工程力学2-汇交力系

1、 问题：问题： 1 1、怎样对刚体上的汇交力系进行简化？、怎样对刚体上的汇交力系进行简化？ 2 2、汇交力系的平衡条件是什么？、汇交力系的平衡条件是什么？ 2-1 汇交力系的合成汇交力系的合成 1.二力平衡条件：二力等值、反向、共线，作用在二力平衡条件：二力等值、反向、共线，作用在 同一物体上同一物体上 12 FF 最简单的力系平衡条件最简单的力系平衡条件 2.力的可传性力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内 的任一点，而不改变该力对刚体的效应。的任一点，而不改变该力对刚体的效应。 3.增加平衡力系原理增加平衡力系原理 在刚体上增加或减

2、去一组平衡力系，不会改变原在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变原 力系对刚体的作用效应。力系对刚体的作用效应。 作用在刚体上的力是滑移矢量，力的三要素是大作用在刚体上的力是滑移矢量，力的三要素是大 小、方向、作用线。小、方向、作用线。 F1 F2 FR ab c 设汇交于A点的力系由n个力Fi（i = 1、2、n）组成。 记为（ ）。 根据平行四边形法则，将各力依次两两合成，FR为最后 的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式为 n i i 1 R FF 汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的 矢量和确定，作用线通过汇交

3、点。矢量和确定，作用线通过汇交点。 F1、F2、Fn 力的多边形法则：力的多边形法则： 由力系中各力的力矢由力系中各力的力矢首尾相接首尾相接构成的开口多边形称为构成的开口多边形称为 开口的力多边形开口的力多边形，由开口的力多边形始点指向终点的，由开口的力多边形始点指向终点的 封闭边即为封闭边即为合力矢合力矢。合力的作用点仍在力系公共作用。合力的作用点仍在力系公共作用 点上。这种求合力的方法称为力多边形法则。点上。这种求合力的方法称为力多边形法则。 改变各力的顺序，力多边形的形状也将改变，改变各力的顺序，力多边形的形状也将改变， 但封闭边不变但封闭边不变。 F1 Fi F2 F3 FR Fn 求

4、合力的注意事项：求合力的注意事项： 1.合力矢合力矢F FR R与各分力矢的作图顺序无关与各分力矢的作图顺序无关。 2.各分力矢必须首尾相接。各分力矢必须首尾相接。 3.合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。 4.按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。按力的比例尺准确地画各力的大小和方向。 结论：结论： 例例2-1 已知已知AC=CB，P=10kN，各杆重力不计，各杆重力不计， 求求CD杆及铰链杆及铰链A的受力的受力 解：解：CD为二力杆，取为二力杆，取AB杆，画受力图杆，画受力图 用几何法画封闭力三角形用几何法画封闭力三角形 或按比例量得

5、或按比例量得 FC=28.3kN，FA=22.4kN 几何法解题几何法解题步骤步骤：选研究对象；选研究对象； 作出受力图；作出受力图； 选择适当的比例尺，作力多边形；选择适当的比例尺，作力多边形； 求出未知数求出未知数 几何法解题几何法解题不足不足： 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 1.力在轴上的投影力在轴上的投影 A B x ab cos x FabF 力在轴上投影是代数量力在轴上投影是代数量 A B F x ab 2.力在平面上的投影力在平面上的投影 A B F a bFM M cos M F

6、F 3.力在直角坐标轴上的投影力在直角坐标轴上的投影 F A y z x x y z o cos cos cos x y z FF FF FF 一次投影一次投影 o F Fxy y x z coscoscos sincos sin xxy yxy FFF FFF 二次投影二次投影 cos xy FF 4.力的解析表示式力的解析表示式 F x y z o F3 F2 F1 将将F沿坐标轴正交沿坐标轴正交 分解，分力分别分解，分力分别 为为F1，F2，F3，即，即 F=F1+F2+F3 i，j，k为为x，y，z轴的单轴的单 位矢量。位矢量。 F1=Fxi，F2=Fyj，F3=Fzk F=Fxi+F

