机械振动学课件2

1、 振动概念（vibration）物体经过它的静 平衡位置所做的往复运动。或者说某一物 理量在其平衡位置或平衡值附近来回的变 动。 振动首先是一种运动。比如：地壳的运动、 交流电、电磁波、潮水的涨落等。 2 机械振动的研究对象和分类机械振动的研究对象和分类 2.1 2.1 研究对象研究对象“振动系统振动系统” 第一章第一章 绪绪 论论 系统的定义：系统的定义： 由若干个元素构成 的有机组合，个元 素间存在着相互作 用、互相影响的关 系。 机械系统的定义：机械系统的定义： 由若干个机械元件 组成的系统。具体 的讲，是由运动副 连接的一些构件所 组成的能完成一定 运动的机械装置。 第一章第一章 绪绪

2、 论论 2.2 2.2 机械系统研究内容机械系统研究内容 系统（系统（S） 输入（X） 输出（Y） 激励响应响应 第一章第一章 绪绪 论论 系统的研究内容包括三个方面：系统的研究内容包括三个方面： 1.已知系统的输入（X）和系统（S）,求输出 (Y)系统的动力响应分析，或叫动态分析。 2.已知系统的输入（X）和输出(Y)，求系统 （S）系统设计；系统识别或系统辨识。 3.已知系统的系统（S）和输出(Y)，求输入 （X）环境预测。 自由振动：给图中质量块 一个激励，给一个初始位 移后，质量块就开始振下 去。 强迫振动：用一个电机作 元件，给系统一个持续激 励，系统会在电机的强制 激励下振动。 自

3、激振动：扬声器的鸣叫 声。 3 3 机械振动的分类机械振动的分类 3.1 3.1 按输入分按输入分 m k 第一章第一章 绪绪 论论 简谐振动：符合正弦（预选）规律的振动。 周期振动：x（t）x（t+kT）， 瞬态振动：风铃随风而动；地震 随机振动：不能用当前的现象预测未来，但是 符合统计学规律，可以用统计的方法来研究。 如，烟的运动；红旗的飘动。 3.2 3.2 按输出分按输出分 第一章第一章 绪绪 论论 自由度：用来描述一个物体确定运动的独立坐标。 单自由度系统： 多自由度系统： 可以是两个、三个甚至是n个自由度系统，n个独立 坐标，n维空间。 连续系统：用偏微分方程描述 3.3 3.3

4、按自由度划分按自由度划分 ),.,(vdxtHH 可用微分方程描述 第一章第一章 绪绪 论论 线性振动 非线性振动: 二阶常系数线性齐次）(0kxx m 3.4 3.4 按微分方程分按微分方程分 单摆振动方程）(0sinxkx m 第一章第一章 绪绪 论论 4 4 主要参考文献主要参考文献 书书+期刊期刊 书：张策、张维平、邵韧平、闻邦春、书：张策、张维平、邵韧平、闻邦春、 李有堂、张义民等李有堂、张义民等 期刊：期刊：噪声与振动噪声与振动 （sound and vibration） 第一章第一章 绪绪 论论 2.1 一些基本概念、无阻尼单自由度振动系统一些基本概念、无阻尼单自由度振动系统 2

5、.3 有线性阻尼有线性阻尼自由振动自由振动 2.4 简谐激励力作用下简谐激励力作用下的的强迫振动强迫振动 2.8 隔振原理隔振原理 2.5 周期激励下的响应周期激励下的响应 2.6 任意激励下的响应任意激励下的响应 2.7 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼 2.2 固有频率的计算固有频率的计算 当物体沿当物体沿x x轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表轴作直线运动时，惯性的大小可用质量来表 示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力示。根据牛顿第二定律，作用在物体上的外力F F，物体由此，物体由此 产生的加速度和物体质量产生的加速度和物体质量m m之间有下述关系：之间有下述关系： )

6、1-(1 2 2 dt xd mF 构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。恢复性就是能 使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动使物体位置恢复到平衡状态的性质。阻尼就是阻碍物体运动 的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性的性质。从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性 是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 构成机械振动系统的基本元素构成机械振动系统的基本元素 质量的单

7、位为质量的单位为kgkg。 阻尼力阻尼力Fd反映阻尼的强弱，通常是速度反映阻尼的强弱，通常是速度x的函数，阻尼力的函数，阻尼力 可表示为可表示为 这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数这种阻尼称为粘性阻尼。比例常数c称为粘性阻尼系称为粘性阻尼系 数，单位数，单位N.s/m。 )31 ( xcFd 典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位典型恢复性元件是弹簧，弹簧产生的恢复力是该元件位 移的函数，即移的函数，即Fs=Fs（x）。当。当Fs（x）是线性函数时，有：是线性函数时，有： Fs=kx (1-2) k称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为称为弹簧常数或弹簧的刚度系数。单位为N/m。 质量、弹

