第四讲单自由度系统的受迫振动

1、2.2.1 振动微分方程振动微分方程 2.2.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差的讨论、相位差的讨论 2.1.3 旋转失衡引起的强迫振动旋转失衡引起的强迫振动 2.1.4 支撑运动引起的强迫振动支撑运动引起的强迫振动 k m 0 sinft 简谐激振力简谐激振力tFFsin 0 振振力的幅值，力的幅值， 为激振力的圆频率。为激振力的圆频率。 以平衡位置以平衡位置O为坐标原点，为坐标原点，x轴铅直轴铅直 向下为正，物块运动微分方程为向下为正，物块运动微分方程为 ： tFkxxcxmsin 0 tfxxnxsin2 0 2 0 具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程具有粘性阻尼的单自由度受

2、迫振动微分方程，是二阶，是二阶 常系数线性非齐次常微分方程。常系数线性非齐次常微分方程。 2.2.1 2.2.1 振动微分方程振动微分方程 m F f m c n m k 0 0 2 0 ,2 , 例：例：，F0 0为激为激 m ck tFFsin 0 简谐激励的响应全解简谐激励的响应全解 有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程 微分方程全解：微分方程全解： 有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 )()( 21 txtxx tfxxnxsin2 0 2 0 00 (0)(0)0 xxxxt和时， tf

3、xxnxsin2 0 2 0 02 2 0 xxnx 非齐次通解非齐次通解齐次通解齐次通解非齐次特解非齐次特解 = 齐次齐次 非齐次非齐次 有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 )()( 21 txtxx tnAx nt22 01 sine tBtxsin 2 x1(t)有阻尼自由振动运动微分方程的解有阻尼自由振动运动微分方程的解: 受迫振动的构成：受迫振动的构成： 0246810 -2 -1 0 1 2 B0 瞬态振动 完整受迫振动稳态振动 t tBtxsin)( P 可以看出：可以看出：稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均稳态受迫振动的振幅与滞后

4、相位差均 与初始条件无关与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。，仅仅取决于系统和激励的特性。 2.1.1 振动微分方程振动微分方程 2222 0 0 )2()(n f B 222 0 1 2 arctan 2 arctan r r n 00 (0)(0)0 xxxxt和时 tfxxnxsin2 0 2 0 代入代入 其中初始条件：其中初始条件： 特解（稳态响应）的求解：特解（稳态响应）的求解： 将将 得到：得到： 相位差；其中相位差；其中r是是 激励的频率与系统激励的频率与系统 的固有频率之比的固有频率之比 0 r 稳态受迫振动的振幅稳态受迫振动的振幅 系统的唯一稳态响应为系统的唯一稳态

5、响应为： 2 2 2 0 2 arctansin mk c t cmk F x 忽略阻尼时（忽略阻尼时（c c=0)=0)： t mk F t f tx sinsin 2 0 22 0 0 2 同理，扭转振动微分方程为同理，扭转振动微分方程为： tMkcJ sin 0 扭转受迫振动的稳态响应为扭转受迫振动的稳态响应为： 2 2 2 0 2 arctansin Jk c t cJk M t 0 B B 2 2 2 21 1 rr 2 2 2 0 2 00 2 2 0 2 0 22 2 2 0 21 2)1 ( rr B n k F cmk F B k Ff B 0 2 0 0 0 000 2 ,

6、 m c n r 对振幅和相位进行无纲量化处理：对振幅和相位进行无纲量化处理： 等效于等效于F0静止作用在静止作用在 弹簧上产生的静变形弹簧上产生的静变形 令：振幅放大因子令：振幅放大因子 r 222 0 1 2 arctan 2 arctan r rn 幅频响应曲线幅频响应曲线 r相频响应曲线相频响应曲线 2.2.2 受迫振动的振幅受迫振动的振幅B、相位差的讨论、相位差的讨论 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 11的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)， ， ，响应与，响应与 激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。 0 3、r 1的附近区域的附近区域(共振

7、区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 r1略为略为偏左偏左 处有峰值。通常将处有峰值。通常将r1，即，即 0称为共振频率。称为共振频率。阻尼影响显阻尼影响显 著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上， 无论阻尼大小，无论阻尼大小， r1时，总有，时，总有， /2 ,这也是共振的重要这也是共振的重要 现象。现象。 例例 题题 例例 质量为质量为M的电机安装在弹性基础上。的电机安装在弹性基础上。 由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e， 偏心质量为偏心质量为m。转子以匀角速。转子以匀角速转动如图转

8、动如图 示，试求电机的运动。弹性基础的作用相示，试求电机的运动。弹性基础的作用相 当于弹簧常量为当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时的弹簧。设电机运动时 受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。 解：解：取电机的平衡位置为坐标原点O， x轴铅直向下为正。作用在电机上的力 有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚 加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。 2.2.3 2.2.3 旋转失衡旋转失衡引起的强迫振动引起的强迫振动 根据达朗贝尔原理，有根据达朗贝尔原理，有 0sin)( 2 st tmexMxkMgxc tmekxxcxMsin 2 )sin(2 22 0 te

9、 M m xxnx ,2 2 0 M c n M k ，= f0 2 e M m 例例 题题 (1) 电机作受迫振动的运动方程为电机作受迫振动的运动方程为 )sin(tBx 2222 2 2222 2 22 2 22 0 2 4)1 (4)1 ( 4 rr r b rr r M me n M me B 222 0 1 2 arctan 2 arctan r rn b B 2222 2 4)1 (rr r M me b 例例 题题 0 f 将将（1）代入代入P41（2.54）、（）、（2.55）得到：）得到： M me 例例 题题 当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率当激振力的频率

10、即电机转子的角速度等于系统的固有频率0 时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 )()(yxcyxkxm 例例 题题 2.2.4 2.2.4 支撑运动支撑运动引起的强迫振动引起的强迫振动 例：例：在图示的系统中，物块受粘性在图示的系统中，物块受粘性 欠阻尼作用，其阻尼系数为欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物，物 块的质量为块的质量为m，弹簧的弹性常量为，弹簧的弹性常量为k。 设物块和支撑只沿铅直方向运动，设物块和支撑只沿铅直方向运动， 且支撑的运动为且支撑的运动为 , 试求物块的运动规律。试求物块的运动规律。 tatysin)( 解：解：建立物块的运动微分方程：建立物块的运动微分方程： mxcxkxcyky 利用复指数法求解，用利用复指数法求解，用 代换代换 t a j e taysin t Btx j e)( 并设方程的解为并设方程的解为 cmk jck e a B j j 2 222 2 2 2 2 2 2 )2()1 ( )2(1 rr r a cmk ck aB