第九章自控原理课件

1、第九章 非线性控制系统 非线性系统一般由三部分组成: 被控对象，执行机构，测量装置 执行机构测量装置被控对象 第一节 概述 一般数学数学描述 分类：定常、时变； 连续、离散 ),( ),( tuxgy tuxfx 放大元件由于受电源电压或输出功率 的限制，在输入电压超过放大器的线 性工作范围时，呈现饱和现象(a). 执行元件的电动机，由于轴上存在着 摩擦力矩和负载力矩，只有在电枢电 压达到一定数值后，电枢才会转动,存 在着死区;而当电枢电压达到定数值时， 电机转速将不再增加呈现饱和现象， 如（b） 传动机构受加工和装备精度限制，换 向时存在着间隙特性，如（c）。 （a） 非线性环节举例： （b

2、） （c） 线性系统与非线性系统的区别 对于线性系统而言，一旦给定某个线性系统， 那么在此系统中，只有一种运动形式，而且所 有的状态变量都与其初值成比例。而非线性系 统则不同，随着初始状态的不同，系统可能出 现不同类型的运动。 首先讨论线性系统： ，此系统的解可以表示为： 如研究另一个初始状态，它是x0的k倍，则由此初始状 态出发的系统运动为： 可以看出，从不同初始状态出发的线性系统运动属于 同一类型，而且成比例 Axx 为初始状态， 00 e)(xxtx At 000 ee e)( xkkxxtx AtAtAt 举例说明 t x 线性系统在不同初始 条件下的运动 以具体的二阶系统范德波尔 方

3、程(非线性系统）为例: 对于范德波尔方程来讲，系统存 在三种不同的运动形式：周期 运动，收敛运动和发散运动， 而且完全由初始状态决定。 0)1 ( 1 . 0 2 xxxx 范德波尔方程不同初始 条件下的运动 C A t x B 轨线C收敛振荡，收敛 到轨线A的周期运动。 系统能够克服扰动对状态的影响，保持固定振幅和 频率的稳定周期运动A，称之为自振。 轨线A等幅周期振荡； 轨线B发散振荡，趋 向于轨线A的周期运动； 自振是非线性系统中非常重要的一种运动形式，分析自振的 产生原因，确定自振的频率和幅值，研究自振的抑制方法是 非线性系统分析的重要内容。 事实上，非线性系统的内容十分丰富，运动类型

4、很多，除自 振以外，还会出现一些线性系统中不可能出现的特性，如跳 跃、多平衡状态、混沌、甚至是更复杂的过渡过程等。而且 对于每一运动现象，也呈现出丰富的多样性，如自振，系统 就可以有不同类型、数目、特点的自振。 系统处于长时间大幅度的振荡作用下，会造成机械磨损、控 制误差增大等，因此多数情况下不希望系统有自振发生。但 某些时候通过在控制中引入高频小幅值的颤振，可克服间歇、 死区等非线性因素的不良影响。 注意： 模型线性化 严格的讲，几乎所有的控制系统都是非线性的，因为 系统本身构成系统的各个环节无法用线性关系来描述， 那么在线性系统中广泛应用的叠加原理就不再适用了。 许多用来分析线性系统的方法

5、和技术就不能用来分析 非线性系统。 为了继续使用较为成熟的线性系统分析设计方法，通 常是把非线性系统近似线性化。这种线性化只适用于 非线性程度不严重的情况，如死区较小，输入信号幅 值较小，传动机构空隙不大时，都可忽略非线性特征 的影响，将其视为线性环节，另外系统工作在某个数 值附近的较小范围内，也可以近似看作线性的。 最常见的线性化方法就是在工作点进行泰勒展开，然 后忽略高阶导数项。 为高阶导数项，)()()()()()( 00000 xxxfxxxfxf 为非线性的微分方程 之间显然液位和输入 为：则液位系统的动态方程 的黏度与阀阻。：比例系数取决于液体， 据水力学原理： ：储水槽横截面流出

