列,d0。故取a111,d5.an11(n1)(5)5n16.即等差数列an的通项公式为an5n16。令an34,即5n1634,得n10.34是数列an的第10项规律方法在等差数列an中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1,d的方程(组)求解,但是要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量跟踪演练3已知an为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式:(1)a35,a713;(2)前三项为a,2a1,3a。解(1)设首项为a1

6、,公差为d,则解得ana1(n1)d1(n1)22n1。(2)由等差中项公式得2(2a1)a(3a),a,首项为a,公差为2a1aa11,an(n1)1。1已知等差数列an的通项公式an32n,则它的公差d为()a2 b3 c2 d3答案c解析由等差数列的定义,得dan1an32(n1)(32n)2.2在abc中,三内角a、b、c成等差数列,则角b等于()a30 b60 c90 d120答案b解析因为a、b、c成等差数列,所以b是a,c的等差中项,则有ac2b,又因abc180,所以3b180,从而b60。3一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于()a。 b. c。 d。答案c解析b是x,2x的等差中项,bx,又x是a, b的等差中项,则2xab,a,.4在等差数列an中,已知a1,a2a54,an33,求n的值解a2a5(a1d)(a14d)2a15d4,d.an(n1)n。由ann33,解得n50.1判断一个数列是不是等差数列的常用方法有:(1)an1and(d为常数,nn)an是等差数列;(2)2an1anan2(nn)an是等差数列;(3)anknb(k,b为常数,nn)an是等差数列但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式;反过来,在a1、d、n、an四个

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