第三章误差的合成与分配

1、第三章第三章 误差的合成与分配误差的合成与分配 第一节第一节 函数误差函数误差 第二节第二节 随机误差随机误差的的合成合成 第三节第三节 未定未定系统误差系统误差 和和 随机误差的合成随机误差的合成 第四节第四节误差分配误差分配 第五节第五节 最佳最佳测量方案的确定测量方案的确定 1. 1. 基本概念基本概念 间接测量间接测量 通过直接测得的量与被测量之间的通过直接测得的量与被测量之间的函数关系函数关系计算计算 出被测量。出被测量。 函数误差函数误差 间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，这 种误差称为函数误差。种误差称为函数误差。 直接直接测量测量

2、 直接得到被测量值的测量直接得到被测量值的测量 间接测量的数学模型间接测量的数学模型 2. 2.函数误差的计算函数误差的计算 a.a.已定系统误差已定系统误差 ),( 21n xxxfy， 间接测量值间接测量值 直接测量值直接测量值 若已知各个直接测量值的系统误差若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：可近似得到函数的系统误差为： 12 12 n n fff yxxx xxx 12 , n xxx 其中：其中： 为为直接测量值的直接测量值的误差传递系数误差传递系数。 (1,2,n) i f i x 结论：各个直接测量值的结论：各个直接测量值的已定系统误差已定系统误差对函数总

3、误对函数总误 差的函数已定系统误差贡献是一种差的函数已定系统误差贡献是一种代数和代数和的形式。的形式。 2. 2.函数误差的计算函数误差的计算 a.a.已定系统误差已定系统误差 12 12 n n fff yxxx xxx 例例用用弓高弦长法间接测量大工件弓高弦长法间接测量大工件 直径。如图所示，车间工人用一直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高把卡尺量得弓高 ，弦长，弦长 ，工厂检验部门又用高准确度，工厂检验部门又用高准确度 等级的卡尺量得弓高，等级的卡尺量得弓高， 弦长弦长 试问试问车间工人测量该车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。

4、后的测量结果。 500mml 【解】【解】 2 4 l Dh h D 2 l h 不考虑测量值的系统误差，可求出在不考虑测量值的系统误差，可求出在 处的直径测量值处的直径测量值 50mmh 50.1mmh 499mml 50mm,h 500mml 2 0 1300mm 4 l Dh h 建立间接测量大工件直径的函数模型建立间接测量大工件直径的函数模型 O O 根据根据 12 12 . n n fff yxxx xxx 误差传递误差传递系数为：系数为： 22 22 500 1124 4450 fl hh 500 5 22 50 fl lh 50 50.10.1mmh 500 499 1mml 已

5、知已知 , ,代入则得代入则得 直径的系统误差直径的系统误差 7.4mm ff Dlh lh 故修正后的测量结果故修正后的测量结果 0 1300 7.4 1292.6mmDDD 2 4 l Dh h 2. 2.函数误差的计算函数误差的计算 b.b.随机误差随机误差 对对n n个变量各测量个变量各测量N N次，其相应的随机误差为：次，其相应的随机误差为： 将右侧方程组中的每个方程两边平方将右侧方程组中的每个方程两边平方, , 可得可得 将方程组两边相加可得将方程组两边相加可得 将上式等号两边除以将上式等号两边除以N, N, 根据根据 222 12n n 可得函数标准差可得函数标准差 222 22

6、22 12 1 12 2 n yxxxnijxixj i j nij fffff xxxx x 第第i i个直接测得量个直接测得量 的的标准差标准差 第第i i个测量值和第个测量值和第j j个测量值之间的相关系数个测量值之间的相关系数 xi ij i f x i x 第第i i个直接测得量个直接测得量 的的误差传播系数误差传播系数 i x 222222 1122yxxnxn aaa 222 222 12 12 yxxxn n fff xxx 若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 , i i f a x 令令 则则标准差标准差 当各个测量值的随机误差都

7、为当各个测量值的随机误差都为正态分布正态分布时时, ,标准差用标准差用 极限误差代替极限误差代替，可得，可得函数的函数的极限误差极限误差 第第i i个直接测得量个直接测得量 的的极限误差极限误差 limxi i x 50mmh 500mml 【解】【解】 0.005mm h 0.01mm l 22222 22224 ()() 50.01240.005169 10 mm Dlh ff lh 0.13mm D 有有 用用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺 量得弓高量得弓高 ，弦长弦长，已知，已知车间工人测量该工车间工人测量该工 件弓高的

