结构力学——静定结构位移计算

1、学习内容学习内容 实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的 互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作 用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法。 学习目的和要求学习目的和要求 目的：目的：静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构 所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位 移计算公式就是在此原理上得到的，对于进

2、一步学习也起移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起 到重要作用。到重要作用。 要求：要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移。熟练掌握图乘法求位移。 第四章第四章虚位移原理与静定结构的位移计算虚位移原理与静定结构的位移计算 第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 1、结构的位移、结构的位移 杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。杆系结构在外界因素作用下会产生变形和位移。 变形变形是指结构原有

3、形状和尺寸的改变；是指结构原有形状和尺寸的改变； 位移位移是指结构上各点位置产生的变化是指结构上各点位置产生的变化 线位移（位置移动）线位移（位置移动） 角位移（截面转动）。角位移（截面转动）。 思考：变形与位移的差别？思考：变形与位移的差别？ 第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 形状的改变称变形；位置的改变称位移形状的改变称变形；位置的改变称位移 Ay Ax A A AB Ax Bx AB= Ax+ Bx A AB 无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还 是相对位移统称是相对位移统称广义位移广义位移 绝对位移绝对位移相对位移相对位移 FP 第一节第一

4、节 位移计算概述位移计算概述 2、结构位移计算的目的、结构位移计算的目的 (1) (1) 结构刚度验算的要求。结构刚度验算的要求。 吊车梁允许的挠度吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度； 高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位高度。最大层间位 移移 1/800层高层高 (3) (3) 为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础. . (2) (2) 施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要 预先知道结构的变形情况，以便采取施工措施预先知道结构的变形情况，以便采

5、取施工措施; ; 第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 如屋架在竖向荷如屋架在竖向荷 载作用下，下弦载作用下，下弦 各结点产生虚线各结点产生虚线 所示位移。所示位移。 将各下弦杆做得将各下弦杆做得 比实际长度短些，比实际长度短些， 拼装后下弦向上拼装后下弦向上 起拱。起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。 建筑起拱 第一节第一节 位移计算概述位移计算概述 3、产生位移的主要原因、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响各种因素对静定结构的影响 内力内力变形变形位移位移 荷载荷载 温度改变或温度改变或 材料胀缩材料胀缩 支座

6、移动或支座移动或 制造误差制造误差 产生位移的主要原因主要三种：荷载作用、温度改变和材料胀缩、产生位移的主要原因主要三种：荷载作用、温度改变和材料胀缩、 支座移动和制造误差。支座移动和制造误差。 4 4 体系特征假定体系特征假定 (3) (3) 理想联结理想联结 (1) (1) 线弹性线弹性 (2) (2) 小变形小变形 可以利用虚功概念计算结构的位移 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 1、功的概念、功的概念 功功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作 用点的运动路程上对物体作用的效果。用点的运动路程上对物体作用的效果。 功功 = =

7、力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移 FW P 理解为广义力理解为广义力 P F 广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。广义力与广义位移的乘积具有功的量纲。 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 力在自身所产生的位移上所作的功。力在自身所产生的位移上所作的功。 (1) 常力作功常力作功 S FP cosSFW P (2) 变力作功变力作功 FP yFyFFWdddd PPP )( PP 2 1 dFWW y （力与位移有因果关系）（力与位移有因果关系） yd O 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 虚功虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。：力在非自身所产生的位移

8、上所作的功。 （力与位移相互独立）（力与位移相互独立） 121P12 FW FP1 11 12 FP2 22 （此过程力保持为常量）（此过程力保持为常量） 虚功具体有两种情况：虚功具体有两种情况： 1 作功双方其一是虚设的；作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。作功双方均是实际存在的，但彼此无关。 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 注意： 定义定义“功功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功时对产生位移的原因没有给予限制，作功 的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则 称称实功实功；若力在由其他原因引起的位

