第二章 几何组成分析

1、第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 基本要求：基本要求： 理解理解几何不变体系、几何可变体系、 瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。 掌握掌握无多余约束的几何不变体系的几 何组成规则，及常见体系的几何组成分析。 了解了解结构的几何特性与静力特性的关 系。 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 几何不变体系的组成规则几何不变体系的组成规则 几何组成分析举例几何组成分析举例 体系的几何组成与静力特性的关系体系的几何组成与静力特性的关系 本本 章章 内内 容容 第二章第二章

2、 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 几何构造分析：对结构或体系的组成形式进对结构或体系的组成形式进 行分析。行分析。 2-1 几何构造分析的几个概念 基本假定基本假定：不考虑材料的变形不考虑材料的变形 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 几何不变体系几何不变体系 几何可变体系几何可变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 在任意荷载作用下，几何形状及位置均在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的变形）保持不变的体系。（不考虑材料的变形） 在任意荷载作用下，几何形状及位置将发在任意荷载作用下，几何形状及位置将发 生改变的体系。（不考

3、虑材料的变形）生改变的体系。（不考虑材料的变形） 结构结构 机构机构 1.几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 结构组成分析的目的结构组成分析的目的： (1)(1)判定并设法保证结构的几何不变性。判定并设法保证结构的几何不变性。 (2)(2)在结构计算时，可根据其几何组成情况，在结构计算时，可根据其几何组成情况， 选择适当的计算方法；分析其组成顺序，选择适当的计算方法；分析其组成顺序， 寻找简便的解题途径。寻找简便的解题途径。 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链 杆或

4、一个几何不变部分作为一个刚体，在平面体 系的几何构造分析中称为刚片 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 x y 平面内平面内j 个点，个点， w=2j 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 A x y B 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不 论其形状和铰的位置如何论其形状和铰的位置如何 在平面内两个点自由度在平面内两个点自由度 等于等于4 4 加入一根链杆后自由度加入一根链杆后自由度 等于等于3 3，减少了一个自由减少了一个自由 度度 一根链杆减少了一个自由度一根链杆减少

5、了一个自由度=一个联系（约束）一个联系（约束） 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 用一链杆将一刚片与地面相联用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联两刚片用一链杆相联 2 3 1 4 5 6 1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。 5、6不是链杆。 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 单铰：联结两个刚片的铰称为单铰单铰：联结两个刚片的铰称为单铰 一个单铰相当于几个约束呢？一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由在平面内两个刚片自由 度等于度等于6 6 加入一个单铰后自由度加入一个单铰后自由度 等于等于4 4，减少了

6、减少了2 2个自由个自由 度度 一个单铰减少了两个自由度一个单铰减少了两个自由度=两个联系（约束）两个联系（约束） 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 联结两个以上刚片的铰称为复铰联结两个以上刚片的铰称为复铰 一个复铰相当于几个约束呢？一个复铰相当于几个约束呢？ 在平面内三个刚片自由在平面内三个刚片自由 度等于度等于9 9 加入一个复铰后自由度加入一个复铰后自由度 等于等于5 5，减少了减少了4 4个自由个自由 度度 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 A 单刚结点单刚结点复刚结点复刚结点 n-1个个 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 不能减少

7、体系自由度的约束叫多余约束。不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。 链杆链杆1 1和和2 2能减少点能减少点 A A 的两的两 个自由度，因此链杆个自由度，因此链杆1 1和和2 2 都是非多余约束。都是非多余约束。 链杆链杆1 1、2 2和和3 3共减少点共减少点 A A 的两个的两个 自由度，因此三根链杆中只有两自由度，因此三根链杆中只有两 根是非多余约束，有一个是多余根是非多余约束，有一个是多余 约束。约束。 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 每个自由刚片有每个自由刚片有 多少个多少个 自由度呢？

8、自由度呢？ n=3 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 每个单铰每个单铰 能使体系减少能使体系减少 多少个自由度多少个自由度 呢？呢？ s=2 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 每个单链杆每个单链杆 能使体系减少能使体系减少 多少个多少个 自由度呢？自由度呢？ s=1 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 每个单刚结点每个单刚结点 能使体系减少能使体系减少 多少个多少个 自由度呢？自由度呢？ s=3 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 （1 1）几何常变体系几何常变体系：受力后可发生有限位受力后可发生有限位 移。移。 （2 2）几