7、yj+Fzk 222 cos,cos,cos, xyz y xz FFFF F FF FFF F iF jF k 5.汇交力系合成的解析法汇交力系合成的解析法 xnxxxRx FFFFF. 21 ynyyyRy FFFFF. 21 22 RyRxR FFF RRyR RRxR FF FF /),cos( /),cos( jF iF 合力在某一轴上的投影，等于各个合力在某一轴上的投影，等于各个 分力在同一轴上的投影的代数和。分力在同一轴上的投影的代数和。 合力的大小：合力的大小： 方向：方向： 作用点：作用点：为该力系的汇交点为该力系的汇交点 22 22 11 tg,tgtg xy yy xx

8、RRRXY RRY RRX 合力投影定理：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分合力在任一轴上的投影，等于各分 力在同一轴上投影的代数和。力在同一轴上投影的代数和。 平面时：平面时： 例例2-2 已知图示平面共点力系，求此已知图示平面共点力系，求此 力系的合力。力系的合力。 解：用解析法解：用解析法 1234 1234 22 cos30cos60cos45cos45129.3 sin30sin60sin45sin45112.3 171.3 cos0.7548 cos0.6556 40.99 ,49.01 Rx ix Ry iy RRxRy Rx R Ry R FFFFFF FFFFFF

9、FFF F F F F N N N 2-2 汇交力系的平衡条件汇交力系的平衡条件 三力平衡汇交定理：三力平衡汇交定理：当刚体在同一平面内作当刚体在同一平面内作 用线互不平行的三个力作用下平衡时，这三用线互不平行的三个力作用下平衡时，这三 个力的作用线必汇交于一点。个力的作用线必汇交于一点。 注意：注意：三力作用线汇交于一点只是刚体在平面三力作用线汇交于一点只是刚体在平面 互不平行三力作用下平衡的互不平行三力作用下平衡的必要条件，而不是充必要条件，而不是充 分条件分条件，也就是说作用于刚体上同平面互不平行，也就是说作用于刚体上同平面互不平行 三力作用线汇交于一点，刚体不一定平衡。三力作用线汇交于

10、一点，刚体不一定平衡。 汇交力系平衡必要充分条件是：汇交力系平衡必要充分条件是：合力等于零合力等于零 即：即： F0 1.几何条件几何条件 力多边形自行封闭。力多边形自行封闭。 2.解析条件解析条件 力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别 等于零。等于零。 即：即： Fx0， Fy0， Fz0 A A 6060 P P B B 3030 a aa a C C (a)(a) N NB B (b)(b) B B N NA A D D A A C C 6060 3030 P P E E P P N NB B N NA A 6060 3030 H H K K

11、(c)(c) 解：解： (1) (1) 取梁取梁AB AB 作为研究对象。作为研究对象。 (4) (4) 解出：解出：NA=Pcos30NA=Pcos30 =17.3kN=17.3kN，NB=Psin30NB=Psin30 =10kN=10kN (2) (2) 画出受力图。画出受力图。 (3) (3) 应用平衡条件画出应用平衡条件画出P P、NA NA 和和NB NB 的闭合力三角形。的闭合力三角形。 例题例题 水平梁水平梁AB AB 中点中点C C 作用着力作用着力P P，其大小等于，其大小等于20kN20kN，方向与，方向与 梁的轴线成梁的轴线成6060角，支承情况如图角，支承情况如图(a

12、)(a)所示，试求固定铰链支座所示，试求固定铰链支座A A 和活动铰链支座和活动铰链支座B B 的反力。梁的自重不计。的反力。梁的自重不计。 解：解：研究研究AB杆杆 画出受力图画出受力图 列平衡方程列平衡方程 解平衡方程解平衡方程 0 X 0 Y 045coscos 0 CDASR 045sinsin 0 CDA SRP 例例2-3 2-3 已知已知 P P=2kN =2kN 求求S SCD CD , ,R RA A 由由EB=BC=0.4m， 3 1 2.1 4.0 tg AB EB 解得：解得： kN 24. 4 tg45cos45sin 00 P SCDkN 16. 3 cos 45c