9、移上作功，则称；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称 虚功虚功； 为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念：为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念： 凡与力相关的因子均称凡与力相关的因子均称广义力广义力（如集中力、分布（如集中力、分布 力，力偶等）力，力偶等） 凡与位移相关的因子均称凡与位移相关的因子均称广义位移广义位移（如线位移、（如线位移、 角位移等）角位移等） ：结构产生的各种位移，包括截面的线位移、结构产生的各种位移，包括截面的线位移、 角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等 等都可泛称为广义位移。等都可泛称为广义位移。 广

10、义位移广义位移 ：与广义位移对应的就是广义力，可以是与广义位移对应的就是广义力，可以是 一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反 的力或力偶，也可以是一组力系的力或力偶，也可以是一组力系。 注意：广义位移与广义力的对应关系，注意：广义位移与广义力的对应关系， 能够在某一组广义位移上做功的力系，才能够在某一组广义位移上做功的力系，才 称为与这组广义位移对应的广义力。称为与这组广义位移对应的广义力。 广义力广义力 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力；作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力； 未必发生但能

11、满足物体连续变化和约束条件的微小变未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变 形称形称虚变形虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。虚变形是合理的，但不一定是真实的。 虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却 是确定的，真实变形是虚变形中的一个。是确定的，真实变形是虚变形中的一个。 广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必 须具有功的量纲。须具有功的量纲。 回顾 （1）质点系的虚功原理 具有理想约束的质点系，在某一位具有理想约束的质点系，在某一位 置处于平衡的必要和充分条件是：置处于平衡的

12、必要和充分条件是： 1P F 2N F 1N F 2P F 1 m 2 m fi ri=0 对于任何对于任何可能可能的虚位移，作用于质的虚位移，作用于质 点系的主动力所做虚功之和为点系的主动力所做虚功之和为零零。也。也 即即 （2）刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何对于任何可能可能的虚位移，的虚位移， 作用于刚体系的所有外力所做作用于刚体系的所有外力所做 虚功之和为零。虚功之和为零。 FP Ax F B F Ay F P B -

13、FPP+FBB=0 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 2 2 虚功原理虚功原理 （1 1）刚体系的虚功原理）刚体系的虚功原理 刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的 虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。 （2 2）变形体的虚功原理）变形体的虚功原理 任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移 时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等恒等 于变形体各于变形体各微段

14、外力微段外力在在微段变形微段变形上作的虚功之和上作的虚功之和 Wi i。 也即恒有如下虚功方程成立：也即恒有如下虚功方程成立： We = Wi 变形体虚功原理的必要性证明变形体虚功原理的必要性证明: : FN M+dM M q d d 刚体位移变形 力状态力状态 （满足平衡条件）（满足平衡条件） 位移状态位移状态 （满足约束条件）（满足约束条件） FN dFN FSFS dFS 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 d 按外力虚功和内力虚功计算按外力虚功和内力虚功计算 微段虚功总和微段虚功总和 = = 微段外力虚功微段外力虚功 + + 微段内力虚功微段内力虚功 所以所以 由于变形连续及相

15、邻截面内力是作用力和反作用力的关系由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系 d Wz=d We+d Wi Wz= We+ Wi Wz= We Wi = 0 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 按刚体虚功和变形虚功计算按刚体虚功和变形虚功计算 微段虚功总和微段虚功总和 = = 微段刚体虚功微段刚体虚功 + + 微段变形虚功微段变形虚功 所以所以 基于平衡状态的刚体虚功原理基于平衡状态的刚体虚功原理 d Wz= d Wg+d Wi d WZ = d Wi d Wg = 0 Wz = Wi 故有故有 Wz= We Wi 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 对于直杆体系，由于