8、标准差件弓高的标准差 ，弦长的标准差弦长的标准差 ， 试求测量该工件直径的试求测量该工件直径的标准差，并标准差，并求修正后的测量结果。求修正后的测量结果。 2 4 l Dh h 故修正后的测量结果故修正后的测量结果 0 1292.6mmDDD 0.13mm D 例例2 2：相对测量时需用相对测量时需用54.255mm54.255mm的量块组作标准件，量块组的量块组作标准件，量块组 由由4 4块量块研合而成，它们的基本尺寸为块量块研合而成，它们的基本尺寸为l l1 1=40mm=40mm，l l2 2=12mm,=12mm, L L3 3=1.25mm=1.25mm，l l4 4=1.005mm

9、=1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量。经测量，它们的尺寸偏差及其测量 极限误差分别为极限误差分别为 试试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及其极限误差。求量块组按基本尺寸使用时的修正值及其极限误差。 1231 0.7,0.5,0.3,0.1;lmlmlmlm 1234 limlimlimlim 0.35,0.25,0.20,0.20. llll mmmm 解：由题意得：解：由题意得： l l0 0=l=l1 1+l+l2 2+l+l3 3+l+l4 4 所以所以 l l0 0=l=l1 1+l+l2 2+l+l3 3+l+l4 4=(40+12+1.25+1.005)mm=54.22

10、5mm=(40+12+1.25+1.005)mm=54.225mm 因为因为l=f(l=f(l l1 1，l l2 2，l l3 3，l l4 4 ) ) 所以所以 1234 1 ffff llll 故，故，l l的系统误差为的系统误差为 1234 1234 ffff lllll llll ( 0.70.50.30.1) 0.4 m m 所以，量块组按基本尺寸使用的修正值是所以，量块组按基本尺寸使用的修正值是 4 0 54.225 ( 4 10 )54.2254lllmmmm 极限误差极限误差 1234 22222222 limlimlimlimlim 1234 ()()()() lllll

11、ffff llll 2222 0.350.250.20.2 0.5148 m m 相关系数对函数误差的影响相关系数对函数误差的影响 反映反映了各随机误差分量相互间的了各随机误差分量相互间的线性关联线性关联对函数总误对函数总误 差的影响差的影响 222222 1122yxxnxn aaa 0 ij 1 ij 函数函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系 函数随机误差公式函数随机误差公式 当相关系数当相关系数 当相关系数当相关系数 时时 2 2、 相关系数估计相关系数估计 222 2222 12 1 12 2 n yxxxnijxix

12、j ij nij fffff xxxxx 222222 1122yxxnxn aaa 0 ij 1 ij 1122yxxnxn aaa 相关系数的确定相关系数的确定 可可判断判断 的情形的情形 断定断定 与与 两分量之间没有相互依赖关系的影响两分量之间没有相互依赖关系的影响 当当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正 负交替变化，反之亦然负交替变化，反之亦然 与与 属于属于完全不相干的两类体系分量，如人完全不相干的两类体系分量，如人 员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分 量量 i x j x 与与 虽相互有影

13、响，但其影响甚微，视为可忽虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽 略不计的弱相关略不计的弱相关 i x j x 0 ij i x j x i x j x i x j x 可判断可判断 或或 的的情形情形 断定断定 与与 两分量间近似呈现正的线性关系或负两分量间近似呈现正的线性关系或负 的线性关系的线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次 增大或减小，反之亦然增大或减小，反之亦然 用多组测量的两误差对应值用多组测量的两误差对应值( (i i, , i i) )作图，将它与标准图形相作图，将它与标准图形相 比，看比，看它与它与哪一图形相近，从而确定相

14、关系数的近似值。哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。 1 ij 1 ij j x i x 例例3 3：测量某电路的电流测量某电路的电流I=22.5mAI=22.5mA，电压，电压U=12.6V,U=12.6V,测量的测量的 标准差分别为标准差分别为 ，求所耗功率，求所耗功率P=UIP=UI及及 其标准差其标准差 。 0.5,0.1 Iu mAV p 解解：所耗功率：所耗功率 P=UI=12.6VP=UI=12.6V22.522.510-3A=0.2835W10-3A=0.2835W 因为因为3 22.5 10 P IA U 12.6 P UV I 且且U U、I I完全线性相关，故相关系数

15、完全线性相关，故相关系数 ，所以，所以 1 2222 3 ()()2 8.55 10 puIuI PPPP UIUI W 例：例：用用长长30 m30 m的钢尺丈量了的钢尺丈量了1010个尺段，若每尺段的极个尺段，若每尺段的极 限误差为限误差为5 5 mmmm，求全，求全长长D D及其及其极限误差。极限误差。 解解：1 1）函数式）函数式 D=10L=10D=10L=1030=300 m30=300 m 按倍数函数式求全长中误差，将按倍数函数式求全长中误差，将得出得出 limlim 1010 550 DL mm 2 2）实际上全长应是）实际上全长应是1010个尺段之和，故函数式应为个尺段之和，