8、簧和阻尼器质量、弹簧和阻尼器是构成机械振动系统是构成机械振动系统物理模型物理模型的的 三个基本元件。三个基本元件。 自由度与广义坐标自由度与广义坐标 自由度数自由度数: 完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。完全确定系统运动所需的独立坐标数目称为自由度数。 刚体在空间有刚体在空间有6个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动，个自由度：三个方向的移动和绕三个方向的转动， 如飞机、轮船；如飞机、轮船； 质点在空间有质点在空间有3个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球；个自由度：三个方向的移动，如高尔夫球； 质点在平面有质点在平面有2个自由度：两个方向的移动，加上约束则成为单个自由度：两个

9、方向的移动，加上约束则成为单 自由度。自由度。 质量元件质量元件 无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件 xmF m 平动：平动： 力、质量和加速度的单位分别力、质量和加速度的单位分别 为为N、kg和和m / s 2。 JTm 转动：转动： 力矩、转动惯量和角加速度的力矩、转动惯量和角加速度的 单位分别为单位分别为Nm、kg m 2和和rad / s 2 2.1 离散系统的组成离散系统的组成 2.1 离散系统的组成离散系统的组成 弹性元件弹性元件 无质量、不耗能，储存势能的元件无质量、不耗能，储存势能的元件 xkF s 平动：平动： 力、刚度和位移的单位分别为

10、力、刚度和位移的单位分别为 N、N / m和和m 。 ts kT 转动：转动： 力矩、扭转刚度和角位移的单力矩、扭转刚度和角位移的单 位分别为位分别为Nm、 Nm / rad和和 rad 阻尼元件阻尼元件 无质量、无弹性、线性耗能元件无质量、无弹性、线性耗能元件 xcF d 平动：平动： 力、阻尼系数和速度的单位分力、阻尼系数和速度的单位分 别为别为N、N s/ m和和m/s。 td cT 转动：转动： 力矩、扭转阻尼系数和角速度力矩、扭转阻尼系数和角速度 的单位分别为的单位分别为Nm、 Nms / rad 和和rad/s 2.1 离散系统的组成离散系统的组成 等效弹簧刚度等效弹簧刚度 斜向布

11、置的弹簧斜向布置的弹簧 2 e cos/kxFk xx 串联弹簧串联弹簧 并联弹簧并联弹簧 n i i kk 1 e n i i kk 1 e 11 n i i cc 1 e n ii cc 1e 11 并联系统并联系统串联系统串联系统 等效阻尼系数等效阻尼系数 传动系统的等效刚度传动系统的等效刚度 2 1 t e 1 t /ikk 传动系统的等效阻尼传动系统的等效阻尼 ct1e= ct1 / i 2 2 1e1 /iJJ 等效质量等效质量 传动系统的等效惯量传动系统的等效惯量 单自由度系统的类型 tQkxxrxm tQkxxm kxxrxm kxxm sin sin 0 0 0 0 单自由度

12、无阻尼自由振动单自由度无阻尼自由振动 单自由度有粘性阻尼的自由振动单自由度有粘性阻尼的自由振动 单自由度无阻尼受迫振动单自由度无阻尼受迫振动 单自由度有粘性阻尼的受迫振动单自由度有粘性阻尼的受迫振动 机机 械械 振振 动动 学学 例：如右图，舍振动体的例：如右图，舍振动体的 质量为质量为m m，它所受的重，它所受的重 力为力为W W，弹簧刚度为，弹簧刚度为k,k, 弹簧挂上质量块的静伸弹簧挂上质量块的静伸 成量为成量为j j，此时系统，此时系统 处于静平衡状态，平衡处于静平衡状态，平衡 位置为位置为0-00-0，求给系统，求给系统 一个初始扰动后系统的一个初始扰动后系统的 振动方程。振动方程。

13、 模型的建立模型的建立 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 无阻尼自由振动：无阻尼自由振动： 振动系统受到初始扰动后，不再受到振动系统受到初始扰动后，不再受到 外力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。外力作用，也不受阻尼的影响所作的振动。 静平衡 振动 系统产生 弹性恢复力 弹力重力 静平衡破坏 初始扰动 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 解：解：取静平衡位置为坐取静平衡位置为坐 标原点，以标原点，以X轴为系统轴为系统 的坐标轴，向下为正的坐标轴，向下为正 方向建立坐标系。方向建立坐标系。 以以x

14、x表示质量块的受扰表示质量块的受扰 后的位移，当质量块后的位移，当质量块 离开平衡位置时，在离开平衡位置时，在 质量块上作用的力有质量块上作用的力有 ： XT W mg kxkT j W重力 弹性恢复力 x 由于受力不平衡，质量块产生加速度由于受力不平衡，质量块产生加速度 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 根据牛顿第二定律建立振动微分方程： xmxkw j )( 0 , 0 2 2 xx m k kxxm n n ：则上式可写成令 即 叫做系统的固有频率 2 n 二阶齐次常系数微分方程， st ex 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼

15、自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 扭转振动问题扭转振动问题 例1-2： 右图所示，垂直轴的下端右图所示，垂直轴的下端 固定一个水平圆盘。已知固定一个水平圆盘。已知 轴长为轴长为l ,l ,直径为直径为d,d,剪切剪切 弹性模量为弹性模量为G,G,圆盘的转动圆盘的转动 惯量为惯量为I I，在盘上施加初，在盘上施加初 始扰动后（如力偶），系始扰动后（如力偶），系 统做自由扭转振动。若不统做自由扭转振动。若不 计阻尼影响，振动将永远计阻尼影响，振动将永远 持续下去。求系统的振动持续下去。求系统的振动 方程。方程。 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系

16、统 由材料力学知：扭转刚度为： 32 4G d k )/( J 0JI srad k kk n 系统固有角频率令 即 扭转振动微分方程为：建立如图所示坐标系， 0 ) 1 ( 2 1 2 nn s Hz I k f 代入微分方程得到：将 系统振动的固有频率： 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 典型的单自由度自由振动单摆 例1-3：如左图所示， 求t时刻刚体的角度 是多少？ 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 解： 以静平衡位置为原点，以以静平衡位置为原点，以角增角增 加的方向为正方向建立坐标系。加

17、的方向为正方向建立坐标系。 隔离物体，进行受力分析。隔离物体，进行受力分析。 使用牛顿定律建立振动模型：使用牛顿定律建立振动模型： a)力矩形式：力矩形式： 0 sin 0sin sin mglJ mglJ Jmgl 作为摆动时， 即 b)力形式：力形式： ？ 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 txt x tx xb x b bbx bbx t nn n n nnnn nn cossin)( 0sin0cos 0cos0sin 0 0 0 02 0 1 210 210 时有：代入初始条件： 1-2 无阻尼单自由度系统的 自由振动规律 为：高等数

18、学知方程的通解 度和初位移均为零。此初始条件亦即：初速 预先给定初始条件： 考虑 0000 2 , 0 xxxx xx tt n )sin( cossin)( 21 tA tbtbtx n nn . ; ;A 2 1 1 2 2 2 1 为频率 三要素： n b b tg bb 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 结结 论论 单自由度无阻尼自由振动系统的方程是一样的单自由度无阻尼自由振动系统的方程是一样的, 规律是相同的，具有以下特点：规律是相同的，具有以下特点： 1.1.单自由度无阻尼振动是简谐的。单自由度无阻尼振动是简谐的。 2.2.振幅决定

19、于初始条件：振幅决定于初始条件： )(; 2 2 2 1 2 0 2 2 0 bbAx x A n 图中系统，用手把图中系统，用手把m m移到移到X X0 0位置，初始位移的大小决位置，初始位移的大小决 定于定于m m的振幅，如果放手的同时，给的振幅，如果放手的同时，给m m一个右向的初一个右向的初 速度，可以通过上式计算出其最大振幅。速度，可以通过上式计算出其最大振幅。 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 3.3. 固有频率与初始条件无关。系统一定，固有固有频率与初始条件无关。系统一定，固有 频率一定。频率一定。 f Tf m k n n 1

20、; 2 ; 的特点，座钟。应用：利用“等时性” 思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？思考：钟表的钟摆的摆角大是准确还是小准确？ 结结 论论 机机 械械 振振 动动 学学 单自由度无阻尼自由振动系统单自由度无阻尼自由振动系统 在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义 ，除 用定义法（牛顿法）外，通常还有以下几种常用的方法，即静 变形法、能量法和瑞利法，现分别加以介绍。 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 1、静变形法（、静变形法（Static Deformation Method） Wk j 当单振子处于静平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质 量的重力互相平

21、衡，即存在关系式： 由上式可得： jj mgW k 故系统的固有频率为：) 1 ( 2 1 2 1 j n g m k f 由此可见，只要知道质量块处的弹性静变形，就可以计 算出系统的固有频率。在有些实际问题中，不能直接给 出系统的弹簧刚度时，利用此法计算固有频率比较方便。 例例1 1 设一悬臂梁长度为，抗弯刚度为，自由端有一集中质量。设一悬臂梁长度为，抗弯刚度为，自由端有一集中质量。 梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率（见下图）。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率（见下图）。 自由端有集中质量的悬臂梁 解：悬臂梁在自由端由集中力mg 所引起的静挠度为： EJ mgl j 3

22、3 ) 1 ( 3 2 1 3 ml EJ fn 当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠 度，然后按（1）式计算系统固有频率。 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 2 2、能量法（、能量法（Energy MethodEnergy Method） 在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅 始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们 将这样的系统称为将这样的系统称为保守系统保守系统。 在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的

23、在保守系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的 任一瞬时机械能应保持不变。任一瞬时机械能应保持不变。 式中：式中： T T系统中运动质量所具有的动能；系统中运动质量所具有的动能； U U系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功 而产生的重力势能。而产生的重力势能。 0UT dt d 即： T+U=常数 或 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 x kxmgxkxdxmgx 0 2 2 1 22 2 1 2 1 kxkxmgxmgxU 2 2 1 xmT 对于单自由度无阻尼自由振动系统来说，系统的动能为： 1.