16、变形互不耦连，有对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: 虚功方程虚功方程 ddd SN FFM 内力总虚功内力总虚功 ddd SNi FFMW sqPW i i ji i i d qP e外力总虚功外力总虚功 sqP i i ji i i d qP ie WW 力状态的外力和内力都是不变的常力；力状态的外力和内力都是不变的常力； “虚虚”仅仅表明作功双方是相互独立的。当一仅仅表明作功双方是相互独立的。当一 方是真实的时候，另一方即可按要求假设。方是真实的时候，另一方即可按要求假设。 当体系没有变形时当体系没有变形时Wi= 0 ,即即 We= 0。说说 明刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例明刚体虚

17、功原理是变形体虚功原理的特例; ; 原理说明： 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 从变形类型看从变形类型看：即可以考虑弯曲变形，也可考虑拉伸和剪：即可以考虑弯曲变形，也可考虑拉伸和剪 切变形；切变形； 虚功原理的虚功原理的结论具有普遍性。表现在：结论具有普遍性。表现在： 从变形因素看从变形因素看：即可以考虑荷载作用引起的位移，也可考：即可以考虑荷载作用引起的位移，也可考 虑温度改变和支座移动引起的位移；虑温度改变和支座移动引起的位移； 从结构类型看从结构类型看：即可用于静定结构，又可用于超静定结构；：即可用于静定结构，又可用于超静定结构； 从材料性质看从材料性质看：即可用于线弹性结构

18、，又可用于非弹性结构。：即可用于线弹性结构，又可用于非弹性结构。 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 由于作功双方地位平等，所以可虚拟任何一方，由此原理由于作功双方地位平等，所以可虚拟任何一方，由此原理 可有两个方面的应用：可有两个方面的应用： 虚功方程同时应用了平衡条件和变形连续条件，虚功方程同时应用了平衡条件和变形连续条件， 因此方程是即可用来代替几何方程，又可代替平因此方程是即可用来代替几何方程，又可代替平 衡方程的综合方程。衡方程的综合方程。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 将将位移分析化为平衡问题来求解位移分析化为平衡

19、问题来求解。 虚力原理虚力原理 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 将将平衡问题化为几何问题来求解平衡问题化为几何问题来求解。 虚位移原理虚位移原理 第二节第二节 变形体虚功原理变形体虚功原理 第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 单位荷载法单位荷载法 (Dummy-UnitLoadMethod) 是是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874 1874提出，故也称为提出，故也称为Maxwell-Mohr Method。 用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态 （称力虚设

20、状态），要（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移使虚拟力的虚功正好等于所求位移， 故称为单位荷载法故称为单位荷载法。 1 1、一般位移计算公式、一般位移计算公式 协调的位移状态协调的位移状态 平衡的力平衡的力 状状 态态 AB k 1 P F By F Ay F Ax F c1c2 k k FP q(x) AB 考察同一结构的两个状态，欲求考察同一结构的两个状态，欲求 k 点位移点位移 k 实际状态 虚设状态 iNQ dddWMFF iik cFW Re 1 iik cFFFM RSN ddd 外力虚功外力虚功 内力虚功内力虚功 由虚功方程由虚功方程 ei WW 此式即为平面结构位

21、移计算一般公式。此式即为平面结构位移计算一般公式。 若结果为正，表明的实际位移方向与虚设力的方向相同。若若结果为正，表明的实际位移方向与虚设力的方向相同。若 结果为负，表明的实际位移方向与虚设力的方向相反结果为负，表明的实际位移方向与虚设力的方向相反 (1)(1)在拟求位移点沿位移方向虚设相应单位荷载；在拟求位移点沿位移方向虚设相应单位荷载； (2)(2)在单位荷载作用下，由平衡条件求虚内力和虚在单位荷载作用下，由平衡条件求虚内力和虚 反力；反力； (3)(3)由位移计算公式求相应位移。由位移计算公式求相应位移。 第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 求求1点竖向点竖向 线位移线位移 求求1

