第1章_大气运动的基本方程组

1、描述大气运动和热力过程的基本物理量：描述大气运动和热力过程的基本物理量： 支配大气运动的基本物理原理（定律）有：支配大气运动的基本物理原理（定律）有： 1 1）动量守恒原理（牛顿第二运动定律）；）动量守恒原理（牛顿第二运动定律）；2 2）能量守恒）能量守恒 原理（热力学第一定律）；原理（热力学第一定律）；3 3）质量守恒原理（连续方）质量守恒原理（连续方 程）；程）；4 4）状态方程；）状态方程；5 5）水汽方程等。）水汽方程等。 本章的主要任务是，利用这些物理原理和数学方法，本章的主要任务是，利用这些物理原理和数学方法， 建立描述大气运动的基本方程组。建立描述大气运动的基本方程组。 1 Ch

2、apter 1: Chapter 1: 大气运动的基本方程组大气运动的基本方程组 第第1章：大气运动的基本方程组章：大气运动的基本方程组 P、T、 、q (u、v、w) 场变量：场变量：是空间上和时间上是空间上和时间上 的连续函数的物理量。的连续函数的物理量。 1.1运动学基础运动学基础 一、标量场的空间变化一、标量场的空间变化 1、位置矢量位置矢量：空间上的任一点空间上的任一点M(x，y，z)的位置则可用的位置则可用 一个位置矢量表示：一个位置矢量表示： 空间上位置的变化可用空间上位置的变化可用位置矢量位置矢量 的改变量（位移矢量）的改变量（位移矢量）表示：表示： 2 kzj yi xr k

3、zjyixr 2、标量场的梯度、标量场的梯度 任一标量场任一标量场(以气压场以气压场p为例为例)可表为空间点和时间的可表为空间点和时间的 函数：函数： 考虑某一指定时刻考虑某一指定时刻(t=t0 )气压气压p在某一点的邻域的空间在某一点的邻域的空间 变化，则变化，则p可视为只是空间变量的函数，其空间微分可可视为只是空间变量的函数，其空间微分可 表为：表为： 定义：定义： 为气压梯度。为气压梯度。 梯度算子（符）：梯度算子（符）： 3 ),(),(trptzyxpp z z p y y p x x p p k z p j y p i x p p z k y j x i 气压气压p沿沿 （或（或

4、）方向）方向 的方向导数可表为：的方向导数可表为： 此式清楚地表明了气压空间此式清楚地表明了气压空间 变化与气压梯度的关系：变化与气压梯度的关系： 当当 0时，时，即即p的方向导数取得的方向导数取得 最大正值；当最大正值；当 /2时，时， 4 rpp npp r r l cos)(rplnrpp l cos)( lim 0 plnp r p l p r 0lp 三、三、 场变量的时间变化场变量的时间变化 1、局地时间变化率、局地时间变化率 当考察在空间某个固定点（位置矢为当考察在空间某个固定点（位置矢为 ）上一个场变）上一个场变 量随时间量随时间t的变化时，所测得的变化时，所测得(或观测到或观

5、测到)的变化称为该场变的变化称为该场变 量在该地点上的局地（时间）变化。量在该地点上的局地（时间）变化。 场变量场变量F（ ，t）在点）在点 上的局地变化率上的局地变化率(单位时间内的单位时间内的 变化量变化量)可定量地表为：可定量地表为： 2、个别时间变化率、个别时间变化率 个别变化率是指跟随某个个别变化率是指跟随某个“动点动点”（如移动的飞机、车、（如移动的飞机、车、 5 r r r t trFttrF t F t ),(),( 00 0 lim 船、空气质点或天气系统中的特性点等）在运动过程中所船、空气质点或天气系统中的特性点等）在运动过程中所 历经（或测得）某物理量历经（或测得）某物理

6、量F 随时间的变化率。随时间的变化率。 其数学表达式可写为：其数学表达式可写为： 与局地变化率不同，它是物理量在不同地点、不同时刻的与局地变化率不同，它是物理量在不同地点、不同时刻的 变化率。变化率。 3、平流变化率、平流变化率 改写个别变化率的表达式：改写个别变化率的表达式： 6 t trFttrrF dt dF t ),(),( 0000 0 lim t trrFttrrF dt dF t ),(),( 0000 0 lim t trFtrrF t ),(),( 0000 0 lim 局地时间变化率局地时间变化率 右边第二项的分子可表为：右边第二项的分子可表为： 取取 (同时有同时有 )的