24、重力势能：当质量块m低于静平衡位置时，重力势能为-mgx。 2. 弹性势能：当质量块m运动至离静平衡位置距离+x时，弹簧的 弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能。如下图所示， 系统的弹性势能为： 故系统的势能为故系统的势能为： )2()( 2 1 2 1 22 常数Ekxxm 所以：所以： 系统的势能则由以下两部分组成： 2 2 x m mgx 单自由度振动系统的弹性势能 这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。 这一方程说明，这一方程说明，无阻尼自由振动系统的能量关系无阻尼自由振动系统的能量关系 是振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程

25、是振动质体的能量与弹性势能的相互转化过程， 而无能量的消耗。而无能量的消耗。但在振动系统中存在阻尼时，但在振动系统中存在阻尼时， 则在振动质体的动能与弹性势能的互相转化过程则在振动质体的动能与弹性势能的互相转化过程 中，有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为中，有一部分能量将为克服阻力而不断地转化为 热能，故系统的振幅将逐渐减小，直至完全消失。热能，故系统的振幅将逐渐减小，直至完全消失。 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 tAx n sin EtkAtAm nnn 22222 sin 2 1 cos 2 1 EAmT n 22 max 2 1 0T25232，时，、

26、或、当 nnn ttt EkAU 2 max 2 1 maxmax UT )3( 2 1 2 1 222 kAAm n m k n 若将无阻尼自由振动的时间历程若将无阻尼自由振动的时间历程 代入系统的能量方程（代入系统的能量方程（2）式可得：）式可得： 这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总能量，且动能与势能的这说明系统的最大动能或最大势能均等于系统的总能量，且动能与势能的 最大值相等，即：最大值相等，即： 0U20时，、或、当 nn ttt 根据上式即可算出系统的固有频率：根据上式即可算出系统的固有频率： 对弹簧质量系统（单振子）对弹簧质量系统（单振子） 用上述能量法意义不大。但用上述

27、能量法意义不大。但 是复杂的单自由度系统用能是复杂的单自由度系统用能 量法计算固有频率比较方便。量法计算固有频率比较方便。 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 例1：一根矩形截面梁，上面承 受质量为m 的物体（如图所示）。 若忽略梁的质量，试用能量法求 该系统的固有频率。 承受质量的矩形截面梁 解：梁的刚度可用静变形法求出：解：梁的刚度可用静变形法求出： j mg k 而梁的静扰度可根据材料力学公而梁的静扰度可根据材料力学公 式计算：式计算： EJl bmga j 3 22 22 3 ba EJl k 故 代入（代入（3 3）式即可求出该系统的固有圆频率：）式即可求出

28、该系统的固有圆频率： 22 3 bma EJl n 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 例例2:2:下图所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件下图所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件无定无定 向摆。已知向摆。已知a=3.54cma=3.54cm，mg=0.856Nmg=0.856N，k=0.3N/cmk=0.3N/cm。且整个系统对。且整个系统对 转动轴转动轴o o的转动惯量。试求系统的固有频率。的转动惯量。试求系统的固有频率。 无定向摆 解：解：取摇杆偏离平衡位置的角位移取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广为广 义坐标，并设义坐标，并设 则则 对简谐振动来说，摇杆正经

29、过平衡位置时的速度对简谐振动来说，摇杆正经过平衡位置时的速度 最大，故此时系统动能最大，而势能为零。即：最大，故此时系统动能最大，而势能为零。即： tA n sin )cos(tA nn n AA maxmax 22 0 2 max0max 2 1 2 1 n AIIT 当摇杆摆到最大角位移处时，速度为零，故此时系当摇杆摆到最大角位移处时，速度为零，故此时系 统动能为零，而势能最大，它包括以下两个部分：统动能为零，而势能最大，它包括以下两个部分： 1 1）弹簧变形后储存的弹性势能：）弹簧变形后储存的弹性势能： 2) 2) 质量块质量块m m的重心下降的重心下降 后的重力势能：后的重力势能： A

30、kakaU 22 max 2 max1 2 1 2 22 maxmaxmax2 2 1 2 1 cos1mglAmglmglmgU 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 解：取摇杆偏离平衡位置的角位移 为广义坐标，并设 则 故 对简谐振动来说，摇杆正经过平衡位置时的速度最大，故此时系统动能最 大，而势能为零。即： 当摇杆摆到最大角位移处时，速度为零，故此时系统动能为零，而势能最大， 它包括以下两个部分： 1）弹簧变形后储存的弹性势能： 2) 质量块m的重心下降 后的重力势能： tA n sin )cos(tA nn A max n A max 22 0 2 max0ma