6、量输入量：液位高度 ），其中实验室中的水槽装置（ i ii oi Q HKQQQ dt dH C KHKQ CQQH d 0 0 : : (d) i Q 0 Q H 举例1: ），（， 写作通常在工作点附近直接 性方程：就求出小偏差的近似线 程用上述方程减去稳态方 ）（ ：项省略，代入原系统得展开的一次近似，高阶变化较小，所以取泰勒，由于 ）（ 性化泰勒展开为非线性函数，将它线 ， 附近变化，取在附近，相应的输入量工作在设液位 00 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 00 00 2 2 : 2 1)( 2 1 iii i i ii i i ii QHQHH H K Q dt dH

7、 C H H K Q dt Hd C HKQ dt dH C HH H HKQQ dt HHd C QH HH H HH H QQQHHH QQHH 为泰勒展开。态空间表达，其方法仍将其线性化得到线性状 通常为零点），（非线性函数，工作点为 如程形式如果给定系统是状态方 , ),( ),(2 , 2010201021 2222 11121 2 11 uuxxff uxfuxx uxfuxxxxx 举例2: 非线性系统稳定线性系统稳定 u u f u f u f u f x x f x f x f x f x u u f x x f uxfuxfxxx uu u f xx x f uxfuxf

8、uxux uxux uxux ),( 2 2 1 2 2 1 1 1 ),( 2 2 1 2 2 1 1 1 ),(),(000 0),(0),(00 0000 0000 0000 ),(),( )()(),(),( 对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的 非线性系统，建立在线性化基础上的分析和设计方 法已经难以得到较为正确的结论，只有采用非线性 系统的分析和设计方法才能解决高质量的控制问题。 为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线 性控制理论进行研究。 研究非线性控制理论的意义 典型非线性环节及其影响 死区特性；饱和特性连续非线性特性 x f(x) x f(x) 死区可由各种原因

9、引起，如静摩擦、电气触点的气 隙、触点压力、各种电路中的不灵敏值等等；对系 统性能的影响也各不相同，有时可能导致系统不稳 定或自激振荡，但有另外一些场合，却有利于系统 的稳定性或是消除自振。在随动控制系统中，死区 的存在将会增大系统的稳态误差。 许多执行元件也都具有饱和特性，例如伺服电机。 通常进入饱和区后，系统放大系数下降，从而导致 稳态精度降低。实际上，执行元件一般都兼有死区 和饱和两种特性。 不连续非线性特性继电型非线性 x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) 继电特性具有各种形态，除理想的继电特性之外， 还有带死区、带滞环等环节的继电特性。 继电器是控制系统与保护装置中

10、常见的一种器件， 继电特性常常使系统产生振荡，如果选择合适的继 电特性可以构成正弦信号发生器。 非单值区特性滞后；间隙 x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) x f(x) 间隙特性一般常见于机械传动装置，例如传动 齿轮，由于加工精度的限制和装配缺陷，主动 齿轮与从动齿轮之间会产生间隙特性。 控制系统中间隙特性的存在，往往促使系统产 生自振，稳定性变差，稳态误差增加。 以理想继电器和带有空间滞后的继电器特性为 例，说明分段线性化后的数学表达式 x f(x) k -k 0 , 0 , )( xk xk xf x f(x) k -k a-a 0, , 0, , ),( xaxaxk

11、 xaxaxk xxf 或 或 非线性系统的研究方法及特点 相平面方法李亚普诺夫稳定性理论描述函数法 研究对象是二阶系统，利用系统微分方程在相平 面上建立系统解的几何形象，从而获得二阶系统 的运动性质。 特点：无需求解非线性微分方程，直接给出能够 显示系统运动特征的相图，从而获得系统全部运 动性质的定性知识。 独特优越性：系统存在无限多的轨线运动，只需 画出其中几条就可以获得系统全部轨线的概貌。 相平面方法 例：二阶系统（谐振子） 相轨迹方程为 相轨迹是一组椭圆族，系统只发生一种类型的运 动相轨迹所表示的周期解，且与初始状态 有关。 0 2 xx 22222 Axx x x 描述函数法（谐波线

