电路7-2零输入零状态响应

1、7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 换路后外加激励为零，仅由动态元件换路后外加激励为零，仅由动态元件 初始储能产生的电压和电流。初始储能产生的电压和电流。 1.1.RC电路的零输入响应电路的零输入响应 初始条件：初始条件： uC (0 )=U0 0 CR uu t u Ci C d d uR= Ri 零输入响应零输入响应 i S(t=0) + uRC + uC R 电路方程：电路方程： 元件元件VCR： 0 )0( 0 d d Uu u t u RC C C C RC p 1 特征根特征根 特征方程特征方程 RCp+1=0 t RC e 1 A pt C euA则则 代入初始值代

2、入初始值 uC (0+)=uC(0 )=U0 A=U0 i S(t=0) + uRC + uC R 0 0 0 teIe R U R u i RC t RC t C 0 0 teUu RC t c RC t RC t C e R U RC eCU t u Ci 0 0 ) 1 ( d d 或或 U0 t uC 0 I0 t i 0 令令 =RC, ,称称 为一阶电路的时间常数。为一阶电路的时间常数。 秒秒 伏伏 安安秒秒 欧欧 伏伏 库库 欧欧法法欧欧 RC 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； 连续连续 跃变跃变 电压、电流随时间衰减快慢与

3、电压、电流随时间衰减快慢与RC有关有关; ; 时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 = RC 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短 电压初值一定：电压初值一定： R 大大（ C一定一定） i=u/R 放电电流小放电电流小 放电时间长放电时间长 U0 t uc 0 小小 大大 C 大大（R一定一定） W=Cu2/2 储能大储能大 11 RC p 物理含义物理含义 a. :电容电压衰减到原来电压电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上所需的时间。工程上 认为认为, 经过经过 3 5 , 过渡过程结束。过渡

4、过程结束。 U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t 0 2 3 5 t c eUu 0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 RC t eUu 0C b. 时间常数时间常数 的几何意义：的几何意义： t2 t1 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于 21 1C 1C 0C 0)( )( 1 d d 11 tt tu tue U t u t t t )(368. 0)( 1C2C tutu 次切距的长度次切距的长度 U0 t uc 0 t1t2 能量关系能量关系 tRiWRd 0 2 电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被

5、电阻吸收, , 直到直到 全部消耗完毕。全部消耗完毕。 设设 uC(0+)=U0 电容放出能量：电容放出能量： 2 0 2 1 CU 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量： tRe R U RC t d)( 2 0 0 2 0 2 1 CUte R U RC t d 2 0 2 0 0 2 2 0 | ) 2 ( RC t e RC R U uC R + C 例例1图示电路中的电容原充有图示电路中的电容原充有24V电压，求电压，求S闭合后，电容电压闭合后，电容电压 和各支路电流随时间变化的规律。和各支路电流随时间变化的规律。 解解 这是一个求一阶这是一个求一阶RC 零输入响应问题，有：零

6、输入响应问题，有： + uC 4 5F i1 t 0 等效电路等效电路 0 0C teUu RC t i3 S 3 + uC 2 6 5F i2 i1 s 2045 V 24 0 RCU + uC 4 5F i1 0 V24 20 teu t c 分流得：分流得： A64 20 1 t C eui A4 3 2 20 12 t eii A2 3 1 20 13 t eii i3 S 3 + uC 2 6 5F i2 i1 2. RL电路的零输入响应电路的零输入响应 特征方程特征方程 Lp+R=0 L R p 特征根特征根 代入初始值代入初始值A= iL(0+)= I0 0 1 )0()0(I

7、RR U ii S LL 00 d d tRi t i L L L pt L Aeti)( 0)( 00 teIeIti t L R pt L t 0 iL S(t=0) USL + uL R R1+ - - i L + uL R RL t L L eRI t i Ltu / 0 )( d d 0)( / 0 teIti RL t L I0 t iL 0 连续连续 跃变跃变 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； -RI0 uL t 0 i L + uL R 电压、电流随时间衰减快慢与电压、电流随时间衰减快慢与L/R有关有关; ; 秒 欧安 秒

8、伏 欧安 韦 欧 亨 R L 令令 = L/R 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大 R小小 P=Ri2 2 放电过程消耗能量小 放电过程消耗能量小 放电慢，放电慢， 大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短 物理含义物理含义 电流初值电流初值iL(0)一定：一定： 能量关系能量关系 tRiWRd 0 2 电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, ,直到全直到全 部消耗完毕。部消耗完毕。 设设 iL(0