16、故函数式应为 L=l1+l2 L=l1+l2+l10+l10 用和差函数式求全长极限误差，因各段极限误差均相用和差函数式求全长极限误差，因各段极限误差均相 等，故得全长极限误差为等，故得全长极限误差为 按实际情况分析用和差公式是正确的，而用按实际情况分析用和差公式是正确的，而用 倍数公式则是错误的。倍数公式则是错误的。 limlim 1016 DL mm 注意：注意：在在函数式中各观测值是否相互独立？函数式中各观测值是否相互独立？ 本节注意：本节注意： 例：例：z=z=x+yx+y，y=3xy=3x，求，求 。 2 z 由于没有考虑由于没有考虑x x，y y之间的相关性，结果错误。之间的相关性

17、，结果错误。 考虑了考虑了x x，y y之间的相关性，结果正确之间的相关性，结果正确 第二节第二节 随机误差的合成随机误差的合成 标准差合成标准差合成 解决解决随机误差的合成随机误差的合成问题一般基于问题一般基于标准差方和根合成标准差方和根合成 的方法的方法，其中还要考虑到误差传播，其中还要考虑到误差传播系数。系数。 极限误差合成极限误差合成 随机误差的合成随机误差的合成 一、标准差合成一、标准差合成 2 11 ()2 qq iiijijij iij aa a q q个单项随机误差，标准差个单项随机误差，标准差 12 , q 误差传播系数误差传播系数 12 , q a aa v由间接测量的显函

18、数模型求得由间接测量的显函数模型求得 v根据实际经验给出根据实际经验给出 iii ya ii afx v知道影响测量结果的误差因素知道影响测量结果的误差因素 而不知道每个而不知道每个 和和 函数的误差函数的误差 误差的合成误差的合成 i a i 各个误差互不相关，相关系数各个误差互不相关，相关系数 2 1 () q ii i a 2 1 q i i 0 ij 1 i a 合成标准差合成标准差 当误差传播系数当误差传播系数 、且各相关系数均可视为且各相关系数均可视为0 0 合成标准差合成标准差 随机误差的合成随机误差的合成 一一、极限误差合成、极限误差合成 合成合成极限误差：极限误差： 0 ij

19、 若若 第三节第三节未定系统误差未定系统误差 和和 随机误差的合成随机误差的合成 系统误差的合成系统误差的合成 定义：定义： 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 表示符号：表示符号： 合成方法：合成方法：按照代数和法进行合成按照代数和法进行合成 一、已定系统误差合成一、已定系统误差合成 i i 为第为第i i个系统误差，个系统误差，ai ai 为其传递系数为其传递系数 在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除消除，少数，少数未予消除的未予消除的也只是少数也只是少数几项，它们几项，它们按代数和

20、按代数和 法合成法合成后，还可以从测量结果中后，还可以从测量结果中修正修正，故最后的，故最后的测量结测量结 果中不再含有已果中不再含有已定系统误差定系统误差。 系统误差的合成系统误差的合成 一一、未未定定系统误差合成系统误差合成 对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机 误差进行合成误差进行合成 未定系统误差未定系统误差的的取值取值具有一定的具有一定的随机性随机性，服从一，服从一 定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作 用时，用时，完全可以采用随机误差的合成公式来进行完全可以采用随机误差的合成公式来进行

21、未定系统误差的合成未定系统误差的合成， 这就给测量结果的处理带这就给测量结果的处理带 来很大方便。来很大方便。 已定系统误差经修正后，影响测量过程的总误差只已定系统误差经修正后，影响测量过程的总误差只 要考虑要考虑未定系统误差与随机误差的合成未定系统误差与随机误差的合成。总误差。总误差可可 用用标准差标准差来来表示，也表示，也可用可用极限误差极限误差来来表示表示 误差合成误差合成总结总结 已定系统误差已定系统误差 随机误差随机误差 a. a.线性无关线性无关 b. b. 完全正相关完全正相关 12 12 (1) n n fff yxxx xxx 12 2222222 1 12 ()()()2(

22、2) nij n yxxxijxx i j nij fffff xxxxx 12 2222222 12 ()()()(3) n yxxx n fff xxx 12 12 ()()()(4) n yxxx n fff xxx l 用已定系统误差修正测值用已定系统误差修正测值 l 随机误差和未定系统误差合成随机误差和未定系统误差合成 未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分未定系统误差取值具有随机性，服从一定的概率分 布，具有一定的抵偿作用，可以采用随机误差的合布，具有一定的抵偿作用，可以采用随机误差的合 成公式进行合成成公式进行合成 随机误差和未定系统误差采用方和差合成方式，评随机误差和未定