12、性化法）： 非线性处理的近似方法，控制工程中较为普及的 一种实用方法。 优点：比较简单，解决问题全面，且适用于高阶 系统和各种非线性特性。 缺点：数学理论基础不完善，得到的结果既不是 充分的，也不是必要的，而且在近似过程中会丧 失部分非线性信息，从而无法从谐波线性化方程 中取得关于非线性系统的某些更复杂现象的本质 与特性 系统结构系统结构 非线性环节的描述函数近似于一个复数增益的比 例环节，从而可以利用线性系统的频域分析方法 来讨论稳定性。 NL e y Linear Plant r 非线性元件的描述函数就等价于线性系统的频率 特性，所以线性系统理论中的频域结果，如奈氏 判据，波特图，霍尔维茨

13、判据及根轨迹方法等， 几乎可以推广到非线性系统中来研究非线性元件 的稳定性、周期解等。 Lypunov稳定性理论： 在非线性系统控制中，它是研究系统稳定性的主要方法 Lypunov第一方法：用级数形式的解来研究系统稳定性，即 将系统在原点展开成泰勒级数的形式，得到一阶线性近似方 程，它的稳定性就决定了非线性系统的稳定性，为一般线性 化方法奠定了基础，同时也给出了线性化方法成立的条件 Lypunov第二方法：无需求解方程而直接判断解的稳定性。 此方法关键是找到一个正定且有界的V(x,t)函数，且保证V函 数沿时间t的导数为负定的，那么系统就是稳定的。其中 V(x,t)函数可以看作是能量系统的能量

14、函数，从物理学角度 来讲，如果一个系统的能量是有限的，且能量随时间的变化 率为负时，那么这个系统的所有运动都是有界的，而且最终 在能量为零时，所有运动都会返回到平衡位置，即系统达到 稳定。 研究方法的特点 目前通常用到的（不是全部）非线性方法有一个 基本特点，就是总以某种方式通过线性化而建立 起来的。换句话说就是以线性方法为基础加以修 补使之能够适应解决非线性问题的需要。 相平面方法：实质是分区线性化方法 描述函数方法：谐波线性化方法 Lyapunov第一稳定方法：一阶线性化近似化方法 Lyapunov第二稳定方法：本质是真正的非线性方法， 但一般V函数构造为线性二次型附加修正项的形式， 真正

15、的非线性方法也是在线性为基础的情况下才得 以实现的 前面介绍的三种方法对非线性系统的分析与控制 主要是定性的，与线性系统的研究进展比较起来 远远不如，其主要原因就在于没有合适的数学工 具。在线性定常系统中，系统的性质仅取决于由 系统矩阵表示的各种变换形式，但是对于非线性 系统来讲却非常复杂，数学上仅有的可利用结果 只是微分几何中局部变换等并不十分完善的工具。 微分几何控制理论就是在这种情势下，用微分几 何来研究系统的能控性、能观测性等基本特性作 为开始发展起来的。 非线性系统的微分几何控制理论是近年来非线性 控制研究的主流，内容包括基本原理和反馈设计 两大部分。 其他非线性研究方法其他非线性研

16、究方法微分几何控制理论：微分几何控制理论： 当然微分几何控制方法在非线性系统的研究中并不是 万能的，目前已经发现在涉及到非线性系统的可逆性 质以及在动态反馈下的结构性质时呈现病态现象。而 且目前对微分几何控制进行介绍的著作中，都是以微 分几何，泛函等现代数学知识作为必备基础的，这样 在客观上就给一般的工程技术人员或是工科院校的学 生造成很大的困难，无法对其实质性成果有一个感性 的认识。 “近20年来用微分几何方法研究非线性所取得的成功，就像 20世纪50年代用拉氏变换及复变函数理论对单输入单输出系 统的研究，或是20世纪60年代用线性代数对多变量线性系统 的研究一样，都具有里程碑的性质。”Is

17、idori 为解决微分几何方法中遇到的病态问题，一方面， Fliss成功地把微分代数引入到非线性控制理论中， 另一方面，Di Benedetto，Grizzle和Moog从更易于 接受的线性代数角度重新考虑了非线性系统的结构 性质。基于这方面的理解，从而形成了区别于其他 方法的非线性系统的微分代数方法，它已经成为与 微分几何方法相辅的工具。 其他非线性研究方法其他非线性研究方法微分代数方法：微分代数方法： 系统结构： 注：注：线性和非线性部分可以分开；线性和非线性部分可以分开；绝大多数的线性绝大多数的线性 系统都是低通滤波器，则非线性元件的输出系统都是低通滤波器，则非线性元件的输出y主要主要

