第24章解直角三角形复习课件

1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 三边之间的关系三边之间的关系a a2 2b b2 2c c2 2（勾股定理）；（勾股定理）； 锐角之间的关系锐角之间的关系 A A B B 90 90 边角之间的关系（锐角三角函数）边角之间的关系（锐角三角函数） tanAtanA a a b b sinA sinA a c 1、 cosAcosA b b c c a b c 解直角三角形的依据解直角三角形的依据 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2、30，45，60的三角函数值的三角函数值 30 4

2、5 60 sina cosa tana 2 2 3 2 3 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 1 450 450 300 600 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 l l h （2 2）坡度）坡度tan tan h h l l 概念反馈概念反馈 （1 1）仰角和俯角）仰角和俯角 视线视线 铅铅 垂垂 线线 水平线水平线 视线视线 仰角仰角 俯角俯角 （3 3）方位角）方位角 3030 4545 B B O O A A 东东西西 北北 南南 为坡角为坡角 Copyright 20

3、04-2009 版权所有 盗版必究 解直角三角形解直角三角形：(如图如图) 1.已知已知a,b.解直角三角形解直角三角形(即求：即求：AA，BB及及C C边边) ) 2. 已知已知A，a.解直角三角形解直角三角形 3.已知已知A，b. 解直角三角形解直角三角形 4. 已知已知A，c. 解直角三角形解直角三角形 bA B C a c 只有下面两种情况：只有下面两种情况： Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 【】 题型题型1 三角函数三角函数 1. 在在RtABC中，中，C=90，AB=5，AC=4， 则则sinA的值为的值为_ 2. 在在RtABC中，中，C =90，BC

4、=4，AC=3， 则则cosA的值为的值为_ 3. 如图如图1，在，在ABC中，中，C =90，BC=5， AC=12，则，则cosA等于（等于（ ） 13 12 ., 5 12 ., 13 5 ., 12 2 .DCBA 3 5 3 5 D Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4. 如图如图2，在，在RtABC中，中，ACB =90， CDAB于点于点D，已知，已知AC=5 BC=2，那么，那么sinABC=（ ） ， A 522 55 . 3352 BCD AtanAED BcotAED CsinAED DcosAED 5. 如图如图3所示，所示，AB是是 O的直的

5、直 径，弦径，弦AC、BD相交于相交于E，则，则 CD AB 等于（等于（ ） 6计算：计算： |- 2 8|+（cos60-tan30）+ A D 123 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 题型题型2 解直角三角形解直角三角形 1.如图如图4，在矩形，在矩形ABCD中中DEAC于于E， 设设 ADE=a， 且且cos= 3 5 AB=4，则，则AD的长为（的长为（ ） ， 162016 . 335 CD A3 B 2.2002年年8月在北京召开的国际数学家大会会标月在北京召开的国际数学家大会会标 如图如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中所示，它是由四个相同的直

6、角三角形与中 间的小正方形拼成的一个大正方形间的小正方形拼成的一个大正方形 若大正方若大正方 形的面积是形的面积是13，小正方形的面积是，小正方形的面积是1，直角三角，直角三角 形的较长直角边为形的较长直角边为a，较短直角边为，较短直角边为b， 则则a+b的值为（的值为（ ） A35 B43 C89 D97 B B Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 题型题型3 解斜三角形解斜三角形 1.如图如图6所示，已知：在所示，已知：在ABC中，中，A=60， B=45，AB=8， 求求ABC的面积（结果的面积（结果 可保留根号）可保留根号） 2.如图，海上有一灯塔如图，海上有一

7、灯塔P，在它周围，在它周围 3海里处有暗礁，海里处有暗礁， 一艘客轮以一艘客轮以9海海 里里/时的速度由西向东航行，行至时的速度由西向东航行，行至A点点 处测得处测得P在它的北偏东在它的北偏东60的方向，的方向， 继续行驶继续行驶20分钟后，到达分钟后，到达B处又测得处又测得 灯塔灯塔P在它的北偏东在它的北偏东45方向，问客方向，问客 轮不改变方向继续前进有无触礁的危轮不改变方向继续前进有无触礁的危 险？险？ Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 解：过C作CDAB于D， 设CD=x在RtACD中，cot60= AD CD 3 在RtBCD中，BD=CD=x 3 3 x+