23、系统误差采用方和差合成方式，评 估测量结果的分散性估测量结果的分散性 12 12 n n fff yxxx xxx m yyyt 2222 ()() ii xx ij ff sR xx 误差合成误差合成总结总结 第四节第四节 误差分配误差分配 误差分配误差分配 给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。 222 12yyyny 给定给定 ，如何，如何确定确定 ，满足，满足 假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有 y xi 222 12yyyyn yiiii i f a x 误差分配误差分配 一、

24、按等作用原则分配误差一、按等作用原则分配误差 l各误差项影响相等各误差项影响相等 12 y yyyn n 11 / yy i ii fxann l按极限误差表示：按极限误差表示： 11 / yy i ii fxann l问题？问题？ 误差分配误差分配 二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差 l为什么调整为什么调整 （1 1）对一部分测量误差的需求实现颇感容易，而对）对一部分测量误差的需求实现颇感容易，而对 另一些测量误差的要求则难以达到。另一些测量误差的要求则难以达到。 （2 2）当各个分项误差一定时，相应测量值的误差与其）当各个分项误差一定时，相应测量值的误差与其 传播系数成反比。因此，当

25、各个分项误差相等时，相传播系数成反比。因此，当各个分项误差相等时，相 应测量值的误差并不相等，有可能相差很大。应测量值的误差并不相等，有可能相差很大。 l调整调整原则原则？ 在等作用原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适在等作用原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适 当调整。当调整。 对对难以实现测量的误差项适当扩大难以实现测量的误差项适当扩大 对对容易实现的误差项尽可能缩小容易实现的误差项尽可能缩小 其余其余误差项不予调整误差项不予调整 误差分配误差分配 三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 l 误差按误差按等等作用作用原理原理确定后，应按照误差合成公式确定后，应按照误差合成公式

26、 计算实际总计算实际总误差误差. . 若若超出给定的允许误差范围，应选择超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小可能缩小 的误差项的误差项再进行缩小再进行缩小。 若若实际总误差较小，实际总误差较小，可适当扩大可适当扩大难以实现的误难以实现的误 差项的差项的误差误差。 合成合成后与要求的总后与要求的总误差比较误差比较，直到满足要求为止直到满足要求为止。 22 3 0 00 3.1416 20 5015708mm 44 D Vh 求得求得体积体积 V V，若要求测量体积的相对误差为若要求测量体积的相对误差为1 1，已知，已知 直径和高度的公称值分别为直径和高度的公称值分别为 ， ，试，试 确定直径确

27、定直径及及高度高度 的测量精度的测量精度。 计算体积计算体积 体积的绝对误差体积的绝对误差 33 0 1% 15708mm1% 157.08mm V V 例例：测量：测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径 及高度及高度 ，根据函数式根据函数式 【解】【解】 2 4 D Vh h D hD 0 20mmD 0 50mmh 22 14157.84 0.351mm 202 VV h V Dnn h 一一、按按等影响分配原则分配等影响分配原则分配误差误差 得到得到测量直径测量直径 与与高度的极限误差高度的极限误差 D h 12157.82 0.071mm 20 5

28、02 VV D V Dhnn D 用这两种量具测量的体积极限误差为用这两种量具测量的体积极限误差为 查资料，可用分度值为查资料，可用分度值为0.10.1mmmm的游标卡尺测高的游标卡尺测高 ，在在 5050mmmm测量范围内的极限误差测量范围内的极限误差为为 ，用，用0.020.02mmmm的游标的游标 卡尺测直径卡尺测直径 ，在在2020mmmm范围内的极限误差为范围内的极限误差为 50mmh 0.150mm 20mmD 0.04mm 22 2 222222 33 20 5020 ()(0.04)()(0.150) 24 78.54157.08 VDh VV Dh mmmm 调整后的实际测量

29、极限误差为调整后的实际测量极限误差为 2 2 22 222222 3 20 5020 ()(0.08)()(0.08) 2424 128.15 VDh DhD mm 因为因为 33 128.15157.08 V mmmm 调整调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。 0.08mm 显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。 若若改用分度值为改用分度值为0.050.05mmmm的游标卡尺来测量直径和的游标卡尺来测量直径和高度。高度。 在在5050mmmm测量范围内的极限误差为测量范围内的极限误差为 。 二、调整后的测量极限误差二、调整后的测量极限误差 解：解：根据等作用原则分配误差根据等作用原则分配误差 y i i f xn 故，电压故，电压V V和电阻的测量误差分别为：和电阻的测量误差分别为： 例：例：测量某电路电阻测量某电路电阻R R两端的电压两端的电压U U，可由公式，可由公式I=U/RI=U/R计计 算出电路电路算出电路电路I I，若电压为，若电压为16V16V，电阻为，电阻为4 4 ，欲使电流，欲使电流 的极限误差为的极限误差为0.04A0.04A，试