7、极限：的极限： 平流变化率平流变化率 其中：其中： 为动点的为动点的位置矢的时间变化率，位置矢的时间变化率， 也称为平流速度。也称为平流速度。F的个别变化率等于其局地变化率与平流的个别变化率等于其局地变化率与平流 变化率之和。变化率之和。当动点就是空气质点时，气象上通常用当动点就是空气质点时，气象上通常用 表表 示空气运动的速度：示空气运动的速度： 7 FrtrFtrrFF ),(),( 0000 0t0r F dt rd t F dt dF t r dt rd t lim 0 V 其中：其中： 这样有：这样有： 上式可以看成是上式可以看成是“个别微分算子个别微分算子”： 作用于场变量作用于场

8、变量F F 的结果。若令的结果。若令F=TF=T, , T T为气温为气温, , 则由上式有则由上式有： 这是局地温度的预报方程。左边代表局地的温度变化率，右边这是局地温度的预报方程。左边代表局地的温度变化率，右边 的项可视为影响局地温度变化的强迫因子。的项可视为影响局地温度变化的强迫因子。 8 kwj viu dt rd V dt dx u dt dy v dt dz w FV t F dt dF z F w y F v x F u t F V tdt d TV dt dT t T 上式右边第二项（上式右边第二项（ ）称为温度平流。）称为温度平流。 当当 0 时时, 称为暖平流称为暖平流 ，

9、可造成升温：，可造成升温： TV TV TV 0tT 0tT T- T+ T- T+ V V T T 冷平流冷平流 暖平流暖平流 例题例题20 三、速度场的散度和涡度三、速度场的散度和涡度 1、速度散度和连续方程、速度散度和连续方程 1 1）速度散度）速度散度 考虑表面积为考虑表面积为S、体积为、体积为的空气块的空气块 （如图），由于其表面上各点的速（如图），由于其表面上各点的速 度分布不均匀而引起的体积变化率度分布不均匀而引起的体积变化率 S n dsV dt d 高斯公式高斯公式 dV dt d z w y v x u V 其中：其中： 速度散度速度散度 考虑气块体积趋于零有考虑气块体积趋

10、于零有： 速度散度的物理意义速度散度的物理意义：空气微团体积的相对变化率。空气微团体积的相对变化率。 当垂直速度为零时，当垂直速度为零时， 空气运动为水平运动，空气微团的空气运动为水平运动，空气微团的 体积变化率退化为水平面积体积变化率退化为水平面积(A)的变化率：的变化率： V dt d 1 y v x u V hh dt dA A Vh h 1 y j x i h 辐散辐散 辐合辐合 2）连续方程）连续方程 3）气压倾向方程（）气压倾向方程（P10） 0 1 V dt d 0)( V t 2、速度场的涡度、速度场的涡度 1）涡度：是用来描述空气微团的旋转特性：涡度：是用来描述空气微团的旋转

11、特性： kjiV z v y w x w z u y u x v x分量分量 y分量分量 z分量分量 对于大尺度运动，垂直方向的涡度分量是主要的，天气学对于大尺度运动，垂直方向的涡度分量是主要的，天气学 上常常主要考虑垂直涡度分量上常常主要考虑垂直涡度分量z，并且约定：并且约定： 在北半球：在北半球：0，称之为气旋式涡度，称之为气旋式涡度， 0(0(C 0) )时，气象上称之为气旋式（反气时，气象上称之为气旋式（反气 旋式）环流旋式）环流。 3）速度环流与涡度的关系）速度环流与涡度的关系 计算沿围线计算沿围线ABCD的速度环流：的速度环流： AB:x y y u uC AB ) 2 ( BC:

12、y x x v vC BC ) 2 ( CD:DA:)( 2 (x y y u uCCD )( 2 (y x x v vCDA 沿围线沿围线ABCD的总速度环流则为的总速度环流则为: 由此有由此有 : 为矩形中心点处的铅直涡度分量，为矩形为矩形中心点处的铅直涡度分量，为矩形 ABCD的面积。当矩形面积趋于零，取极限则有的面积。当矩形面积趋于零，取极限则有 yx y u x v CCCCC DACDBCAB )( C ABCD h rdV lim 0 可见，铅直涡度分量可见，铅直涡度分量可解释为水平围线上的速度环流在可解释为水平围线上的速度环流在 面积趋于零时的极限，或者说是单位面积上的速度环流

13、。面积趋于零时的极限，或者说是单位面积上的速度环流。 1.2 旋转坐标系中的大气运动方程旋转坐标系中的大气运动方程 1惯性坐标系与非惯性坐标系惯性坐标系与非惯性坐标系 牛顿第二定律只适用于某种特定的坐标系（或参照系牛顿第二定律只适用于某种特定的坐标系（或参照系 ）。按牛顿第二定律是否成立，可将坐标系分成：）。按牛顿第二定律是否成立，可将坐标系分成： 绝对绝对 （静止）坐标系（静止）坐标系：能使牛顿第二定律成立的坐标系：能使牛顿第二定律成立的坐标系 。在这种坐标系中，牛顿惯性定律亦成立，故又称之为。在这种坐标系中，牛顿惯性定律亦成立，故又称之为惯惯 性坐标系性坐标系。 相对于惯性坐标系作匀速直线

14、运动的坐标系相对于惯性坐标系作匀速直线运动的坐标系 仍是惯性坐标系。仍是惯性坐标系。 相对坐标系相对坐标系：相对于惯性坐标系作加速运动的坐标系，也：相对于惯性坐标系作加速运动的坐标系，也 称称非惯性坐标系非惯性坐标系。 在气象学上：在气象学上： 1）通常将相对于恒星静止、不随地球自转的坐标系称为绝）通常将相对于恒星静止、不随地球自转的坐标系称为绝 对坐标系（惯性坐标系或对坐标系（惯性坐标系或“静止静止”坐标系），在绝对坐标坐标系），在绝对坐标 系中观测到的大气运动称为系中观测到的大气运动称为绝对运动绝对运动；并且，通常略去地；并且，通常略去地 球绕太阳公转引起的加速度球绕太阳公转引起的加速度(

15、610-3m/s2)； 2）将固定于地球上、跟随地球自转一起转动的坐标系称为）将固定于地球上、跟随地球自转一起转动的坐标系称为 相对坐标系（旋转坐标系），它是一种非惯性坐标系相对坐标系（旋转坐标系），它是一种非惯性坐标系, 在在 此坐标系中观测到的大气运动称为此坐标系中观测到的大气运动称为相对运动相对运动。 2 惯性坐标系中的运动方程惯性坐标系中的运动方程 在惯性坐标系中，按牛顿第二运动定律，单位质量空气在惯性坐标系中，按牛顿第二运动定律，单位质量空气 徽团的运动方程可表徽团的运动方程可表 Ngp dt Vd a aa 1 上式是在绝对坐标系中，单位质量空气微团所遵从的运上式是在绝对坐标系中，

16、单位质量空气微团所遵从的运 动方程，有时称为动方程，有时称为绝对运动方程绝对运动方程。但是，由于在地球坐标。但是，由于在地球坐标 系中（例如地球上的测站）无法直接观测到系中（例如地球上的测站）无法直接观测到绝对速度绝对速度和和绝绝 对加速度对加速度，只能观测到，只能观测到相对速度和相对加速度相对速度和相对加速度。因此，上。因此，上 式并不能直接用于研究地球大气运动。式并不能直接用于研究地球大气运动。 找出绝对速度与相对速度以及绝对加速度与相对找出绝对速度与相对速度以及绝对加速度与相对 加速度的关系？加速度的关系？ 3 两种坐标系中的速度和加速度的关系两种坐标系中的速度和加速度的关系 tVppr

