第二讲 应用高斯定理求场强

1、 应用高斯定理求场强分布应用高斯定理求场强分布 第二讲第二讲 静电场高斯定理静电场高斯定理 内 qSE e 0 1 d S 真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等 于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 0 1 V e VSEd 1 d 0 S 反映静电场的性质反映静电场的性质 有源场有源场(1) 意义意义 (2) 通量的一般意义通量的一般意义: : S SA dd v A: 体积流量体积流量 (3) 注意注意 均匀带电球面，电量均匀带电球面，电量Q，半径，半径R 。 电场强度分布电场强度分布 R

2、解解 SESEdd SE d 2 4 rE 由高斯定理由高斯定理 0 E Qq 内 2 0 4 r Q E + + + + + + 例例1 1 求求 2 4 rE 0 内 q 球外球外 ( r R ) 球内球内 ( r R ) r 2 3 0 3r R E 电场强度分布电场强度分布求求 球内球内 ( r R ) 2 0 2 1 2r AR E 球内球内 ( r R ) 0 2 A E r 解解 电场强度垂直带电平面电场强度垂直带电平面, 选取选取 垂直带电面的圆柱形高斯面垂直带电面的圆柱形高斯面 SE e d 电场强度分布电场强度分布求求 右底左底侧 SESESE ddd ES20 根据高斯定

3、理根据高斯定理 0 / S e 0 2/ E “无限大无限大”均匀带电平面，电荷面密度为均匀带电平面，电荷面密度为 例例3 右底左底 SESEdd0 x O Ex 例例4 无限大带电板无限大带电板电荷体密度为电荷体密度为 ，厚度为，厚度为d 板外：板外： ES e 2 0 2 d E 外 板内：板内： ES e 2 0 x E 内 解解 取关于平板对称的圆取关于平板对称的圆 柱面为高斯面柱面为高斯面 求求 电场场强分布电场场强分布 d d S 0 Sd 0 2 xS x Ox E “无限长无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为均匀带电直线，电荷线密度为+ 解解 电场分布具有轴对称性电场分布具有轴

4、对称性 , 以高为以高为l 的同轴圆柱面为高斯面，电通量的同轴圆柱面为高斯面，电通量 S e SE d rlESESE2dd 侧侧 例例5 电场强度电场强度分布分布求求 根据高斯定理根据高斯定理 r S d n E 0 /2lrlE r E 0 2 下底上底侧 SESESE ddd r E l 例例6 电荷体密度电荷体密度 半径为半径为: 21 , RR 求求重叠区域的电场重叠区域的电场 解解 r1 r2 1 0 0 1 2 10 3 1 1 34 3 4 rr r r E 2 0 0 2 2 20 3 2 2 34 )( 3 4 rr r r E 21 0 21 0 21 3 )( 3 oo

5、 rrEEE 讨论：讨论： M m r 求相互作用力？求相互作用力？ 引力场场强？引力场场强？ 总结总结 静电场的高斯定理适用于一切静电场；静电场的高斯定理适用于一切静电场； 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。高斯定理并不能求出所有静电场的分布。 高斯定理高斯定理计算电场的方法计算电场的方法 高斯定理求解电场分布高斯定理求解电场分布 场强场强 E 能否提出积分号能否提出积分号 带电体带电体电荷分布的对称性电荷分布的对称性建立的建立的高斯面高斯面是否合适是否合适 球面、球体球面、球体 无限长圆柱面、圆柱体无限长圆柱面、圆柱体 无限大平面、平板无限大平面、平板 电荷电荷 均匀均匀 分布分布 球面

6、球面 圆柱面圆柱面 圆柱面圆柱面 内 qSE 0 1 d 用高斯定理求电场强度的步骤：用高斯定理求电场强度的步骤： (1) 分析电荷对称性；分析电荷对称性； (2) 根据对称性取高斯面；根据对称性取高斯面； 高斯面必须是闭合曲面高斯面必须是闭合曲面 高斯面必须通过所求的点高斯面必须通过所求的点 (3) 根据高斯定理求电场强度。根据高斯定理求电场强度。 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算 例例7 均匀带电无限长半圆柱面，电荷线密度均匀带电无限长半圆柱面，电荷线密度 。求轴线上的场强。求轴线上的场强。 R x y d dl E d x E d y E d

7、0 2 0 2 sin d R d R2 EE 0 xx 0cos dd EEE yy 电荷元线密度电荷元线密度 d d dl R R2 E 0 d d 根据高斯定理根据高斯定理 sinddEExcosddEEy 整个带电面整个带电面 电场强度电场强度 分量分量 解解 8.4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能 电势电势 一一. .静电力作功的特点静电力作功的特点 单个点电荷产生的电场中单个点电荷产生的电场中 r r qqb a r r d 1 4 2 0 0 b La lFA )( d ) 11 ( 4 0 0 ba rr qq cosd )( 0 b La lEq b a L

8、b r r a r l d rd q E q0 b La lEq )( 0 d (与路径无关与路径无关) O b La rr r qq A )( 3 0 0 d 4 1 b La b La ab lEqlFA )( 0 )( dd b La n i i lEq )( 1 0 d)( n i b La i lEq 1 )( 0 d ibii a i rr qq ) 11 ( 4 0 0 结论结论 电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力电场力作功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力 是是保守力保守力，静电场是静电场是保守力场保守力场。 任意带电体系产生的电场任意带电体系产生的电场

9、电荷系电荷系q1, q2, , qn 的电场中，移动的电场中，移动q0，有，有 a b L n q 1n qi q 2 q 1 q 在静电场中，沿闭合路径移动在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功，电场力作功 lEqlFAab dd 0 b La b La lEqlEq )( 0 )( 0 21 dd L1 L2 a Lb b La lEqlEq )( 0 )( 0 21 dd 0 二二. .静电场的环路定理静电场的环路定理 0d L lE 积分形式的环路定理积分形式的环路定理 微分形式的环路定理微分形式的环路定理 a b 0E 0SElE sL d)(d E 的旋度的旋度 微分形式微分形

10、式 环路定理环路定理 k z E j y E i x E EErot 静电场是 无旋场 (1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验 一个电场是不是静电场。一个电场是不是静电场。 E a d d c c b b a lElElElElE ddddd d c b a lElEdd 21 0 不是静电场不是静电场 ab cd 讨论讨论 (2) 环路定理要求电力线不能闭合。环路定理要求电力线不能闭合。 (3) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。静电场是有源、无旋场，可引进电势能。 三三. 电势能电势能 电势能的差电势能的差 力学力学 保守力场保守力场引入势能引入势能 静电场静电场保守场保守场引入静电势能引入静电势能 E a b 0 q 定义：定义：q0 在电场中在电场中a、