18、是由低频成分组成，非线性元件是由低频成分组成，非线性元件 NL就等价于一个就等价于一个 线性比例环节；线性比例环节；非线性具有奇对称的静态特性。非线性具有奇对称的静态特性。 第二节 描述函数方法 非线性环节：输入为 如果输出y(t)在时间段T内是有界可积的（存在 最大最小值），则可以展开为Fourier级数： )sin( 2 sincos 2 )( 1 0 1 0 nn n nn n tnY A tnBtnA A ty xXtsin 一 描述函数定义： 2 T Ay tn tt n 1 0 2 ( )cos()d By tn tt n 1 0 2 ( )sin()d YAB nnn 22 n

19、n n A B arctan 当非线性环节具有当非线性环节具有 奇对称特性时，静奇对称特性时，静 态分量态分量A A0 0为零为零 描述函数：在正弦谐波 输入作用下， 非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信号 的复数比，即 和 分别为输出一次谐波的幅值、相位 xXtsin X jAB e X Y XN 11j1 1 Y1 1 注意：Fourier级数特性： 1、 y(t)为奇函数:y(t)=-y(-t)，则 2、 y(t)为偶函数y(t)=y(-t)，则 3、 y(t)为半波对称 ，则 An 0 0 n B ytyt()() A k2 0 B k2 0 例1 理想继电非线性 x y t y

20、t x M 二 描述函数的计算 M ttM tttyB 4 dsin 2 dsin)( 1 0 2 0 1 X M XN 4 )( 2 0 )( tM tM ty ， ， 例2 死区饱和 x y t y t x d s k sd X 两个重要的角度： 当 时，有 当 时，有 当 时，有 d d X arcsin d t0 0)( ty s s X arcsin s t2/ )()(dskty ds t )()(dxkty X B N 1 dsds k 2sin2sin22 sin d d X d 2sin 21 2 d X d X sin s s X s 2sin 21 2 s X s X 其

21、中 纯死区 Xs s 2 sin20 s 2 1arcsin 2 2sin2 X d X d X dk k k N dd 纯饱和 d 0 d 0 sin20 d 2 1arcsin 2 2sin2 X s X s X sk k N ss 例3 具有滞环的继电特性 x y t y t x M t1 t2 t1t2 hh M X 2 T x tXt( )sin X h tarcsin 1 N M X e h X 4 jarcsin 21 21 20 ttt tttt M M y ， ， ， arcsin 2 X h t X Mh tttyA 4 )(dcos)( 1 2 0 1 2 2 0 1 1

22、 4 )(dsin)( 1 X hM tttyB 例4 继电死区滞环 x y t y t x M t1 t1t2 2h M t2 2 tXtx sin)( y ttttttt Mttt Mttt 00 2 1212 12 12 , N a X b X e a b 1 2 1 2 1 1 jarctan X hM a 4 1 22 1 11 2 X h X h X M b 描述函数的特性 描述函数在数值上等于非线性环节稳态输出的一次 谐波与输入函数的复数比，是关于输入幅值X的函 数；对于单值的非线性环节，如死区、饱和、继电 等环节，其描述函数为实数；对于多值非线性环节， 如间隙、带有滞环的继电环

23、节等，其描述函数为复 数。从物理意义上来讲，描述函数可以看作是非线 性环节的等效复数放大增益。 三 描述函数分析方法 等效方块图 NL是非线性环节，Gp（S）是线性环节的传递函 数。当系统由多个线性和非线性环节组合而成 时，在一些情况下，可以通过等效变换，使系 统简化成这种典型结构。 在非线性系统经过简化后，具有典型结构。当系 统的线性部分具有较好的低通滤波特性。在非线 性环节的输入为正弦信号时，实际输出中必定含 有高次谐波分量，经过线性部分传递之后，由于 低通滤波作用，高次滤波分量将被大大削弱，因 此保证闭环通道内近似地只有一次斜波分量流通， 从而保证对非线性环节可以用描述函数来表示。 描述