17、 aa 绝对位移绝对位移 tVppr 相对位移相对位移 若将由于地球自转引起若将由于地球自转引起p点的移动速度（称为牵连速度）点的移动速度（称为牵连速度） 记为记为 ，则，则p点的牵连位移为点的牵连位移为 空气微团的绝对位移等于其相对位移与牵连位移之向量和空气微团的绝对位移等于其相对位移与牵连位移之向量和 若用若用 除上式两端，并取除上式两端，并取 趋于零的极限，则有趋于零的极限，则有 即即 e V tVppr ee rrr ea tt dt rd dt rd dt rd ea ea VVV 绝对速度与相绝对速度与相 对速度的关系对速度的关系 位于纬度位于纬度 处的空气处的空气 质点的牵连速度

18、就是质点的牵连速度就是 该质点随地球自转时该质点随地球自转时 在纬圈平面上以角速在纬圈平面上以角速 度度 作匀速圆周运动作匀速圆周运动 的线速度的线速度 ： （推导）（推导） 于是有：于是有： 和和 从个别变化率的定义出发，可直接证明，对于任一标量从个别变化率的定义出发，可直接证明，对于任一标量 F,绝对坐标系中的个别变化率等于相对坐标系中的个别变绝对坐标系中的个别变化率等于相对坐标系中的个别变 化率：化率： 空气质点的牵连速度空气质点的牵连速度 rRVe r dt rd dt rda rVVa dt dF dt Fd a 作业：习题作业：习题21， 29 证明：对任意矢量证明：对任意矢量 ，

19、 成立。成立。A A dt Ad dt Ada 令：令： 有：有： （推导）（推导） 即表述即表述绝对加速度绝对加速度与与相对加速度相对加速度关系的定量关系式。关系的定量关系式。绝对绝对 加速度加速度等于等于相对加速度相对加速度加上两个由于坐标系旋转而引起的加上两个由于坐标系旋转而引起的 附加加速度：附加加速度： 1）科里奥利（科里奥利（Coriolis）加速度：）加速度： 2）向心加速度：）向心加速度： 通过已经确定了旋转坐标系中的通过已经确定了旋转坐标系中的相对速度与绝对速度相对速度与绝对速度以以 及及相对加速度与绝对加速度相对加速度与绝对加速度的定量关系，的定量关系， 那么我们就完那么我

20、们就完 全可以通过地球上探测到的风速（相对速度）来定量地表全可以通过地球上探测到的风速（相对速度）来定量地表 述绝对速度和绝对加速度。因而，我们可以进一步导出便述绝对速度和绝对加速度。因而，我们可以进一步导出便 于直接用于研究地球大气运动规律的运动方程于直接用于研究地球大气运动规律的运动方程旋坐旋坐 标系中的运动方程（相对运动方程）。标系中的运动方程（相对运动方程）。 a VA RV dt Vd dt Vd aa 2 2 V 2 R 2 4 、相对运动方程相对运动方程 NgpRV dt Vd a 1 2 2 NRgVp dt Vd a 2 2 1 在等号的不同边，在等号的不同边， 或称或称“惯

21、性力惯性力”， 或称或称 “加速度加速度” 5、作用于空气微团上的作用力、作用于空气微团上的作用力 1）气压梯度力）气压梯度力 考虑右图空气考虑右图空气 块所受压力：块所受压力： 于是，对单位质量的空气小体而言，在于是，对单位质量的空气小体而言，在x方向上所受压力的方向上所受压力的 合力为合力为 ：ixp )(1 ( Y方向的合力：方向的合力： Z方向的合力：方向的合力： 综合起来，单位质量空气小体所受总的压力合力即气压梯综合起来，单位质量空气小体所受总的压力合力即气压梯 度力为度力为 气压梯度力的性质：气压梯度力的性质： 1 1）气压梯度力的方向与气压梯度的方向相反，即与等压）气压梯度力的方

22、向与气压梯度的方向相反，即与等压 面（线）垂直、指向气压降低的方向；面（线）垂直、指向气压降低的方向； 2 2）气压梯度力的大小与气压梯度的大小成正比，与空气）气压梯度力的大小与气压梯度的大小成正比，与空气 密度成反比密度成反比。 jyp )(1 ( kzp )(1 ( ),( 11 k z p j y p i x p p 2) 科里奥利（科里奥利（Coriolis）力）力: 它的存在条件：它的存在条件：0 （旋转）；（旋转）； 0，即有相对于地球，即有相对于地球 的运动。的运动。 科氏力（地转偏向力）的性质：科氏力（地转偏向力）的性质： i) 即科氏力一定在纬圈平面上；即科氏力一定在纬圈平面