8、x=8 解得x=4（3-） 3 3 =16（3-）=48-16 ， 3 3 AD=x 1 2 1 2 3 ABCD=84（3-SABC= ） Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2解：过P作PCAB于C点，据题意知： AB=9 2 6 =3，PAB=90-60=30， PBC=90-45=45，PCB=90 PC=BC 在RtAPC中， PC3 客轮不改变方向继续前进无触礁危险 3 PCPCPC ACABBCPC tan30=， 3 3 3 33 , 32 PC PC PC 即=， Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3.如图，某校九年级如图，某

9、校九年级3班的一个学生小组进行测班的一个学生小组进行测 量小山高度的实践活动部分同学在山脚点量小山高度的实践活动部分同学在山脚点A测测 得山腰上一点得山腰上一点D的仰角为的仰角为30，并测得，并测得AD 的长的长 度为度为180米；另一部分同学在山顶点米；另一部分同学在山顶点B测得山脚测得山脚 点点A的俯角为的俯角为45，山腰点，山腰点D的俯角为的俯角为60请请 你帮助他们计算出小山的高度你帮助他们计算出小山的高度BC（计算过程和（计算过程和 结果都不取近似值）结果都不取近似值） Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 在RtADF中，AD=180，DAF=30， DF=9

10、0，AF=903 3解：如图设BC=x， 3 解得x=90+90 （x-90） FC=AC-AF=x-90 BAC=ABC=45， AC=BC=x BE=BC-EC=x-90 在RtBDE中，BDE=60， DE= 3 3 3 3 3 BE= （x-90）=x-90 3 3 3 DE=FC， Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4.如图，在观测点如图，在观测点E测得小山上铁塔顶测得小山上铁塔顶A的仰角的仰角 为为60，铁塔底部，铁塔底部B的仰角为的仰角为45已知塔高已知塔高 AB=20m，观察点，观察点E到地面的距离到地面的距离EF=35m，求，求 小山小山BD的高（精

11、确到的高（精确到0.1m，3 1.732） Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4解：如图，过C点作CEAD于C x-x 解得x=10 AB=AC-BC， 即20=3 3 BD=BC+CD=BC+EF 3 设BC=x，则EC=BC=x 在RtACE中，AC=x， +10 3+10+3545+101.73262.3（m） 所以小山BD的高为623m =10 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 题型题型4 应用举例应用举例 1有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就 能够知道树高的人小敏想知道校园内一棵大树能够知道

12、树高的人小敏想知道校园内一棵大树 的高（如图的高（如图1），她测得），她测得CB=10米，米， ACB=50，请你帮助她算出树高，请你帮助她算出树高AB约为约为 _米（注：米（注：树垂直于地面；树垂直于地面；供选供选 用数据：用数据：sin500.77，cos500.64， tan501.2） 12 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2.如图如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请，小华为了测量所住楼房的高度，他请 来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和 楼房的影长分别是楼房的影长分别是0.5米和米和15米，已知小华的身米，已

13、知小华的身 高为高为1.6米，米， 那么分所住楼房的高度那么分所住楼房的高度 为为_米米 3如图如图3，两建筑物，两建筑物AB和和CD 的水平距离为的水平距离为30米，从米，从A点测点测 得得D 点的俯角为点的俯角为30，测得，测得 C点的俯角为点的俯角为60，则建筑物，则建筑物 CD的高为的高为_米米 48 203 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4.如图，花丛中有一路灯杆如图，花丛中有一路灯杆AB在灯光下，小明在灯光下，小明 在在D 点处的影长点处的影长DE=3米，沿米，沿BD方向行走到达方向行走到达 G点，点，DG=5米，这时小明的影长米，这时小明的影长GH=

14、5米米 如如 果小明的身高为果小明的身高为1.7米，求路灯杆米，求路灯杆AB的高度（精的高度（精 确到确到0.1米）米） Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1.73 , 3 CDDE ABBExy 即 1.75 , 10 FGGH ABBExy 即 4解：设AB=x米，BD=y米 由CDEABE得 由FGHABH得 由，得y=7.5，x=5.956.0米 所以路灯杆AB的高度约为6.0米 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5.如图，在两面墙之间有一个底端在如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯点的梯 子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在子，当

15、它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；点； 当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点已知点已知BAC= 65，DAE=45，点，点D 到地面的垂直距离到地面的垂直距离DE=3 m，求点，求点B到地面的垂直距离到地面的垂直距离BC （精确到（精确到0.1m） 2 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2 DE AD BC AB 5解：在RtADE中，DE=3 DAE=45， sinDAE= AD=6 又AD=AB， 在RtABC中，sinBAC= BC=ABsinBAC=6sin655.4 答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米 ， ， ，