24、函数就可以作为一个具有复变增益的比例环 节。这样非线性系统经过谐波线性化后就等效为 线性系统。应用线性系统的频率稳定判据分析非 线性系统的稳定性。 说明 )()()( 21 XNXNXN )()()( 21 XNXNXN 等效变换的原则是在参考输入r(t)=0的条件下，根 据非线性特性的串、并联把非线性部分简化成一个 等效非线性环节，然后在保持等效非线性环节的输 入输出关系不变的基础上来化简线性部分。 根据各线性环节输入输出关系图再求N（X） 非线性并联 非线性串联 等效线性环节： ) 1( 1 )( ss Ts sG 举例 等效线性环节： )()()(1 )( )( 321 2 sGsGsG

25、 sG sG 举例 闭环非线性系统等效传函 特征方程 )()(1 )()( )( )( sGXN sGXN sR sY 0)()(1sGXN 描述函数分析法： 稳定判据： 由 和 判断系统稳定性： 当 包围 系统不稳定; 当 不包围 系统稳定; 当 穿过 系统临界稳定，周期振荡 )j (G )( 1 XN )j (G )( 1 XN )j (G )( 1 XN )j (G )( 1 XN 不稳定 极限环 稳定 极限环： 当 穿过 时对应的等幅周期振荡即为极限环 交点的位置确定了极限环的幅值和频率交点的位置确定了极限环的幅值和频率 )j (G )( 1 XN 极限环的稳定性 D: 不包围 - 稳

26、定振荡，振幅衰减，系 统向稳定方向发展 C: 包围 - 不稳定，振幅增加，C点 向着B点移动 F: 包围 -不稳定，振幅增加，F点也 向着B点移动 E: 不包围 - 稳定，振幅衰减，E点也 向着B点移动 A , B: 极限环 C, D, E, F: 不同振幅的振荡 分析： )j (G )( 1 XN )j (G )( 1 XN )j (G )( 1 XN )j (G )( 1 XN 结论： A点极限环是不稳定的; B点 极限环是稳定的 极限环稳定性判据：极限环稳定性判据： 在曲线在曲线 和曲线和曲线 的交点处，如果曲线的交点处，如果曲线 沿着振幅沿着振幅X X增加的方向，从不稳定区域（曲增加的

27、方向，从不稳定区域（曲 线线 包围的区域）进入稳定区域（曲线包围的区域）进入稳定区域（曲线 不包围的区域），那么该点的极限环振荡是稳定不包围的区域），那么该点的极限环振荡是稳定 的；反之，就称该点对应的极限环振荡是不稳定的；反之，就称该点对应的极限环振荡是不稳定 的。的。 )( 1 XN )j ( G )( 1 XN )j ( G)j ( G Step1 写出闭环特征方程： Step2 当 是实函数 Step3 当 是复函数)(XN )(XN 0)j ()(1GXN X XN G G )( 1 )j (Re 0)j (Im 极限环的计算 X GXN GXN ， 1)j ()(Re 0)j ()

28、(Im 例1 分析极限环：给定线性系统 和死区非线性元件 2 1arcsin 2 )( XXX k kXN )j5 . 01)(j1 (j )j ( K G 根据给定的非线性元件描述函数，可知： 线性部分在K1时对应的曲线G（jw）如图中曲线1所示，其中 穿越频率 与负实轴的交点为 1 1 )( 1 )( 1 kNN ， 2010 )25. 01)(1 (j )j5 . 01)(j1 ( Im0)j (Im 2 22 K G 3 1 3)25. 01)(1 (j )j5 . 01)(j1 ( Re)j (Re 22 KK G 解： 欲调整增益使其出现极限环，如曲 线2，有 即当K=3时，系统不