23、上； ii) 科氏力只会改变运动的方向，不改变科氏力只会改变运动的方向，不改变 其大小，即对空气微团不做功。其大小，即对空气微团不做功。 iii) 对于北半球的水平运动，科氏力总是指向运动前进对于北半球的水平运动，科氏力总是指向运动前进 方向的右方（观测者面向运动前进方向），南半球的情形方向的右方（观测者面向运动前进方向），南半球的情形 则相反，指向运动前进方向的左方。则相反，指向运动前进方向的左方。 VC 2 V C VC 例如，例如，在北半球，向南（北）流的水流会受到指向西（东）在北半球，向南（北）流的水流会受到指向西（东） 的科氏力的作用，引起水流向南（北）流的河床的西（东的科氏力的作用

24、，引起水流向南（北）流的河床的西（东 ）岸受到更为严重的冲刷）岸受到更为严重的冲刷。又如，。又如，在北半球运行的远程火在北半球运行的远程火 箭，当它铅直上升（下降）时，其轨道要向西（东）偏移箭，当它铅直上升（下降）时，其轨道要向西（东）偏移 ；当它在水平面方向向东（西）飞行时，其轨道要向南并；当它在水平面方向向东（西）飞行时，其轨道要向南并 向上（向北并向下）偏移。向上（向北并向下）偏移。 3 3 重力重力 ：地心引力与惯性离心力的合力地心引力与惯性离心力的合力 单位质量空气微团所受地心引力可表为单位质量空气微团所受地心引力可表为 Rgg a 2 )( 2 r r r GM ga zar 地心

25、引力是指向地心的有势力，设地心引力是指向地心的有势力，设 为地心引力势，则为地心引力势，则 地心引力可表为：地心引力可表为： 势力的性质势力的性质：沿闭合路线积分为零，无旋。（证明）：沿闭合路线积分为零，无旋。（证明） 若假定极地海平面（若假定极地海平面（ ）上的地心引力势为零）上的地心引力势为零 （ ），则可以求得地心引力势为：），则可以求得地心引力势为： 物理图像：物理图像：地心引力的等势面为以地心为球心的同心球地心引力的等势面为以地心为球心的同心球 面族面族。 a aa g p rr 0 a ) 11 ( rr GM p a 惯性离心力惯性离心力： 垂直于地轴、从地轴指向外，也垂直于地轴

26、、从地轴指向外，也 是一种有势力。设其势函数为是一种有势力。设其势函数为 ，则可将惯性离心力表为，则可将惯性离心力表为 ： （证明）（证明） 若假设地轴上（若假设地轴上（ ）的惯性离心力势为零（）的惯性离心力势为零（ ） ，则可求得，则可求得 物理图像：物理图像：惯性离心力的等势面为以地轴为轴的同轴圆柱惯性离心力的等势面为以地轴为轴的同轴圆柱 面族。面族。 这样，重力加速度可表为这样，重力加速度可表为 ： 重力位势重力位势 ： e R 2 R 2 e 0R0 e 22 2 1 R e g 22 2 1 ) 11 (R rr GM p ea 由地心引力和惯性离心力的性质可知，由地心引力和惯性离心

27、力的性质可知，重力的大小重力的大小随随 所处的所处的纬度纬度和和高度高度不同而不同。不同而不同。在同一海拔高度上，重力在同一海拔高度上，重力 加速度随纬度增大而增大，赤道上最小，极地最大；在同加速度随纬度增大而增大，赤道上最小，极地最大；在同 一纬度，重力加速度随海拔高度增大而减小一纬度，重力加速度随海拔高度增大而减小。计算重力的。计算重力的 近似公式（近似公式（1930年国际重力公式）可表为：年国际重力公式）可表为： 这里这里 为纬度，为纬度，z为海拔高度（以米为单位）。为海拔高度（以米为单位）。 由于重力加速度随纬度和高度的变化很小，它与地心由于重力加速度随纬度和高度的变化很小，它与地心