22、点绝对点绝对 角位移角位移 求求1、2点的点的 相对线位移相对线位移 广义力与广义位移对应关系：广义力与广义位移对应关系： 1 11 2 1 P F 1 M 1 P F 1 P F 第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 求求1、2两截面的两截面的 相对角位移相对角位移 求求12杆件的杆件的 转角位移转角位移 广义力与广义位移对应关系：广义力与广义位移对应关系： 1 2aF/ 1 P 12a aF/ 1 P 1 M 1 M 第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 线弹性、小变形假设下，荷载作用引起的位移：线弹性、小变形假设下，荷载作用引起的位移： ddd SN FFMk 真实变形真实变形 虚拟

23、内力虚拟内力 2 2、荷载作用下的位移计算公式、荷载作用下的位移计算公式 第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 s GA FF ks EA FF s EI MM k ddd SPSNPNP P 例题例题：求结构求结构A A点竖向位移点竖向位移 AB C q x x AB C 1 2 2 1 qxM P 0 N P F qxF P S xM 0 N F 1 S F 2 2 1 qlM P AB段内力函数段内力函数 BC段内力函数段内力函数 lM x x 1 N FqlF P N 0 S P F0 S F 第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 ll AV EI x qll EI x qxx 0

24、 2 2 1 0 2 2 1 dd )()( ll GA x qxk EA x ql 00 d 1 d 1)()( )( 22 4 5 4 5 8 1 8 5 GAl EI k Al I EI ql 设杆件截面形状为矩形：设杆件截面形状为矩形：bhA 3 12 1 bhI 5 6 k 则：则： 10 1 l h 土木工程中杆件一般：土木工程中杆件一般： EG40. 150 1 750 1 1 8 5 4 EI ql AV 可见对以弯曲为主的细长杆可见对以弯曲为主的细长杆 结构的位移计算可忽略轴向结构的位移计算可忽略轴向 变形和剪切变形的影响变形和剪切变形的影响 第三节第三节 位移计算公式位移计

25、算公式 各类结构的位移计算公式各类结构的位移计算公式 1、梁和刚架：、梁和刚架： EI sMM i d P P 2、桁、桁 架：架： EA lFF EA sFF i NPNNPN P d 3、组合结构：、组合结构： s EA FF s EI MM k dd NPNP P 4、拱结构：、拱结构： 拱内弯矩较小时：拱内弯矩较小时： 拱内弯矩较大时：拱内弯矩较大时： s EI MM k d P P 荷载引起的位 移与杆件的绝 对刚度值有关 s EA FF s EI MM k dd NPNP P 第三节第三节 位移计算公式位移计算公式 例6-1图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截 面惯性矩I 均为常数，

26、试求B点的竖向位移BV， 水平位移BH,和位移B。 q a a A C B x E I=常 数 解解: ( (1) ) 作出荷载作用下作出荷载作用下 的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。 横梁横梁BC 2 P 2 1 )(qxxM)0(ax 竖柱竖柱CA 2 P 2 1 )(qaxMA C B ql 2 MP 0.5 )0(ax (2)求B 点的竖向位移BV A C a B M a 1 写出各杆单位力作用下的写出各杆单位力作用下的 弯矩方程弯矩方程式，式，画出弯矩图画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA xxM)( axM)( a o B x EI MM d P V EI x

27、qaa EI x qxx a o a o d 2 1d 2 1 22 )( 8 5 2 1 2 1 4 1 4 34 EI qa xax EI q a o )0(ax )0(ax (3)求求B点的水平位移点的水平位移BH 在在B点加单位水平力。画出点加单位水平力。画出 弯矩图并写出各杆的弯矩方程弯矩图并写出各杆的弯矩方程 B C M=a x x A a a-x 1 横梁BC 0)(xM 竖柱CA xxM)( a B x EI MM 0 P H d EI x qax a d 2 1 )( 0 2 )( 4 1 4 EI qa 注意：负号表示位移 的方向与假设的单位 力的方向相反。 )0(ax )