31、x 2 1 2 1 n AIIT AkakaU 22 max 2 max1 2 1 2 22 maxmaxmax2 2 1 2 1 cos1mglAmglmglmgU 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 0 2 2 I mglka n Hz I mglka f n 77. 0 106 .17 4856. 054. 33 . 02 2 12 2 1 2 2 0 2 maxmax UT因为 22222 0 2 1 2 1 mglAAkaAI n 故 得 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 前面介绍的几种计算系统固有频率的方法，都是将系统中弹簧的质

32、量 忽略不计。但是在有些系统中，弹簧本身的质量在系统总质量中占有 一定的比例，此时若再忽略弹簧的质量，就将会使得计算出来的系统 固有频率偏高。瑞利法则将弹簧质量对系统振动频率的影响考虑了进 去，从而能得到相当准确的固有频率值。 3.瑞利法（瑞利法（Rayleigh Method） 应用瑞利法时，必须先假定一个系统的振动形式。而且所假定的振动 形式越接近实际的振动形式，则计算出来的固有频率的近似值就越接 近准确值。实践证明，以系统的静态变形曲线作为假定的振动形式， 则所求得的固有频率的近似值与准确值相比较，一般来说误差是很小 的。 现以最简单的弹簧质量系统为例来说明瑞利法的应用。在下图的系 统中

33、，若弹簧的质量与质量块的质量相比是很小的，则系统的振动形 式就不会显著地受到弹簧质量的影响。在这种情况下，假设弹簧在振 动过程中的变形（各截面的瞬时位移）与弹簧在受轴向静载荷作用下 的变形相同是足够精确的。 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 弹簧质量系统 l x x 解:假设弹簧上距固定端距离为 处的位移为： x 式中：l处于平衡位置时弹簧的长度； x 弹簧在联结质量块一端的位移。 令令表示弹簧单位长度的质量，则表示弹簧单位长度的质量，则 弹簧微段弹簧微段dd的质量为的质量为d.d.其最其最 大动能则为大

34、动能则为: : d l x 2 max 2 1 l x x 弹簧在弹簧在处的微段处的微段dd的速度应为的速度应为: : 当质量块在某一瞬时的速度为当质量块在某一瞬时的速度为 时，时， 所以弹簧的全部动能为：所以弹簧的全部动能为： 322 1 2 max 2 0 max lx d l x T l s 322 1 2 max 2 0 max lx d l x T l s ) 1 ( 32322 1 2 max 2 max 2 maxmax l m xlx xmT )2( 2 2 max max kx U 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 显然，系统的全部动能应该是质量块

35、显然，系统的全部动能应该是质量块m m的最大动能与弹簧的最大的最大动能与弹簧的最大 动能之和，即动能之和，即 系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同，即：系统的最大势能仍与无质量弹簧的情况相同，即： 所以弹簧的全部动能为：所以弹簧的全部动能为： 由动能和势能相等原理得：由动能和势能相等原理得： 232 2 max 2 max kxl m x 对简谐振动来说，上式即成为：对简谐振动来说，上式即成为： 232 222 kAl m A n 由此可以得出系统固有频率的计算公式为：由此可以得出系统固有频率的计算公式为： 3 l m k n 结论：结论：为了考虑弹簧质量对系统固有频率的影响，只需要将为了考

36、虑弹簧质量对系统固有频率的影响，只需要将 1/3的弹簧质量当作一个集中质量加到质量块上去即可。的弹簧质量当作一个集中质量加到质量块上去即可。 一般将上式中的 称为“弹簧的等效质量”“effective mass of spring”,以ms表示。但是不同的振动系统，其弹簧的等效质量不同，需具 体加以计算。 因为 所以 因此只要先算出系统弹性元件的动能，即可根据上式计算出系统弹性 元件的等效质量。根据系统中的弹簧质量与质量块质量相比很小，从而 在振动过程中弹簧各截面的瞬时位移按线性变化这一假设而得出的。但 是，即使弹簧的质量较大，用原式计算系统固有频率也具有足够的精确 度。例如,当 时，固有频率

37、的计算误差约为0.5；当 时，计算 误差约为0.8；当 时，计算误差约为3。 3 l 2 2 1 xmT ss 2 2 x T m s s ml5 . 0ml ml2 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 例如图所示的等截面简支梁上有一集中质量m，若将梁本身的重量W考 虑在内，计算此系统的固有频率。 图承受集中质量的等截面梁 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 解：假设梁在振动时挠度曲线与梁在图示载荷作用下的静挠度曲线 一致。 梁上物体左侧距A点为处的静挠度为： 梁上物体右侧距B点为处的静挠度为： 在物体m处梁的静挠度为： 设物体m在振动状态下

38、的最大速度为 ，则在物体左右两侧梁的所有 点的最大速度 、 与振动位移y1、y2之间存在以下关系： 2 1 6 bla EJl mgb y 2 2 6 alb EJl mga y EJl bmga ym 3 22 m y 1 y 2 y n m m y y y y 1 1 n m m y y y y 2 2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 所以梁的左右两部分的最大速度为： 因而梁的左右两部分的最大动能为： 式中：w梁的单位长度的质量； 2 2 1 1 2 bla ba y y y yy m m m 2 2 2 2 2 alb ab y y y yy m m m dbla