9、何瞬变体系几何瞬变体系：受力后可发生微量位受力后可发生微量位 移。移。 几何可变体系又可分为两种：几何可变体系又可分为两种： 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 几何常变体系几何常变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 A、B、C三个单铰在同一直线三个单铰在同一直线 经过微小移动后变为几何不变经过微小移动后变为几何不变 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 由于瞬变体系能产由于瞬变体系能产 生很大的内力（或不确生很大的内力（或不确 定）定）, ,这表明，瞬变体这表明，瞬变体 系即使在很小的荷载作系即使在很小的荷载作 用下也会产生巨大的内用下也会

10、产生巨大的内 力，从而可导致体系的力，从而可导致体系的 破坏。破坏。 故几何瞬变体故几何瞬变体 系不能作为建筑结构使系不能作为建筑结构使 用。只有几何不变体系用。只有几何不变体系 才能作为建筑结构使用。才能作为建筑结构使用。 F F F1F2 F F1 F2 F 1 0: 2 sin=0 y F FF 1= 2sin F F 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 7.7.瞬铰瞬铰( (虚铰虚铰) 两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简 单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交 点处有一个瞬铰（虚铰）。 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 虚铰的位置是随着链

11、杆的转动而改变。虚铰的位置是随着链杆的转动而改变。 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时， 可以采用射影几何中关于可以采用射影几何中关于点和点和线的下列四点结论：线的下列四点结论： (1) 每个方向有一个每个方向有一个点点(即该方向各平行线的交点即该方向各平行线的交点)。 (2) 不同方向上有不同的不同方向上有不同的点。点。 (3) 各各点都在同一直线上，此直线称为点都在同一直线上，此直线称为线。线。 (4) 各有限远点都不在各有限远点都不在线上。线上。 8.8.无穷远处瞬铰无穷远处瞬铰 第二章第

12、二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 2-2 几何不变体系的组成规则几何不变体系的组成规则 基本规律：三角形规律基本规律：三角形规律 A B C 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 A BC 将将BCBC杆视为刚片杆视为刚片, , 该体系就成为一该体系就成为一 刚片与一点相连的几何不变体系。刚片与一点相连的几何不变体系。 规则规则1 1一点与一刚片用一点与一刚片用两两 根不共线的链杆根不共线的链杆相连，组成无相连，组成无 多余约束的几何不变体系。多余约束的几何不变体系。 A 12 两根共线的链杆两根共线的链杆连连一点一点 瞬变体系瞬变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析

13、结构的几何构造分析 在一体系上增加（或 减去）二元体不改变原 体系的自由度，也不改 变原体系的机动性。 两根不共线的链杆连结两根不共线的链杆连结 一个新结点的构造称为一个新结点的构造称为 二元体。二元体。 A BC 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 图示为一无多余约束的几何不变体系 单铰C用虚铰代换 当杆通过铰 瞬变体系 规则规则2 2、两刚片以一铰及、两刚片以一铰及不不 通过该铰的一根链通过该铰的一根链杆相连组杆相连组 成无多余约束的几何不变体成无多余约束的几何不变体 系系 。 C A B 杆AC、BC均看成刚片， 就成为两 刚片组成的无多余约束几何不变体系 B A a 虚

14、虚 铰铰 实铰实铰 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 规则规则3 3两刚片以两刚片以不全平行，也不相交于一点的三根不全平行，也不相交于一点的三根 链杆链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。相联，组成无多余约束的几何不变体系。 三杆虚交于一点三杆虚交于一点 瞬变体系瞬变体系 不等长平行不等长平行 瞬变体系瞬变体系 等长平行等长平行 常变体系常变体系 如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的可变体系 三杆实三杆实 交于一交于一 点点 常变体常变体 系系 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 图示为一无多余约束的几何不变体系 A B C 规则规则4 4三刚片以三刚

15、片以不在一条直线不在一条直线 上的三铰上的三铰 两两相连，组成无多余两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。约束的几何不变体系。 三三铰共线瞬变体系 将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三 刚片组成的无多余约束的几何不变体系 如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 关于无穷远瞬铰的情况 图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。 A III 1 II B 2 I C 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 两平行链杆与两铰连线

16、平两平行链杆与两铰连线平 行行, 瞬变体系瞬变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 图示体系，瞬铰B、C在两个不同方向的 无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的 点，铰A位于有限点。由于有限点不在无穷 线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无 多余约束。 B III II C I A 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平 行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所 以三个铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为 瞬变体系。 A III II C I B 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 三刚片以三对平行链

17、杆相联无三刚片以三对平行链杆相联无 穷远处所有点均在一无穷远直穷远处所有点均在一无穷远直 线上线上 瞬变体系瞬变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 （a） （b） （c） （e） （d） 四个规则可归结为一个三角形法则。四个规则可归结为一个三角形法则。 规则连接对象必要约束数对约束的布置要求 一一点一刚片两个 两链杆不共线 二 两刚片三个 链杆不过铰 三三链杆不平行也不交于一点 四三刚片六个三铰(单或虚)不共线 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变 性的分析。在分析过程中应注意