9、+)=I0 电感放出能量：电感放出能量： 2 0 2 1 LI 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量： tReI RL t d 2 / 0 0 )( 2 0 2 1 LI teRI RL t d / 2 0 2 0 0 2 2 0 | ) 2 / ( RC t e RL RI i L + uL R iL (0+) = iL(0 ) = 1 A uV (0+)= 10000V 造成造成 V损坏。损坏。 例例1 t=0时时, ,打开开关打开开关S，求求uv 0 / tei t L 。电压表量程：。电压表量程：50V s VRR L 4 104 10000 4 010000 2500 teiR

10、u t LVV 解解 iL S(t=0) + uV L=4H R=10 V RV 10k 10V iL L R 10V + + - - 例例2 t=0时时,开关开关S由由12，求求电感电压和电流及开关两端电电感电压和电流及开关两端电 压压u12。 s1 6 6 R L 解解 A2 63 6 6/324 24 )0()0( LL ii 66/)42(3R i + uL 6 6H t 0 iL S(t=0) + 24V 6H 3 4 4 6 + uL 2 12 0 V12A 2 te t i Luei t L L t L d d V424 2 424 12 t L e i u i + uL 6 6

11、H t 0 iL S(t=0) + 24V 6H 3 4 4 6 + uL 2 12 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。 t eyty )0()( iL(0+)= iL(0 ) uC (0+) = uC (0 ) RC电路电路 RL电路电路 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入 线性。线性。 衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有

12、相同的时间常数。 = R C = L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。在换路后的电路中求。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。在换路后的电路中求。 RC电路电路RL电路电路 动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电路中电路中 外加激励作用所产生的响应。外加激励作用所产生的响应。 SC C d d Uu t u RC 方程：方程： 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 解答形式为：解答形式为： CCC uuu 1.1.RC电路的零状态响应电路的零状态响应 零状态响应零状态响应 非齐次方程特解非齐次方程特解 齐次齐次 方程方程 通解通解 i S(t=0

13、) US + uR C + uC R uC (0 )=0 + 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程 与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。 RC t Aeu C 变化规律由电路参数和结构决定。变化规律由电路参数和结构决定。 的通解的通解 0 d d C C u t u RC SC Uu 通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量） C u 特解（强制分量）特解（强制分量） C u SC C d d Uu t u RC 的特解的特解 全解全解 uC (0+)=A+US= 0 A= US 由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数

14、定积分常数 A RC t AeUuutu SCCC )( ) 0( )1 ( S SSC teUeUUu RC t RC t 从以上式子可以得出：从以上式子可以得出： RC t e R U t u Ci SC d d -US uC uC“ US R U S t i 0 t uC 0 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 连续连续 跃变跃变 稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量）+ 电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成： 响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定； 响应

15、与外加激励成线性关系；响应与外加激励成线性关系； 能量关系能量关系 2 S 2 1 CU 电容储存能量：电容储存能量： 电源提供能量：电源提供能量： 2 SS 0 S dCUqUtiU 2 S 2 1 CU 电阻消耗能量：电阻消耗能量： tR R U tRi RC t ed)(d 2 0 S 0 2 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电 场能量储存在电容中。场能量储存在电容中。 R C + - - US 例例 t=0时时, ,开关开关S闭合，已知闭合，已知 uC(0 )=0， ，求求( (1)1)电容电压和电容电压和 电流电流,(,(2) u

16、C80V时的充电时间时的充电时间t 。 解解 (1)(1)这是一个这是一个RC电路零状态响应问题，有：电路零状态响应问题，有： )0( V)1 (100 )1 ( 200 SC t-eeUu t- RC t s10510500 35 RC A2 . 0 d 200 SC t RC t ee R U t u Ci d (2)(2)设经过设经过t1秒秒，uC80V .t-e t- s0458)1 (10080 1 200 1 m 500 10 F + - - 100V S + uC i 2. 2. RL电路的零状态响应电路的零状态响应 S UiR t i L L L d d )1 ( t L R

17、S L e R U i 已知已知iL(0 )=0，电路方程为： ，电路方程为： LLL iii R US t iL 0 R U i S L A0)0( t L R Ae R U S iL S(t=0) US + uR L + - uL R + - )1 ( S t L R L e R U i t L R L L eU t i Lu S d d US uL t 0 iL S(t=0) US + uR L + uL R + 例例1 t=0时时, ,开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、 、uL的变化规律。 的变化规律。 解解这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：电路零状态响应问题，先化简电路，有： 200300/20080 eq R s01. 0200/2/ eq RL t 0 A10)( L i A)1 (10)( 100t L eti V200010)( 100100tt eqL eeRtu