39、bag yw T a m s 2 0 2 24 22 1 42 22 2 2 2 2 15 8 105 23 32b al b a b l g wa ym g wa ym 2 2 b m s dalb bag yw T 0 2 2 42 22 2 42 22 2 2 2 2 1028122a alb a b a al g wb ym g wb ym 2 2 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 22 2 2 2 15 8 105 23 3b al b a b l 22 2 2 2 102812a alb a b a al 梁的全部动能为： 根据上式可算出梁的等效质量为：

40、 所以系统的固有圆频率为： 式中： ，为梁的刚度。 2 21 2 msss y g wbwa TTT g wbwa ms s n mm k 22 3 babwawmg gEJl 22 3 ba EJl k 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 4 632. 0 2 wl EJg n 4 637. 0 2 wl EJl n 2.2 计算系统固有频率的其它方法计算系统固有频率的其它方法 从上式可以看出当忽略梁的质量时所计算出的系统固有频率比从上式可以看出当忽略梁的质量时所计算出的系统固有频率比 用瑞利法计算出的数值要小，因而误差较大。应用瑞利法也可用瑞利法计算出的数值要小，

41、因而误差较大。应用瑞利法也可 求得无载荷的固有频率的相当准确的数值。由于无载荷的变形求得无载荷的固有频率的相当准确的数值。由于无载荷的变形 曲线是对称的，所以首先需将载荷移到梁的中间，然后再令载曲线是对称的，所以首先需将载荷移到梁的中间，然后再令载 荷为零（荷为零（m m0 0），即可求出无载荷梁的固有圆频率为：），即可求出无载荷梁的固有圆频率为： 而这一固有圆频率的精确值为：而这一固有圆频率的精确值为： 可见，近似值与理论精确值之差小于可见，近似值与理论精确值之差小于1 1。 内容参考2.3。 2.3 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度 振动微分方程振动微分方程 振动微分方程振动微分方程

42、)(tFkxxcxm 方程的解方程的解 )()()( 21 txtxtx 其中，其中， tx1 为相应齐次方程的解为相应齐次方程的解 瞬态响应瞬态响应 tx2 为方程的特解为方程的特解 稳态响应稳态响应或或零零初始条件初始条件的的解解 单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统 自由振动自由振动 振动微分方程振动微分方程 设设 0 xkxcxm ts Atxe)( 0 2 kscsm 特征方程特征方程 22 2, 1n nns有有 临界阻尼系数临界阻尼系数 kmc2 c 阻尼比或阻尼因子阻尼比或阻尼因子 km c c c 2c 定义定义 1 2 nn2, 1 s m k m c

43、n n n n 2 ;2; 令阻尼比或阻尼因子令阻尼比或阻尼因子 单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论讨论 (1)系统无阻尼即,0,0n 方程的解方程的解 1 2 nn2, 1 s 特征值特征值 系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应 ）（tRtx n cos)( 2 n0 2 0 )/(xxR 0tanarc 0tanarc 0 n0 0 0 n0 0 x x x x x x 1 1 10 0 ，特征值取决于 单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论讨论 (2) 1 2 nn2, 1 s 特征值特征值 系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应

44、 方程的解方程的解 个不等的虚数根。为2,10 2, 1 Sn n )(cose)( r n tRtx t 2 d 0n0 2 0 2 2 2 1 xx xR DDR 0tanarc 0tanarc 0 0d 0n0 0 0d 0n0 x x xx x x xx 则令, 22 r n n )sincos( sincos r2r1 rr r2, 1 r tDtDex tite ins nt i 2 2 1 1 22 nr n r r T 单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论讨论 (3) 方程的解方程的解 1 2 nn2, 1 s特征值特征值 系统对初始扰动的响应系统对初

45、始扰动的响应 nssn n 21 ,1 nt tCCtx e )( 21 )(e)( 000 txnxxtx tn 0 0 xx）（ 0 0 xx ）（ 初始条件：初始条件： 单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统 讨论讨论 (4) 1 2 nn2, 1 s特征值特征值 系统对初始扰动的响应系统对初始扰动的响应 tsts xsxsxx ss tx 21 e)(e)( 1 )( 010200 21 tsts CCtx 21 ee)( 21 0 0 xx）（ 0 0 xx ）（ 1 方程的解方程的解 单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统 振动特性振动特性 无阻

46、尼无阻尼 0 0： 简谐运动简谐运动 弱阻尼弱阻尼 0 1： 衰减运动衰减运动 单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统 小阻尼小阻尼 振动对数衰减率振动对数衰减率 2 1 1 2 ln n n x x 2 22 4 单自由度线性阻尼自由振动系统单自由度线性阻尼自由振动系统 简谐激励简谐激励 稳态响应稳态响应(粘性阻尼粘性阻尼) tFxkxcxmsin 0 M M 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 求解过程求解过程 运动方程的解可以用它对应的齐次方程的通解运动方程的解可以用它对应的齐次方程的通解 和方程（和方程（2）的特解）的特解 来表示来表示 )