16、 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 6.如图，我市某广场一灯柱如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆被一钢缆CD固固 定，定，CD 与地面成与地面成40夹角，且夹角，且DB=5m，现要，现要 在在C点上方点上方2m处加固另一条钢缆处加固另一条钢缆ED，那么，那么EB 的高为多少米？（的高为多少米？（ 结果保留三个有效数字）结果保留三个有效数字） 6解：在RtBCD中， BDC=40，DB=5m， tanBDC= BC DB BC=DBtanBDC =5tan404.195 EB=BC+CE=4.195+26.20 答：略 ， Copyright 2004-2009 版权所

17、有 盗版必究 7.如图，在电线杆上的如图，在电线杆上的C处引位线处引位线CE、CF固定固定 电线杆，拉线电线杆，拉线CE和地面成和地面成60角，在离电线杆角，在离电线杆6 米的米的B处安置测角仪，在处安置测角仪，在A处测得电线杆处测得电线杆C处的仰处的仰 角为角为30，已知测角仪，已知测角仪AB高为高为1.5米，求拉线米，求拉线CE 的长（结果保留根号）的长（结果保留根号） Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 7解：过点A作AHCD，垂足为H 由题意可知四边形ABDH为矩形， CAH=30， AB=DH=1.5，BD=AH=6 在RtACH中，tanCAH= CH AH

18、 3 3 3 ， CH=AHtanCAH=6tan30=6=2 CD CE 在RtCDE中 ， CED=60，sinCED= 2 31.5 sin603 2 CD CE=3=（4+）（米） 3 DH=1.5，CD=2+1.5 答：拉线CE的长为（4+3）米 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 8已知：如图，在山脚的已知：如图，在山脚的C处测得山顶处测得山顶A的仰的仰 角为角为45，沿着坡度为，沿着坡度为30的斜坡前进的斜坡前进400米到米到 D处（即处（即DCB=30，CD=400米），测得米），测得A的的 仰角为仰角为60，求山的高度，求山的高度AB 9.如图，在一个

19、坡角为如图，在一个坡角为15的斜的斜 坡上有一棵树，高为坡上有一棵树，高为AB当太当太 阳光与水平线成阳光与水平线成50时，测得该时，测得该 树在斜坡的树影树在斜坡的树影BC的长为的长为7m， 求树高（精确到求树高（精确到0.1m） Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 在矩形DEBF中，BE=DF=200米， 在RtACB中，ACB=45， AB=BC， 即 8解：如图，作DEAB于E，作DFBC 于F，在RtCDF中DCF=30，CD=400米， DF=CDsin30= 400=200（米） 1 2 3 2 CF=CDcos30= 400=200 （米） 3 +xx+

20、200=2003 3 x=200， AB=AE+BE=（200 +200）米 在RtADE中，ADE=60，设DE=x米， AE=tan60 x= 3x（米） 3 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 BCD=15， ACD=50， 在RtCDB中， CD=7cos15， BD=7sin15 在RtCDA中， AD=CDtan50=7cos15tan50 AB=AD-BD =（7cos15tan50-7sin15） =7（cos15tan50-sin15）6.2（m） 答：树高约为6.2m 9解：如图，过点C作水平线与AB的延长线 交于点D，则ADCD Copyright

21、 2004-2009 版权所有 盗版必究 u这节课你有哪些收获? u你能否用所学的知识去解决一些 实际问题吗? Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 题型题型5 综合与创新综合与创新 1.小明骑自行车以小明骑自行车以15千米千米/小时的速度在公路上向小时的速度在公路上向 正北方向匀速行进，如图正北方向匀速行进，如图1，出发时，在，出发时，在B点他点他 观察到仓库观察到仓库A在他的北偏东在他的北偏东30处，骑行处，骑行20分钟分钟 后到达后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南点，发现此时这座仓库正好在他的东南 方向，则这座仓库到公路的距离为方向，则这座仓库到公路的距离为

22、_千千 米（参考数据：米（参考数据：31.732，结果，结果 保留两位有效数字）保留两位有效数字） 1.8 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 2.先将一矩形先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点置于直角坐标系中，使点 A 与坐标系的原点重合，边与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在分别落在 x轴、轴、y轴上（如图轴上（如图2），）， 再将此矩形在坐标平再将此矩形在坐标平 面内按逆时针方向绕原点旋转面内按逆时针方向绕原点旋转30（如图（如图3），）， 若若AB=4，BC=3，则图（，则图（2）和图（）和图（3）中点）中点B 的坐标为的坐标为_，点，点C的坐标为的坐标

