高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第二课时 数列求和（习题课）学案（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精第二课时数列求和(习题课）1等差数列和等比数列求和公式是什么？其公式是如何推导的?略2等差数列和等比数列的性质有哪些?略分组转化法求和例1已知数列an，bn满足a15,an2an13n1（n2，nn），bnan3n（nn*）(1)求数列bn的通项公式;（2）求数列an的前n项和sn。解（1）an2an13n1(nn,n2），an3n2（an13n1）,bn2bn1(nn*，n2)b1a1320,bn0（n2)，2，bn是以2为首项，2为公比的等比数列bn22n12n.(2)由（1)知anbn3n2n3n，sn（2222n)(3323n）2n1。类题通法当一个数列本身不

2、是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列时,那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和活学活用求数列，2，4，的前n项和sn。解：an2n2(2n2)（2n1)，sn24135（2n1)n21.错位相减法求和例2（山东高考)已知数列an的前n项和sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1。（1)求数列bn的通项公式；（2)令cn，求数列cn的前n项和tn。解（1）由题意知当n2时，ansnsn16n5.当n1时，a1s111，符合上式所以an6n5.设数列bn的公差为d。由即解得所以bn3n1.（2）

3、由(1)知cn3（n1）2n1。又tnc1c2cn，得tn3222323（n1)2n1,2tn3223324（n1）2n2，两式作差，得tn322223242n1（n1）2n233n2n2,所以tn3n2n2. 类题通法如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法在写出“sn与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“snqsn”的表达式活学活用已知an，求数列an的前n项和sn。解：sn，sn,两式相减得sn,sn。裂项相消法求和例3已知等差数列an的前n项和sn满足s30,s55。(1)求an的通项公式;(2）求数列的前n

4、项和解(1)设an的公差为d,则snna1d。由已知可得解得a11,d1。故an的通项公式为an2n.(2)由（1）知，从而数列的前n项和为.类题通法裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的利用裂项法的关键是分析数列的通项,观察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间）的两项,即这两项的结论应一致活学活用在数列an中，an，且bn，求数列bn的前n项和解：an（12n)，bn，bn8，数列bn的前n项和为sn88.探规寻律数列求和的常用方法归纳1公式法（分组求和法）如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成

5、等差或等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解2裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项,保留哪些项常见的拆项公式有:；若an为等差数列,公差为d，则；等3错位相减法若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时,常常采用将anbn的各项乘公比q，然后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相减法4倒序相加法如果一个数列an，与首末两项等距

6、离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法典例（12分)(江西高考)已知数列an的前n项和snn2kn(其中kn*），且sn的最大值为8。(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和tn。解题流程规范解答(1）当nkn时，snn2kn取得最大值，即8skk2k2k2,故k216，k4。（3分）当n1时，a1s14，（4分）当n2时，ansnsn1n。名师批注利用ansnsn1时，易忽视条件n2。当n1时,上式也成立，综上，ann.（6分)(2)因为，(7分）所以tn1，(8分）所以2tn22，（9分)：2tnt

7、n21名师批注两式相减时，注意不要漏项,由snqsn得sn时应注意q是否等于1.44。(11分）故tn4。(12分)活学活用设数列an的通项公式为an（2n1）an1(a0），求其前n项和解：当a1时,an2n1是等差数列，snn2。当a1时，sn13a5a27a3(2n1）an1，asna3a25a3(2n3）an1（2n1)an，得（1a）sn12a2a22a32an1(2n1）an12（2n1)an.a1，sn.综上所述,当a1时，snn2;当a1时，sn。随堂即时演练1已知an（1）n,数列an的前n项和为sn,则s9与s10的值分别是（)a1，1b1，1c1,0 d1,0解析：选ds

8、91111111111,s10s9a10110。2数列an，bn满足anbn1，ann23n2，则bn的前10项和为(）a. b.c. d。解析:选b依题意bn，所以bn的前10项和为s10，故选b.3数列1,3，5，7，(2n1)，的前n项和sn_。解析：该数列的通项公式为an(2n1)，则sn135(2n1)n21.答案:n214已知数列an的通项公式an，其前n项和sn，则项数n等于_解析：an1，snnn15，n6。答案：65已知等比数列an中，a28，a5512。(1）求数列an的通项公式;(2）令bnnan，求数列bn的前n项和sn。解：（1）64q3，q4.ana24n284n2

9、22n1。（2)由bnnann22n1知sn12223325n22n1，从而22sn123225327n22n1，得（122）sn2232522n1n22n1，即sn(3n1）22n12课时达标检测一、选择题1已知an为等比数列,sn是它的前n项和若a2a32a1,且a4与2a7的等差中项为，则s5等于()a35b33c31 d29解析：选c设an的公比为q,则有解得s53231。2数列(1）nn的前n项和为sn，则s2 016等于(）a1 008 b1 008c2 016 d2 014解析：选as2 016(12)（34)(2 0152 016)1 008.3数列an的通项公式是an，若前n

10、项和为10，则项数为（）a11 b99c120 d121选can,sna1a2an(1）（)（）1，令110，得n120.4数列1，,的前n项和为（）a。 b。c. d。解析：选b该数列的通项为an,分裂为两项差的形式为an2，令n1，2,3，,则sn21，sn2。5已知数列an：，,，那么数列bn前n项的和为（）a4 b4c1 d。解析：选aan，bn4。sn44。二、填空题6数列an中，sn3nm，当m_时，数列an是等比数列解析：因为a1s13m，a2s2s13236，a3s3s2333218，又由a1a3a，得m1。答案：17设数列an的通项为an2n7(nn*)，则|a1|a2|a1

11、5_.解析：an2n7，a15，a23,a31，a41,a53，a1523，|a1a2a15|(531）（13523）9153。答案：1538数列11,103，1 005,10 007，的前n项和sn_。解析：数列的通项公式an10n(2n1)所以sn(101)（1023)（10n2n1)（1010210n）13（2n1）（10n1)n2。答案:(10n1）n2三、解答题9设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.（1)求an的通项公式;（2)设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列anbn的前n项和sn。解：（1）设q为等比数列an的公比，则由a12，a3a24，得2q22q4，

12、即q2q20，解得q2或q1（舍去)，因此q2.所以an的通项公式为an22n12n(nn*)（2）易知bn2n1，则snn122n1n22。10已知各项均为正数的数列an满足aan1an2a0,nn，且a32是a2,a4的等差中项数列bn满足b11，且bn1bn2。（1）求数列an，bn的通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前2n项和t2n。解：(1)因为aan1an2a0，所以(an1an）（an12an）0，因为an0，所以an12an，则数列an是公比为2的等比数列,又a32是a2，a4的等差中项，即2（4a12)2a18a1，解得a12，所以an2n.因为数列bn满足b11，

13、且bn1bn2.所以数列bn是公差为2的等差数列,易得bn2n1。 （2)由（1）知cn t2n22322n137(4n1）2n2n.11已知数列an的前n项和为sn,a12，snn2n.(1）求数列an的通项公式；(2)设的前n项和为tn，求证tn1.解：（1)snn2n,当n2时,ansnsn1n2n（n1)2(n1)2n,又a12满足上式，an2n（nn）(2）证明：snn2nn(n1),，tn1.nn，0，tn1.12设公差不为0的等差数列an的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列（1）求数列an的通项公式;（2）若数列bn满足1，nn*,求bn的前n项和tn。解：（1)设等差数列an的公差为d(d0)，a2，a5，a14构成等比数列，aa2a