28、0(ax （4）求B点的线位移B 2 U 2 VBBB EI qa 4 8 29 在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方 便。下面寻求一种简单的计算位移的法。便。下面寻求一种简单的计算位移的法。 s EI MM i d P P 受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式： 利用图形的静矩原理将利用图形的静矩原理将图形积分图形积分变为变为图形相乘图形相乘 称莫尔积分 第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用 s EI MM d P sMM EI d 1 P xxM EI d tan P cc Ay EI xA EI 1tan

29、 xMM EI d 1 P 对于直杆对于直杆 xsdd tanxM 对直线弯矩图对直线弯矩图 EI Ay c iP 对于等刚度杆对于等刚度杆 constEI Ax EI d tan xc x yc x y C AB MP M 第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用 方法使用条件方法使用条件 注意事项 1 1、等刚直杆、等刚直杆 2 2、至少有一直线图、至少有一直线图 和和 yc为代数量，若它们在杆轴线同侧，则乘积为正；为代数量，若它们在杆轴线同侧，则乘积为正； 反之为负；反之为负； 拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的 方式求解；方式求解

30、； 应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。 这也是图乘法的亮点这也是图乘法的亮点 3 3、yc 应取自直线图中应取自直线图中 第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用 EI Ay c iP 常见图形面积和形心常见图形面积和形心 矩矩 形形al lxc 2 1 三角形三角形 al 2 1 lxc 3 1 抛物形抛物形 al 3 1 lxc 4 1 al 3 2 lxc 8 3 al 3 2 lxc 2 1 l a l a l a a l 第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用 a l 当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们分解为当图

31、形的面积或形心位置不便确定时，可把它们分解为 几个简单图形的叠加（分解方法不唯一）几个简单图形的叠加（分解方法不唯一） l a b l a b 1 y 2 y 1 y 2 y cdy 3 1 3 2 1 cdy 3 2 3 1 2 cdy 3 1 3 2 1 cdy 3 2 3 1 2 al 2 1 1 bl 2 1 2 d c 2 1 1 2 d c i，yi是是 代数量代数量 第四节第四节 图乘法及其应用图乘法及其应用 l a b l a b )22( 6 acbdadbc EI l d c d c )2-2- ( 6 acbdadbc EI l 第四节第四节 图乘法图乘法 例题例题. .

32、已知已知 EI 为常数，求为常数，求B点的转角位移点的转角位移 l/2 AB l/2 EI FP 1M AB 4 /lF P 1 43 2 2 1 22 11 Pl Fl EI B ( EI lFlFl 1643 1 2 1 22 1 2 PP ) 42 1 2 1 2 Pl Fl EI lFlF l EI B 162 1 42 11 2 PP )( MP图图 M图图 第四节第四节 图乘法图乘法 ql2/2 EI ql ll ql EI B 84 3 23 11 42 例题：例题：求梁求梁B 点竖向位移。点竖向位移。 3l/4 解题步骤：解题步骤： 虚拟力状态；虚拟力状态； 分别作荷载弯矩图和

33、单位弯矩图；分别作荷载弯矩图和单位弯矩图； 计算位移。计算位移。 l q A B MP图图 P=1 l M图图 ql l EI B 1 EI qllqlll l ql EI BV 24 11 283 2 3 2 2 3 2 11 422 ql2/8 3ql2/2 MP l M 求求B点竖向位移。点竖向位移。 第四节第四节 图乘法图乘法 PP aaa 例题例题：求图示梁中点的挠度。求图示梁中点的挠度。 PaPa P=1 EI Pa Pa aaaPa EI aa 24 23 2 22 2 23 2 2 1 3 4 3 2 a/2 a/2 Paa a EI 3 4 3 2 11 ？ 两个图形均非直线