23、为_ 3 答案：图（2）中：B（4，0），图（3）中：B（2 ，2）； 4 33 3 34 , 22 图（2）中：C（4，3），图（3）中：C（） Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 3.数学活动课上，小敏、小颖分别画了数学活动课上，小敏、小颖分别画了ABC 和和DEF， 数据如图，如果把小敏画的三角数据如图，如果把小敏画的三角 形面积记作形面积记作S ABC，小颖画的三角形面积记作 ，小颖画的三角形面积记作 S DEF，那么你认为（ ，那么你认为（ ） AS ABC SDEF B S ABC SDEF CS ABC =SDEF D不能确定 不能确定 小敏画的三角形 小

24、颖画的三角形 C Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 4.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AD是边是边BC上的高，上的高， E 为边为边AC 的中点，的中点，BC= 14，AD=12，sinB= ，求：（，求：（1）线段）线段DC的长；的长； 4 5 （2）tanEDC的值的值 12 5 AD CD CD=BC-BD=14-9=5 （2）E是RtADC斜边AC的中点， DE=EC，EDC=C tanEDC=tanC= 12 4 sin 5 AD B 4解：（1）在RtABD中，AB=15 22 ABAD BD=9 Copyright 2004-2009 版权所

25、有 盗版必究 5.某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一 块平地，块平地， 如图所示，如图所示，BCAD，斜坡，斜坡AB长长22m， 坡角坡角BAD=68，为了防止山体滑坡，保障安全，为了防止山体滑坡，保障安全， 学校决定对该土坡进行改造经地质人员勘测，学校决定对该土坡进行改造经地质人员勘测， 当坡角不超过当坡角不超过50时，时， 可确保山体不滑坡可确保山体不滑坡（1） 求改造前坡顶与地面的距离求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到的长（精确到 0.1m）；（）；（2）为确保安全，学校计划改造时保持）为确保安全，学校计划改造时保持 坡脚坡脚A不动，坡

26、顶不动，坡顶B沿沿BC削进到削进到F点处，点处， 问问BF至至 少少 是多少米（精确到是多少米（精确到0.1m）？）？ （参考数据：参考数据：sin680.927 2， cos680.374 6，tan682.475 1， tan500.766 0，cos500.642 8， tan501.191 8） Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 5解：如图，（1）作BEAD，E为垂足 AE=ABcos68=22cos68 8.24， BF=AG-AE=8.888.9 （ m） 即BF至少是8.9m 则BE=ABsin68=22sin6820.40=20.4（m）（2） 作FG

27、AD，G为垂足， 连结FA，则FG=BE AG= tan50 FG =17.12， Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1.73） 6.如图，小岛如图，小岛A在港口在港口P的南偏西的南偏西45方向，距方向，距 离港口离港口81海里处甲船从海里处甲船从A出发，沿出发，沿AP方向以方向以9 海里海里/时的速度驶向港口，乙船从港口时的速度驶向港口，乙船从港口P 出发，出发， 沿南偏东沿南偏东60方向，以方向，以18海里海里/时的速度驶离时的速度驶离 港口，现两船同时出发，港口，现两船同时出发， （1）出发后几小时两船与港口）出发后几小时两船与港口P的距离相等？的距离相等？ （

28、2）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？）出发后几小时乙船在甲船的正东方向？ （结果精确到（结果精确到0.1小时）小时） （参考数据：（参考数据：2 3 1.41， Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 6解：（1）设出发后x小时时两船与港口P 的距离相等 根据题意，得81-9x=18x， 解这个方程，得x=3 出发后3小时两船与港口P的距离相等 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 在RtCEP中，CPE=45， PE=PCcos45 在RtPED中，EPD=60， PE=PDcos60 （81-9x）cos45=18xcos60 解这个方程，得x3

29、.7 出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向 （2）如图，设出发后x小时 乙船在甲船的正东方向，此 时甲、乙两船的位置分别在 点C、D处，连结CD过点 P作PECD，垂足为E则 点E在点P的正南方向 Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 1.如图如图，一架长，一架长4米的梯子米的梯子AB斜靠在与地面斜靠在与地面 OM 垂直的墙垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角上，梯子与地面的倾斜角为为 60（1）求）求AO与与BO的长；（的长；（2）若梯子顶端）若梯子顶端A 沿沿NO下滑，同时底端下滑，同时底端B沿沿OM向右滑行向右滑行如图如图， 设设A点下滑到点下滑到C点，点，B点向右滑行到点向右滑行到D点，并且点，并且AC： BD