28、引力的引力的 夹角也很小，故气象上一般将重力加速度视为常夹角也很小，故气象上一般将重力加速度视为常 数，取数，取g9.81 米米/秒秒2；并近似地视地球为半径；并近似地视地球为半径a6371公公 里里的球形，视等重力位势面为同心球面族。的球形，视等重力位势面为同心球面族。 )0003086. 02sin000006. 0sin005288. 01 (049.978 22 zg 单位？单位？ 重力位势则可近似估算为（假定重力位势则可近似估算为（假定 ）：）： （推导）（推导） 4 分子粘性力（内摩擦力）分子粘性力（内摩擦力） 其中，其中， 为运动学粘性系数，为运动学粘性系数， 为动力粘性系数。为

29、动力粘性系数。 大气是一种低粘流体，除了贴近地面几厘米厚度的薄大气是一种低粘流体，除了贴近地面几厘米厚度的薄 层，因为空气运动速度垂直梯度很大，必须考虑分子粘性层，因为空气运动速度垂直梯度很大，必须考虑分子粘性 作用的影响外，一般都可忽略分子粘性力的作用。作用的影响外，一般都可忽略分子粘性力的作用。 0| 0 z gzgdz z 0 VVN 2 )( 3 最后，矢量形式的相对运动方程可改写为最后，矢量形式的相对运动方程可改写为 NgVp dt Vd 2 1 1.3 运动方程的分量形式运动方程的分量形式 1 球坐标系：球坐标系： 原点原点O却在地心却在地心 经度；经度； 纬度纬度 r 距球心距离

30、距球心距离 为沿纬圈指向东为沿纬圈指向东 沿经圈指向北沿经圈指向北 沿径向指向天顶的沿径向指向天顶的 单位向量。单位向量。 i j k 沿各方向的坐标线元分别为：沿各方向的坐标线元分别为： 在球坐标中，若将空气微团的运动速度矢表为在球坐标中，若将空气微团的运动速度矢表为 则有：则有： cosrx ry ， rz kwj vi uV dt d r dt dx u cos dt d r dt dy v dt dr dt dz w 2 球坐标系的个别微分算子球坐标系的个别微分算子 对任意一个场变量对任意一个场变量 ，有：，有： 两边除以两边除以dt，取极限，并利用球坐标各速度分量的表达式，取极限，并

31、利用球坐标各速度分量的表达式 有：有： 所以：球坐标个别微分算子：所以：球坐标个别微分算子： ),(trA dt dr r A dt dA dt dA t A dt dA dr r A d A d A dt t A dA r A w A r vA r u t A cos r w r v r u tdt d cos 梯度算子：梯度算子： 要求得运动方程在球坐标系中的分量方程，就得先将运要求得运动方程在球坐标系中的分量方程，就得先将运 动方程中向量形式的各项分别分解到球坐标系的各个方向动方程中向量形式的各项分别分解到球坐标系的各个方向 上，即求出各项的分量式。上，即求出各项的分量式。 3 球坐标系

32、加速度的分量形式球坐标系加速度的分量形式 (1) 相对加速度可写为：相对加速度可写为： 问题归结为求单位向量问题归结为求单位向量 、 和和 的个别变化率的分量的个别变化率的分量 表达式。表达式。 r k r j r i 1 cos 1 dt kd w dt j d v dt id uk dt dw j dt dv i dt du dt Vd i j k 由于由于 所以：所以： 考虑单位矢量考虑单位矢量 随经度随经度的变化：的变化： dti d r i w i r vi r u t i dt id cos 0 r ii t i i r u dt id cos i 大小：大小： 于是：于是： 的方

33、向（即的方向（即 的方向）与的方向）与 方向相反，指向地轴。方向相反，指向地轴。 1i 1lim 0 i i t i i R 于是，有于是，有 （还有简便的推导还有简便的推导） )cossin(kjRR cossin)(kjRRi )cossin( cos kj r u dt id dtj d r v ktg r u i dt jd dtkd j r v i r u dt kd 其中，包含因子其中，包含因子 1/r 的项是由于地球的球面性引起的曲率项的项是由于地球的球面性引起的曲率项 ，称为，称为“曲率加速度曲率加速度”。 4 各作用力在球坐标系中的分量各作用力在球坐标系中的分量 (1) 气压