29、稳定，存在极 限环，且极限环是不稳定的。 31 3 K K 不包围，给定非线性系统 是稳定的 例2：试用描述函数方法分析： （1）k=15时，非线性系统的运动。 （2）欲使系统不出现自振荡，确定k的临界值。 u ) 12 . 0)(11 . 0(sss k 存在稳定周期运动。存在稳定周期运动。），在交点（在交点（ ）（ 与与可见可见 ）（与负实轴交点为与负实轴交点为 穿越频率穿越频率 ，曲线如红线曲线如红线时，时，）在）在（线性部分：线性部分： ）（）（ 线性描述函数为线性描述函数为解：查表，得出饱和非解：查表，得出饱和非 ,01 1 1 2 . 01 . 0 2 . 0*1 . 0*15 0

30、7. 7 2 . 0*1 . 0 11 115 )( 1 5 . 0 )( 1 ;)(1arcsin 2 21 21 21 2 j AN T TT TkT jGT TT TkSG ANAN aA A a A a A aC AN G XG X G 1 2 -0.5 -1 。如如绿绿线线的的临临界界值值为为 即即 无无交交点点 ）（ 与与使使，应应调调整整为为使使系系统统不不出出现现自自振振荡荡 2, 5 . 7 02. 0 3 . 0*5 . 0 5 . 0 , 1 . 2 21 21 MAX G kk TT TkT AN TK ）提高质量改变参数（如 奈氏判据 曲线 ）（ 和在复平面上绘制 结

31、构图化简 分析步骤总结： K AN TG . 4 . 3 1 . 2 . 1 例3 分析极限环，给定非线性环节 Step 1 画出闭环系统的结构图 12 xx 0 x x ， 0 x x ，12 xx Step 2 计算系统的传函与描述函数： EE M EN 44 )( )2( 1 )()2( )()1 ( )2(L )(L )( )( )( 2 ss s sXss sXs xx xx sM sY sG Step 3 稳定性分析 闭环系统是不稳定的，极限环稳定 Step 4 计算极限环周期振荡的频率和幅值 )4( )2j(3 )2j (j j1 )j ( 2 2 G 0 )4( )2( )j

32、(Im 2 2 G 2 2 1 )4( 3 )2j (Re 2 2 G 2 1 )2j (Re )( 1 G EN 2 E 总结 描述函数方法给出了系统稳定性的有关信息，但 是无法给出系统的瞬时响应信息。 描述函数方法是一种近似方法：线性部分是一个 低通滤波器； 与 越垂直，结果就越准确。 )j ( G 1 N More accurate Less accurate 1 N Gp()j 1 N Gp()j 采用正弦波作为输入得到的描述函数方法要比以 其他函数为输入得到的描述函数方法准确。 采用描述函数方法遇到的困难程度和获得结果的 准确程度与非线性环节的复杂程度有关。 对于多个非线性环节的组合

33、，如下图， NX 1 () xyz NY 2 () )()( 12 XNYN X Z 第三节 相平面方法 相轨迹的特点 相轨迹的绘制方法 奇点与极限环 线性系统相平面分析 非线性系统相平面分析 总结 适应于二阶非线性系统： x x ( , )xf x x 0 1 上半平面： x增加,方向从左到右 2 下半平面： x减少,方向从右到左 3 所有的轨迹如果穿过 x轴，则方向必定是 垂直的。 4 奇点是平衡点， 对所 有二阶系统均在x轴 上 x 0 0 x 一 相轨迹的特点 0 dx x d 二 相轨迹的绘制方法 解析法： 例1：给定二阶系统 解：利用 积分得： x x 2 0 xx x x d d

34、 x x x x d d 2 0 x xx xdd 2 0 22 0 2 2 0 2 2 2 Ax x x x 例2 给定系统 解：由方程 可得： 由初始条件可知： x M x MtC 1 xMtC tC 1 2 2 12 C10 Cx 20 x M xx( ) 0 0 ( )x 00 x Mt xMtx 1 2 2 0 ()()xxx MM xx 2 00 22 x x M 1 x0 x x M 1 x0 图解法等倾线法： 等倾线： 穿过曲线 上任意一点的所有相轨迹均具有相 同的斜率，也就是具有相同的运动方向。 x xxf x x ),( d d x x d d 一组不同的斜率值，就定义了一