13、os 0 CDA SR ； 例题例题 如图所示的平面刚架如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。自重不计。 在在 B点作用一水平力点作用一水平力 P ,设设P = 20kN。 求支座求支座A和和D的约束反力。的约束反力。 P AD BC 2m 4m P AD BC RD RA 解解: 1、取平面钢架、取平面钢架ABCD为研究对象为研究对象, 画出受力图。画出受力图。 P AD B C RD RA 2、取汇交点、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：为坐标原点，建立坐标系： tg = 0.5 cos = 0.89 sin = 0.447 X = 0 P +RA cos = 0 RA = - 22.36

14、 kN Y= 0RA sin +RD = 0 RD =10 kN x y 4m 2m 负号说明它的实际方向负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。和假设的方向相反。 3、列平衡方程并求解：、列平衡方程并求解： 解：研究球受力如图，解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为选投影轴列方程为 PP-TND3Q60sin2Qsin-Q 0 2 由由得得 0 60 2 1 2 cos 2 1 P P T T 由由得得 0 X 0 Y 0cos 12TT 0Qsin 2 D NT 例例 图示吊车架，已知图示吊车架，已知P，求各杆受力大小求各杆受力大小。 解：解： 1、研究对象：、研究对象： 整体整体 或铰链

15、或铰链A AB S AC S P AAB S AC S 60 2、几何法：、几何法： P AB S AC S 60 SAC=P/sin600 SAB=Pctg600 3、解析法：、解析法： P A AB S AC S 60 Rx=X=0SAC cos600 SAB = 0 Ry=Y=0SAC sin600 P = 0 解得：解得： SAC=P/sin600 SAB= SAC cos600 =Pctg600 x y 例例2-5 已知已知P20kN，不计杆、轮自重，忽略滑轮，不计杆、轮自重，忽略滑轮 大小，求系统平衡时，杆大小，求系统平衡时，杆AB、BC受力。受力。 解：解：AB、BC杆为二力杆，

16、杆为二力杆， 取滑轮取滑轮B或点或点B，画受力图。，画受力图。 12 12 12 0 cos 60cos 300 7.321 0 cos 30cos 600 27.32 ix BA BA iy BC BC F FFF FFP F F FFF F kN kN 解 得 ： 解 得 ： 用解析法，建立坐标系。用解析法，建立坐标系。 例例2-6 已知已知F3kN，l=1500mm， h=200mm，忽略自重，求平衡时，压块，忽略自重，求平衡时，压块C对对 工件与地面的压力，工件与地面的压力，AB杆受力。杆受力。 解：解：AB、BC杆为二力杆杆为二力杆 取销钉取销钉B，用解析法。，用解析法。 0 cos

17、cos0 0 sinsin0 11.35 x BABC BABC y BABC BABC F FF FF F FFF FF kN 得： 解得： 0 cos0 11.25 22 0 sin0 1.5 x CBCx Cx y CBCy Cy C F FF FFl F h F FF F cotkN kN 选压块 解得： 解得： 例例2-7 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P P=20kN, =20kN, r r=60cm, =60cm, 欲拉欲拉 过过h h=8cm=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力的障碍物。求：在中心作用的水平力F F的大的大 小和碾子对障碍物的压力。小和碾子对障碍物的压力。

18、 577. 0 )( tg 22 hr hrr 又由几何关系： 选碾子为研究对象 取分离体画受力图 解：解： tgPF cos P N B 当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时 拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故 由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。 F=11.5kN , NB=23.1kN 所以所以 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用特殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说明： 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使