34、性 MP图图 M图图 4 3 a 例题：例题：求图示梁求图示梁C点的挠度。点的挠度。 l/2 l/6 l 6EI Pl 12 3 Pl EI C 2 1 2 EI Pl 48 5 3 Pl 6 5 ll EI y C 222 1 0 5Pl/6 ？ 竖标不是取在直线图形中 P l/2l/2 C Pl MP图图 C P=1 M图图 第四节第四节 图乘法图乘法 对折线段要分对折线段要分 成直线段做成直线段做。 )( 332211 1 yyy EI 1 y 2 y 3 y l 1 y 2 y 3 y 对刚度不同的对刚度不同的 区段要分段做区段要分段做 1 2 3 l 1 2 3 3 33 2 22

35、1 11 EI y EI y EI y 第四节第四节 图乘法图乘法 取取 yc的图形必须是直线，不能是曲线或折线。的图形必须是直线，不能是曲线或折线。 不同的图乘方式，其难易程度不同。不同的图乘方式，其难易程度不同。 当两个图形均为直线图形时，取那个图形的面当两个图形均为直线图形时，取那个图形的面 积均可。积均可。 第四节第四节 图乘法图乘法 练习练习.已知已知 EI 为常数，求中点为常数，求中点C点的竖向位移点的竖向位移 l/2 AB EIC q l/2 第四节第四节 图乘法图乘法 练习练习. 已知已知 EI 为常数，求距右支座为常数，求距右支座l/3处处C点的竖向位移。点的竖向位移。 2l

36、/3 AB EIC q l/3 9/ 2 ql MP图图 9/2l M图图 第四节第四节 图乘法图乘法 求求C截面竖向位移截面竖向位移 C 9 2 3 2 9 1 3 2 2 1 9 2 2 1 3 2 8 1 3 2 3 21 2 2 l ql lll q l EI B ( ) 9 2 3 2 9 1 32 1 9 2 2 1 38 1 33 2 2 2 l ql lll q l )( 972 11 4 EI ql 9/ 2 ql MP图图 9/2lM图图 1. 1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件： （1 1）等刚度直杆；）等刚度直杆； （2 2）两个内力图中应有一个是直线）两个内力图

37、中应有一个是直线； （3 3）yc 应取自直线图中。应取自直线图中。 2. 2. 若若 与与yc 在杆件的同侧，在杆件的同侧， yc 取正值；反之，取正值；反之， 取负值。取负值。 3. 3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. . 图乘法小结图乘法小结 练习练习. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A、B两点的相对位移两点的相对位移 AB l h AB CD q 求求AB两点的相对水平位移。两点的相对水平位移。 36 18 9 MPP=1 P=1 6 3 M EI -756 3 3 2 2 318 EI 6 4 3 636 3 11 2 63 96 3 2 EI

38、 61833631826362 6 61 6kN 2kN/m 2kN/m 6m 3m3m A B EI=常数常数 9 9 9 9 9 9 9 练习练习. 已知已知 EI 为常数为常数,求求C铰两侧相对转角位移铰两侧相对转角位移 q ll l AB D C 第四节第四节 图乘法图乘法 练习练习. 已知已知 EA 为常数为常数,求求D点水平位移点水平位移 D以及以及EC杆的转角位杆的转角位 移移 EC A B C DEF FP 2a a 只需求出都为非零杆内力 第四节第四节 图乘法图乘法 练习练习. . 已知已知 EI 为常数，试问当为常数，试问当FP为何值时，为何值时，B点竖向位点竖向位 移移

39、B0. A B l q FP 弹性支座处理：弹性支座处理： 方法方法1. 将弹簧看成是结将弹簧看成是结 构中的一个可变形的构件构中的一个可变形的构件 （拉压杆）（拉压杆） 方法方法2. 将弹簧支座的变将弹簧支座的变 形看成是主体结构的支形看成是主体结构的支 座位移。座位移。 k F FdFc N NN )( k F FcFc R RiRi k FP l a A BC EI 第四节第四节 图乘法图乘法 第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算 1 1、温度的改变虽不产生内力，但产生位移、温度的改变虽不产生内力，但产生位移 1 t 2 t 温度改变引起的微段变形温度改变引起的