34、梯度力的分量形式气压梯度力的分量形式 利用球坐标系中的梯度算子，可得气压梯度力在球坐标利用球坐标系中的梯度算子，可得气压梯度力在球坐标 系中分解式为系中分解式为: : (2)(2)科氏力科氏力 其中，其中， 地转角速度可表为：地转角速度可表为： k r vu dt dw j r vw tg r u dt dv i r uw tg r uv dt du dt Vd )()()( 222 ) 1 cos 1 ( 11 r p k p r j p r ip VC 2 kji r 各分量可分别表为：各分量可分别表为： 于是，在球坐标系中，科氏力可表为于是，在球坐标系中，科氏力可表为 其中其中 称为科氏

35、参数。称为科氏参数。 , 0 ,cos sin r ku fjfuiwffv wvu kji V ) (sincos022 sin2fcos2 f （3）重力和分子粘性力）重力和分子粘性力 重力只在垂直方向有分量重力只在垂直方向有分量： 分子粘性力可形式上表为分子粘性力可形式上表为： 5 球坐标系的运动方程的分量形式球坐标系的运动方程的分量形式 kgg kNjNiNN r N r uw tg r uv wffv p rdt du cos 11 N r vw tg r u fu p rdt dv 2 11 r N r vu uf r p dt dw 22 1 ， 等式右边的含因子等式右边的含因子

36、1/r的项源于球坐标系中的的项源于球坐标系中的“曲率加速曲率加速 度度”，可称为，可称为“曲率惯性力曲率惯性力”，可以证明该力与速度垂直可以证明该力与速度垂直 ，即其对空气微团不做功，即其对空气微团不做功。由于。由于90%以上的大气都集中在以上的大气都集中在 离地面离地面20公里以下的薄层内，有时采用郭晓岚称谓的公里以下的薄层内，有时采用郭晓岚称谓的“薄薄 层近似层近似”，即在上述方程中，当，即在上述方程中，当r 作为系数出现时，近似作为系数出现时，近似 地取地取 于是薄层近似下的运动方程可表为于是薄层近似下的运动方程可表为: azar N a uw tg a uv wffv p adt du

37、 cos 11 N a vw tg a u fu p adt dv 2 11 r N a vu uf r p dt dw 22 1 6 球坐标系的速度散度和涡度球坐标系的速度散度和涡度 球坐标系中的单位向量的基本微分公式可表为：球坐标系中的单位向量的基本微分公式可表为： 及及 cossinkj i 0 i 0 r i sini j k j 0 r j cosi k j k 0 r k 0) 1 cos 1 ( i r k r j r ii r tg j r k 2 k r tg j r i 1 i r j 1 0k 利用上述微分关系，可得到球坐标系中速度场的散度：利用上述微分关系，可得到球坐标

38、系中速度场的散度： 类似地，速度场的涡度可表为类似地，速度场的涡度可表为 球坐标系中的拉普拉斯算子可表为球坐标系中的拉普拉斯算子可表为 )(kwj vi uV kwjviukwjviu )()()( r wr r v r u r 2 2 1cos cos 1 cos 1 )()(cos cos 1 )(cos 1 1 2 2 2 22 2 r r rr ) cos 1 ( 1 )( 1 w r ur r j r rvw r iV ) cos ( cos 1 uv r k 6 球坐标系得连续方程球坐标系得连续方程 将球坐标系中的散度表达式代入上连续方程，可将球坐将球坐标系中的散度表达式代入上连续

39、方程，可将球坐 标系中的质量连续方程写为：标系中的质量连续方程写为： 或：或： 另一种推导方法：另一种推导方法： 小体积得空气质量增加小体积得空气质量增加净的质量流入净的质量流入 0 1 V dt d 0) 1cos cos 1 cos 1 ( 2 2 r wr r v r u rdt d 0) 21 cos 1 ( r w tg r v r wv r u rdt d 1.4 局地直角坐标系中的运动方程与连续方程局地直角坐标系中的运动方程与连续方程 1 局地直角坐标系局地直角坐标系 局地直角坐标系的坐标局地直角坐标系的坐标原点原点 位于海平面上指定地点，位于海平面上指定地点，x x轴轴 沿纬线