35、组不同的等倾线。 所有这些等倾线给出了相轨迹切线的方向场。 等倾线法的基本思想是确定相轨迹的等倾线，进 而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件 出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。 例3 采用等倾线法画出给定系统的相轨迹： 解：系统可以写作 令 ，则有 xxx 20 2 x x x xx d d 20 2 d d x x xxx 20 2 x x 2 2 给定不同的斜率值，就定义了不同的等倾线。 假定： ，则有等倾线方程为： 0 5 . 1 x x 1 1 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 0 x x x 0 1 x x 1 0 xx ( ) 10 2 x x 4 x x 1 3

36、x x 1 2 4 0 图解法 法 A 相轨迹可以看作是一系列的中心在x轴上的小圆弧 连接而成 B 动力学方程可以写成： 其中 是一个连续的单值函数。 C 将动力学方程左右两边同时加入一函数，得 令 ),(txxfx f x x t( , , ) ( , , )xxf x x tx 22 2 2 ),( xtxxf D 为便于绘图，可适当选取 和 E 在 邻域内，取 F 新的运动方程为 ),( 111 tx x 1111 ( ,)xxtconst x x 22 1 ()xx 2 1 0 G 对上述方程求解 H 相轨迹为 圆心： 半径： ()xxA 22 1 22 () x xB 2 1 22

37、PQ x x 1 2 11 2 (, ) 10 x x P x x t(, ,) 1 1 1 Q(, )10 例 用 法绘出给定系统的相轨迹 （1）系统运动方程为 令 则 xxx 20 2 xxx 2 2 2 2 2 xx x x 22 () x xR 2 22 （2）对于给定点 Rxxx 11 2 11 2 2 11 2 x (, )xx 11 x y x 2yAB yB yA yAB B A 1 2 A 线性二阶系统的相轨迹线性二阶系统的相轨迹 给定线性二阶系统的微分方程 其平衡状态只有一个，即原点。对应的特征根为 下面对线性二阶系统在不同参数情况下的相平面 图进行分析，并由此划分奇点（平

38、衡状态）的 类型， 0bxxax 2 4 2 2, 1 baa b0，系统特征根为 a 21 , 0 b0时线性二阶系统的相平面图 b0，系统特征根为 b0,系统方程可写为： 1）当 ，特征根为一 对具有负实部的共轭复数 根，奇点为稳定焦点，相 轨迹如右图 02 2 xxx nn 2 ,2 nn ba 10 2）当 ，特征根为一 对具有正实部的共轭复数 根，奇点为不稳定焦点， 相轨迹如右图 01 3）当 ，系统特征根为负实数根，奇点为稳定 节点 1 1 斜率为 和 的直线是相轨迹，也是渐近线 2 如果 ，则当 时，所有的相轨迹均趋 向于渐近线 1 2 12 t 1 说 明 4）当 ，特征根为正

39、实数根，奇点为不稳 定节点: 1 5）当 ，特征根为一对纯虚数根，奇点为中 点 x x 1 2 j 0 极限环：孤立的闭环相轨迹 x x x x 稳定极限环稳定极限环 不稳定极限环不稳定极限环 半稳定极限环半稳定极限环 x x 线性系统相平面分析 例 绘出给定二阶系统的相轨迹 解：列出基本方程 K s Ts()1 R s ( )E s ( )C s ( ) C s R s K TssK ( ) ( ) 2 E s R s Tss TssK ( ) ( ) 2 2 TeeKeTrr 输入为阶跃函数： 误差方程为： r tRt( )( ) 1rr 0 TeeKe 0 TeeKe eRe ( ),

40、( ) 0 000 奇点为 根据二阶系统 时，稳定焦点 时，稳定节点 0 0 2 1 x x e e 0 0 TK 2 0 140 KT 140 KT e e Re e R 140 KT140 KT 非线性系统相平面分析 例 求出给定系统的相轨迹： 其中非线性环节为： E s ( )Y s ( ) GN R s ( ) K s Ts()1 M s ( ) e m k IIIIII e 0 e 0 m eee keee for for 0 0 1, k 解：系统方程为 在 平面上，存在两个微分方程，分成三个区 域。令 C s M s K s Ts ( ) ( )() 1 E sR sC sR s