47、2(sin2,2 ) 1 (sinsin 2 0 n 0 0 tfxnx m F f m k m c n t m F m k x m c xtFxkxcxm n 则，令 可化为 2 x )()( 21 txtxx 1 x )sin()( 1 tAetx r nt 在小阻尼情况下，在小阻尼情况下， 是个衰减振动，只在开始振动是个衰减振动，只在开始振动 后的某一段时间内有意义。研究受迫振动中持续等幅振动时可忽略之。后的某一段时间内有意义。研究受迫振动中持续等幅振动时可忽略之。 表示系统的受迫振动，称为系统的表示系统的受迫振动，称为系统的稳态解稳态解，设，设 2 x )sin()( 2 tBtx 将

48、将 代入到方程（代入到方程（2）中可解出）中可解出B与与 2 x 22 22222 2 arctan; 4)( n n n n f B 2 222 0 1 2 arctan; )2()1 ( 1 k F B n n ; n 令 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 求解过程求解过程 进一步讨论：进一步讨论： k F Bs 0 s B B 令：令： 则：则： 222 )2()1 ( 1 s B B 2 222 0 1 2 arctan; )2()1 ( 1 k F B 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论解的讨论 二、讨论二、讨论:

49、图给出了以图给出了以为横坐标，为横坐标，为纵坐标，在不同阻尼比为纵坐标，在不同阻尼比 下的一组曲线簇。不难理解，在简谐激振力作用下，线性下的一组曲线簇。不难理解，在简谐激振力作用下，线性 系统的受迫振动也是简谐振动，振动的频率等于激励力的系统的受迫振动也是简谐振动，振动的频率等于激励力的 频率，受迫振动的振幅取决于系统本身的物理特性、激励频率，受迫振动的振幅取决于系统本身的物理特性、激励 力的大小及频率值，但与初始条件无关。力的大小及频率值，但与初始条件无关。 受迫振动的振幅与频率比及阻尼比有关受迫振动的振幅与频率比及阻尼比有关 (1) 当频率比当频率比0.2时，即激振频率时，即激振频率远小于

50、系统的固有频远小于系统的固有频 率率n时，无论阻尼的大小如何，时，无论阻尼的大小如何，1，称为准静态区。即，称为准静态区。即 振幅近似等于激励力幅作用下的静变形。故在低频区振幅振幅近似等于激励力幅作用下的静变形。故在低频区振幅 主要由弹簧刚度控制。主要由弹簧刚度控制。 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论解的讨论 （2）频率比很大频率比很大(5) , 0，激振频率，激振频率远大于系统的固有远大于系统的固有 频率频率n ，因激励力方向改变太快，振动物体由于惯性来不，因激励力方向改变太快，振动物体由于惯性来不 及跟随，几乎停着不动。故在及跟随，几乎停着不动。故在

51、高频区受迫振动的振幅主要取高频区受迫振动的振幅主要取 决于系统的惯性，决于系统的惯性，称为惯性区，这一特性正是隔振和惯性传称为惯性区，这一特性正是隔振和惯性传 感器的理论依据。感器的理论依据。 （3）当频率比当频率比 =1，激振频率接近系统的固有频率，这时阻尼值越小，激振频率接近系统的固有频率，这时阻尼值越小， 则越大。当阻尼为零时，振动为无限大。习惯上把幅值则越大。当阻尼为零时，振动为无限大。习惯上把幅值 的频率的频率 区间称为共振区。区间称为共振区。 将（将（6）对求导，并令）对求导，并令d/d=0 ，可解得，可解得 处有最大幅值，处有最大幅值， 把把 称为共振频率。称为共振频率。 2 2

52、 21 2 21 n 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 解的讨论解的讨论 相位相位 与频率比的关系曲线表明与频率比的关系曲线表明 =1时，振动位时，振动位 移总是滞后激振力移总是滞后激振力/2 ，频率比，频率比 1；当；当 =-/2 -，共振点前后相位差，共振点前后相位差 恰好为恰好为。 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励简谐激励 全响应全响应(粘性阻尼粘性阻尼)tFxkxcxmsin 0 2 22 0 1 2 arctansin )2()1 ( 1 )cos(Re)( t k F ttx r t n 2. 5 简谐激励力作用

53、下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励简谐激励 全响应全响应(无无阻尼阻尼)：)1 (sin 0 tFxkxm 设其特解为：设其特解为：tBtxsin)( 22 n f B 代入到上式得：代入到上式得： )2(sinsincos 22 21 t f tCtCx n nn 方程方程（1）的通解解为：的通解解为： 00 00 xxxx设初始条件为：设初始条件为： 22 0 201 / n n fx CxC 代入到方程（代入到方程（2）中得：）中得： )3()sin(sinsincos 22 0 0 tt f t x txx n nn n n n 则：则： )4()sin(sin)sin(