40、指向东，沿纬线指向东，y y轴沿经线指轴沿经线指 向北，向北，z z轴指向天顶轴指向天顶。 三个坐标轴向的单位向量分三个坐标轴向的单位向量分 别为和，它们与球坐标系中沿别为和，它们与球坐标系中沿 和方向的单位矢的指向完全相和方向的单位矢的指向完全相 同，所不同的是，现在，在坐标原点附近的同，所不同的是，现在，在坐标原点附近的“局部地区局部地区”（ 研究问题的区域），单位矢量将视为研究问题的区域），单位矢量将视为不随地点的改变而改不随地点的改变而改 变的单位矢量变的单位矢量。（当范围不大时，即局地看成一个平面，。（当范围不大时，即局地看成一个平面， 而不是球面）而不是球面） 2 局地直角坐标系中

41、的运动方程与连续方程局地直角坐标系中的运动方程与连续方程 在球坐标系的基础上，假定：在球坐标系的基础上，假定： 1）略去球面性所产生的曲率项。）略去球面性所产生的曲率项。 2）形式上，令）形式上，令 空气运动的速度分量可表为：空气运动的速度分量可表为： cosax ay rz dt dx u dt dy v dt dz w ， 局地直角坐标系中的运动方程可表为：局地直角坐标系中的运动方程可表为： 局地直角坐标系中的连续方程为局地直角坐标系中的连续方程为 ： 或或 x Nwffv x p dt du 1 y Nfu y p dt dv 1 z Nguf z p dt dw 1 0)( z w y

42、 v x u dt d 0 z w y v x u t -平面近似平面近似 采用局地直角坐标系，忽略地球的球面性，可以使方程采用局地直角坐标系，忽略地球的球面性，可以使方程 形式变得简单，但是，以后将会看到，如果完全略去地球形式变得简单，但是，以后将会看到，如果完全略去地球 的球面性，取科氏参数为常数（即所谓的的球面性，取科氏参数为常数（即所谓的f-f-平面近似平面近似），）， 除了精度降低外，还会带来一个严重的动力学缺陷，即消除了精度降低外，还会带来一个严重的动力学缺陷，即消 除了气象学中非常重要的一种波动除了气象学中非常重要的一种波动罗斯贝（罗斯贝（ Rossby）波的生存条件。为了弥补这

43、种缺陷，可采用所）波的生存条件。为了弥补这种缺陷，可采用所 谓的谓的- -平面近似平面近似，部分地保留地球球面性的影响。，部分地保留地球球面性的影响。 设局地直角坐标系原点所在纬度为 设局地直角坐标系原点所在纬度为 ，科氏参数，科氏参数 f 可可 在的邻域展为如下泰勒级数：在的邻域展为如下泰勒级数： 其中，其中， 0 2 0 2 2 00 )()( !2 1 )()( 00 f ff 00 sin2f a f a 0 cos2 )( 1 0 若只保留泰勒级数右边第一项，略去其它项，则得如下最低若只保留泰勒级数右边第一项，略去其它项，则得如下最低 阶近似：阶近似： 常数常数 此近似称为此近似称为

44、“-平面近似平面近似”。 当取泰勒级数右边第一和第二项，略去其它项时，有：当取泰勒级数右边第一和第二项，略去其它项时，有： 其中，其中， 。以上近似即所谓的。以上近似即所谓的“-平面近似平面近似”。 0 ff yff 0 )( 0 ay 球坐标系和局地直角坐标系的比较球坐标系和局地直角坐标系的比较 1.5 大气运动的闭合方程组与初、边条件大气运动的闭合方程组与初、边条件 1 闭合方程组闭合方程组 闭合方程组闭合方程组：独立方程的个数与未知函数的个数相同的方程：独立方程的个数与未知函数的个数相同的方程 组。组。 描述大气运动的基本方程有：描述大气运动的基本方程有：运动方程（含三个分量方程）运动方程（含三个分量方程） 、连续方程、热力学方程、状态方程和水份守恒方程等共、连续方程、热力学方程、状态方程和水份守恒方程等共 七个方程七个方程 ： NgVp dt Vd 2 1 0 V t t Q dt dp p RT dt dT C p RTp w S