40、微段变形 中性轴中性轴 h xd xt d 2 xt d 1 x tt d 2 12 stsd d d 0 s h t s h tt sdddd 12 )( 当温度变形与虚内力变形当温度变形与虚内力变形 方向一致时，乘积为正方向一致时，乘积为正 温度改变不产生剪切变形温度改变不产生剪切变形0d stFs h t M k dd 0Nt N 0 FM AtA h t 1 t 2 t A BC 单位弯矩单位弯矩 图面积图面积 单位轴力单位轴力 图面积图面积 第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算 由温度变化引起的位移与刚度系数无关，由温度变化引起的位移与刚度系数无关， 所以不

41、能通过增加刚度的方法控制位移。所以不能通过增加刚度的方法控制位移。 温度改变引起的轴向变形已不能忽略。温度改变引起的轴向变形已不能忽略。 注：注： 第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算 2 2下料误差处理下料误差处理 将杆件加长看成杆件变形。将杆件加长看成杆件变形。 只须求出下料有误的杆只须求出下料有误的杆 件内力件内力 020 2 1 2 C .)( C 例题例题. . 桁架上弦杆每杆按设计长出桁架上弦杆每杆按设计长出0.02米，求由此引起的米，求由此引起的 C点竖向位移点竖向位移 C ？ A B C DEF 2 6 m 6 m lF kNC m 020. 第五节第

42、五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算 3 3支座移动引起的位移支座移动引起的位移 利用刚体虚功原理利用刚体虚功原理 例题例题. . 由于由于固端固端支座发生偏转，求引起支座发生偏转，求引起k 点的竖向位移。点的竖向位移。 iik cF R k 1 M = l k k l/2ll/2 iik cF R )( l 第五节第五节 非荷载因素作用下位移计算非荷载因素作用下位移计算 第五节第五节 其它因素产生的位移其它因素产生的位移 例题：例题：求图示结构由于支座移动产生的位移。求图示结构由于支座移动产生的位移。 a b l/2l/2 h 1 1 0 A Y 1 B h X 0 B Y

43、 1 A h X 弧度 h a cR 解：虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力。解：虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力。 代入公式求位移。代入公式求位移。 第五节第五节 其它因素产生的位移其它因素产生的位移 例题：例题：求图示刚架求图示刚架C C点的竖向位移。各杆截面为矩形。点的竖向位移。各杆截面为矩形。 a a 0 10 10 C P1 P1 1 a 100105 2 010 0 tt ）（ a a h t h t NMc 5 2 310 2 h a a 3 15 FN图图 M图图 材料满足线弹性，小变形的假设材料满足线弹性，小变形的假设 AB FP q 2 AB M q 1 考察同一结构

44、的两种受力和变形状态。考察同一结构的两种受力和变形状态。 两种状态均满足受力平衡和变形协调。两种状态均满足受力平衡和变形协调。 第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 s EA FF GA FF k EI MM W i l )d( NN QQ 21 0 21 21 12 s EA FF GA FF k EI MM W i l )d( NN QQ 12 0 12 12 21 2112 WW 功的互等定理功的互等定理：处于平衡且满足协调的两处于平衡且满足协调的两 个状态个状态1 1、2 2，状态，状态1 1 的外力在状态的外力在状态2 2 的位移的位移 上所作的总虚功等于状态上所作的总虚功等于状态2 2 的外力在状态的外力在状态1 1 的位移上所作的总虚功。的位移上所作的总虚功。 第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 12 21 2121212112 WFFW PP 21 1P 21 P2 12 12 F F AB FP2 2 AB FP1 1 第六节第六节 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理 2112 位移互等定理位移互等定理：同一结构，在位置同一结构，在位置1 1 作用作用 单位力引起位置单位力引起位置2 2 处的位移，等于在位置处的位移，等于在位置2 2 作用单位力引起位置作用单位力引起位置1 1 处