41、 K s Ts M s( )( )( )( ) () ( ) 1 TeeTrrKm e e , eE( )0 0 ( )e 00 输入为阶跃函数： r tt( )( ) 1 r 0 r 0 TeeKe TeekKe 0 0 Areas I and III Area II 奇点： ，假设 因为 ，所以 ee 00, 1 40 kKT k 1140 KT 小输入 (0,0)为稳定节点 大输入 (0,0)为稳定焦点 ee 0 TeekKe 0 ee 0 TeeKe 0 相轨迹如右图 对于A，C点，(0,0)是稳定焦点 对于B，D点，(0,0)是稳定节点 e e E 0 IIIIII e0 e0 A

42、B C D 加入非线性环节后，加速系统调节过程： 1 当环路中信号较大时： 不完全衰减，误差衰减较快 2 当环路中信号较小时： 严格衰减，完全避免了振荡出现 说明 例2.具有内部负反馈系统相轨迹的绘制与分析 对于具有死区特性的非线性系统，当死区范围较小且线 性部分的时间常数教大时，特别容易产生极限环振荡。 在非线性控制系统中采用内部反馈的方法来抑制或消除 极限环振荡。 温度控制系统 2 G mKKyTT STT KK sM sY 1010 2 10 10 )( )( yyre 00 00 0 0 yeM yeM m 0 0 01010 01010 yMKKyTT yMKKyTT 解：首先假设系

43、统无内部反馈 ，根据系统结构图 可知： 考虑负反馈作用 ，则具有继电特性的非 线性环节可以写为： 则非线性系统可以用下面两个线性微分方程来描述： 0 2 0 2 1 10 010 2 0 10 010 2 yAy TT MKK y yAy TT MKK y 采用解析法可以求出上述两个线性微分方程对应的 相轨迹方程： 其中A0和A1是由相轨迹初始点确定的两个常数。两个线 性方程对应的相轨迹是两个开口完全相反的抛物线. 无内部反馈的温度控制系统的相轨迹就是封闭极限环 曲线，无论从任何初始值出发都会产生自振。只是振 荡的幅度和周期不同。 )( 22 cKycKyre 0 0 00 0 0 K yT

44、ccKyT ST K SC SY ）（ ）（ 00 00 0 02 00110 0 02 00110 y K TK yeMKKyTT y K TK yeMKKyTT 0 0 02 y K TK y 下面分析加入内反馈G2对系统的影响。此时反馈作 用可以写作： 信号C(s)与Y(s)之间的关系可以下式来表示： 则带有内部反馈的闭环系统微分方程可以写成： 可见加入内部反馈之后，描述系统的微分方程并未发 生改变，但开关线由原来的y=0变为 相轨迹: 可见开关线的变化使得相轨迹由原来的封闭曲线转化 成内螺旋形，并最终收敛于原点，这时系统运动由极 限环的等幅振荡变成了衰减振荡。内部负反馈的作用 就是消除

45、自振。 如果能够通过引入内部反馈来改变开关线，使开关线 变成一条过原点且收敛到原点的相轨迹，那么无论是 从任何一点出发的运动，只要其到达开关线上，就会 沿开关线收敛到原点。这种控制肯定是时间最短的最 优控制，称做Bang-Bang控制. 总结 描述函数方法描述函数方法相平面分析相平面分析 系统复杂性系统复杂性 1 1st st ( 00 txt 大范围一致渐近稳定性判别定理大范围一致渐近稳定性判别定理2 考虑如下非线性系统 式中 如果存在一个具有连续一阶偏导的标量函数V(x)， 其中V(0)=0,且满足以下条件： 1、 V(x)正定； 2、 负定； 3、若 则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。 )()(txftx 0)0(f )(xV )( ,xVx 定常系统大范围一致渐近稳定性判别定理定常系统大范围一致渐近稳定性判别定理1 考虑如下非线性系统 式中 ， 如果存在一个具有连续一阶偏导的标 量函数V(x)，其中V(0)=0, 且定