54、 22 0 tt f tAx n nn n 即：即： 初始条件产生的自由振动初始条件产生的自由振动 简谐激励力产生的受迫振动简谐激励力产生的受迫振动 伴随受迫振动产生的自由振动伴随受迫振动产生的自由振动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 tt k F tx n n 2 0 sinsin 1 )( n 000 xx若初始条件为：若初始条件为： 则：则： 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 2. 5 简谐激励力作用下的强迫振动简谐激励力作用下的强迫振动 简谐激励简谐激励 全响应全响应(无无阻尼阻尼)tFxkxmsin 0 000 xx tt

55、 k F tx n n 2 0 sinsin 1 )( n n n 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼 简谐力的功简谐力的功 简谐力简谐力tFtFsin)( 0 dtxtFFdxdWsin 0 Q= )sin()(tBtx振动系统的稳态解为振动系统的稳态解为 则激振力在微小位移则激振力在微小位移dxdx上所作的微元功应为：上所作的微元功应为： 在一个周期内（在一个周期内（t=0t=02/w2/w）所作的功，也就是）所作的功，也就是F(t)F(t)输入输入 系统的能量，即为系统的能量，即为 dtxtFW 2 0 )( dtttBF)cos(sin 2 0 0 tdttBF )cos

56、(sin 2 0 0 sin 0B F 可见，简谐激振力在一个周期内所作功的大小，不仅可见，简谐激振力在一个周期内所作功的大小，不仅 决定于激振力幅决定于激振力幅F F0 0 及振幅及振幅 B B 的大小，还决定于两者的大小，还决定于两者 之间的相位角之间的相位角 。 当当00即外力超前位移时，作正功；即外力超前位移时，作正功； 当当00即外力落后于位移时，作负功；即外力落后于位移时，作负功； 而当而当 =0=0或或 =时，即外力在一个周期内作功之和时，即外力在一个周期内作功之和 等于零。等于零。 激振力在一个周期内所作的功激振力在一个周期内所作的功W W ，可以看成是激振，可以看成是激振 力

57、的两个分量作功的和，即与位移同相的分量力的两个分量作功的和，即与位移同相的分量F = F F = F coscos和与速度同相的分量和与速度同相的分量F = F sinF = F sin所作功之和。所作功之和。 sin 0 BFW 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼 0 )cos()sin(cos )cos()sin(cos )sin( 2 0 0 2 0 0 2 0 1 tdttBF dttBtF dtxtFWF )sin(cos 0 tF与位移相同的力：与位移相同的力： 在一个周期内所作的功为：在一个周期内所作的功为： 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼 简谐力

58、简谐力tFtFsin)( 0 激振力在一个周期内所作的功为分量作功之和，即为激振力在一个周期内所作的功为分量作功之和，即为 W =W +W = F Bsin 因此，激振力在一个周期内所作的功，就是其超前位移因此，激振力在一个周期内所作的功，就是其超前位移 /2 的分量所作的功。的分量所作的功。 sin )(cossin )cos( 0 2 2 0 0 2 0 2 BF tdtBF dtxtFWF 与速度同向的力与速度同向的力F sincos（t-）在一个周期内所作的功为：在一个周期内所作的功为： 2.6 简谐力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼 简谐力简谐力tFtFsin)( 0 2.6 简谐

59、力的功和等效阻尼简谐力的功和等效阻尼 时，粘性阻尼力时，粘性阻尼力 在一个振动周期中所做的功：在一个振动周期中所做的功： xcF c 2 2 0 222 0 )(sinXcdttcXdtxFD T cc 在单自由度受迫振动方程中，阻尼力被设为在单自由度受迫振动方程中，阻尼力被设为 。 实际物理模实际物理模 型与振动位移一阶导数成正比的是纯液体摩擦阻尼，称为型与振动位移一阶导数成正比的是纯液体摩擦阻尼，称为粘性粘性 阻尼阻尼。这种阻尼是。这种阻尼是线性线性的，数学上易于处理，故常把非线性阻的，数学上易于处理，故常把非线性阻 尼用等效粘性阻尼来代替。尼用等效粘性阻尼来代替。 等效原则：一个振动周期

60、中，两种阻尼耗散的能量相等。等效原则：一个振动周期中，两种阻尼耗散的能量相等。 xc 等效阻尼力等效阻尼力 在一个振动周期中所作的功：在一个振动周期中所作的功： 所以有：所以有： xce 2 XcDD ec ) 1 ( 2 X D ce )cos(tXx当受迫振动的位移响应为：当受迫振动的位移响应为： 干摩擦阻尼：干摩擦阻尼：干摩擦阻尼力干摩擦阻尼力F可视为一个常力，在整个受迫可视为一个常力，在整个受迫 振动中力的幅值不变，方向始终与运动方向相反。振动中力的幅值不变，方向始终与运动方向相反。 当质量从平衡位置移动到最大偏离位置当质量从平衡位置移动到最大偏离位置X，即在周期内，摩，即在周期内，摩