18、：性的分析。在分析过程中应注意： 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则 组成几何不变体系组成几何不变体系 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目 够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。 构件不能重复使用构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再，如作为约束链杆，就不能再 作为刚片或刚片中的一部分。作为刚片或刚片中的一部分。 几何组成分析举例几何组成分析举例 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 瞬变体系（ ） 体系是由三个刚片用三个共

19、线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ） 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 1、去掉二元体，将体系简单化，然、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。后再分析。 几种常用的分析途径 依次去掉二元体依次去掉二元体A A、B B、C C、D D后，后， 剩下大地。故该体系为无多余约剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。束的几何不变体系。 A CB D 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 2 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。基础，只分析上部。 抛开基础，分析上部，去掉二元体后

20、，剩抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩 下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有 一个自由度的几何可变体系。一个自由度的几何可变体系。 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 A B C F D 3 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。 O12 O23 O13 如图示，三刚片用如图示，三刚片用 三个不共线的铰相三个不共线的铰相 连，故：该体系为连，故：该体系为 无多余约束的几何无多余约束的几何 不变体系

21、。不变体系。 O23O23O23 O13O13O13 O12O12O12 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 A 三个刚片用共点的三个铰相连，三个刚片用共点的三个铰相连， 将虚铰用单铰代替，可见刚片将虚铰用单铰代替，可见刚片、均可绕刚片均可绕刚片上上A 的点转动，故该体系为有两个自由度的几何瞬变体系。的点转动，故该体系为有两个自由度的几何瞬变体系。 ()()()()( )( )()()()()()( )( )()() 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 三刚片用不三刚片用不共共线线 三铰相连，故原三铰相连，故原 体系为无多余约体系为无多余约 束的几何不变体束的几

22、何不变体 系。系。 4 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。 (,) (,)(,) 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 该体系为无多余约束的该体系为无多余约束的 几何不变体系。几何不变体系。 抛开基础抛开基础,只分析上部。只分析上部。 在体系内确定三个刚片。在体系内确定三个刚片。 三刚片用三个不共线的三刚片用三个不共线的 三铰相连。三铰相连。 该体系是几何不变体系有四个多余约束。该体系是几何不变体系有四个多余

23、约束。 5 5、由基础开始逐件组装、由基础开始逐件组装 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 6 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。等效（与外部连结等效）刚片代替它。 有一个多余约束的几何不变体系 两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 进一步分析可得，体系是无多余约 束的几何不变体系 第二章第二章 结构的几何构造分析结

24、构的几何构造分析 作业作业 2-1a 2-2 b 2-3 c d 2-8 a 2-9 c 2-10 b 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 A A 1 1 B B 2 2 C CD D 3 3 A A B B 1 1 1 1 A AB B 2 2 2 21 1 B BA

25、A C CD D 3 3 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 2-3 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度 一、复杂链杆与复杂铰 1. 简单链杆与复杂链杆 简单链杆仅连接两个结点的链杆称为简 单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。 复杂链杆连接三个或三个以上结点的链杆 称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3） 根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 2. 简单铰与复杂铰 简单铰只与两个刚片连接的铰称为简单铰。 若刚片数为m，则该复杂铰相当于 (m-1)个简单

26、 铰，故其提供的约束数为2 (m-1)。 一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于 两个约束。 复杂铰与三个或三个以上刚片连接的铰称 为复杂铰。 3. 封闭刚架 有三个多 余约束 无多余 约束 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 二、计算自由度 caSdaW nWS S自由度；a自由度总数； W计算自由度；d约束总数； n多余约束数c非多余约束数 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 二、计算自由度 1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的 体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为： m刚片数；g简单刚结数； h简单铰数；b简单链

27、杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。 3(32)Wmghb caSdaW nWS 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 公式为： j结点数； b简单链杆数。 3. 混合公式约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为： m、j、g、h、b意义同前。 2Wjb (32 )(32)Wmjghb 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 4. 一个体系若求得W 0，一定是几何可变体 系；若W 0，则可能是几何不变体系，也可能 是几何可变体系，取决于具体的几何组成。 所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非 充分条件。 三、例题 例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。 解： 3033 3 3(2 33)990 mghb W A B CIIIIII 123 第二章第二章 结构的几何构造分析结构的几何构造分析 例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 解： A III 1 2 3 45 例2-3-3 求图示体系的计算自由度。 解： 510 2 5 100 jb W 6 7 D 9 A 1 2345 CE 8 10 B 2115 3 2(3 12 1 5) 6 10