第2章2013先帝啊

1、自动控制原理 第二章系统数学模型 第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 n2-1 引言引言 n2-2 微分方程（时域模型）微分方程（时域模型） n2-3 传递函数（复域模型）传递函数（复域模型） n2-4 结构图和信号流图（图形描述）结构图和信号流图（图形描述） n2-5 小结小结 2-1 引言引言 n1.数学模型的概念数学模型的概念 描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系 统分析与设计的基础。统分析与设计的基础。 n2.数学模型的研究意义数学模型的研究意义 能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系

2、 统的系统的性能进行定量的分析和计算。统的系统的性能进行定量的分析和计算。 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统， 其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方 程来表示。以一个模型分析一类系统。程来表示。以一个模型分析一类系统。 n3.数学模型的种类数学模型的种类 静态模型：静态条件下各变量之间的关系静态模型：静态条件下各变量之间的关系 动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程 n4.数学模型的建立方法数学模型的建立方法 分析法（白箱模型）分析法（白箱模型） u对系统各部

3、分的运动机理进行分析，根据物理、化对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化 学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛 顿定律、热力学关系等等顿定律、热力学关系等等 实验法（黑箱模型）实验法（黑箱模型） u人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用 恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系 统辨识统辨识 综合法（灰箱法）综合法（灰箱法） u但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒，但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与

4、工程实验法一起用，较准确而方便可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便 地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往地建立系统的数学模型。实际控制系统的数学模型往 往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影 响较小的因素来简化，响较小的因素来简化， u但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简 化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确 性，使系统的数学模型过于复杂。性，使系统的数学模型过于复杂。 n数学模型的形式数学模型的形式 时域时域

5、(t): 微分方程微分方程 复数域复数域(s)：传递函数：传递函数 频域频域(w w)：频率特性：频率特性 三种数学模型之间的关系三种数学模型之间的关系 线性系统线性系统 传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性 拉氏拉氏 变换变换 傅氏傅氏 变换变换 2-2 控制系统时域模型控制系统时域模型 1.1.微分方程的建立微分方程的建立 例1.RLC电路：研究在输入电压ur(t)作用下， 电容上电压uc(t)的变化。 RL C ur(t) uc(t) i(t) 依据电学中的基尔霍夫定律依据电学中的基尔霍夫定律 ( ) ( )( )( ), 1 rc di t u tRi tLu t dt （

6、） 1 ( )( ),(2) C uti t dt C ( ) ( ) C dut i tC dt )( )()( )( 2 2 tu dt tud LC dt tdu RCtu C CC r (2)式两边求导消去中间变量式两边求导消去中间变量i(t) RL C ur(t) uc(t) i(t) ( )( )( )( ) CCCr LCutRCututu t 整理成规范形式整理成规范形式 n例2-2.机械平移系统 求在外力F(t)作用下， 物体的运动轨迹。 k F(t) x(t)位移 阻尼系数f 阻尼器 弹簧 m 首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受

7、的合外力等于物 体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力,现在 我们单独取出m进行分析 maF tx fF tkxF 而 )( )( 2 1 )()()()( )()( 21 txmtx ftkxtF maFFtFtxa 代入上式得 写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的 左边，输入写在方程右边，而且微分的次数左边，输入写在方程右边，而且微分的次数 由高到低排列由高到低排列 。 机械平移系统的微分方程为：机械平移系统的微分方程为： )()()()(tFtkxtx ftxm )()()()(tututuRCtuLC rCCC 这两个式子很相

8、似，故可用电子线路来模拟这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟 机械平移系统，机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，这也证明了我们前面讲到的， 看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律， 可用相同的数学模型来描述。（相似系统）可用相同的数学模型来描述。（相似系统） 讨论：讨论： )()()()(tFtkxtx ftxm n微分方程是控制系统最基本的数学模型，微分方程是控制系统最基本的数学模型， 要研究系统的运动，必须列写系统的微分要研究系统的运动，必须列写系统的微分 方程。方程。 n列写微分方程的基本步骤：列写微分方程的基本步骤： 确定系统的输入量和输出

9、量确定系统的输入量和输出量 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信 号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定 律，列出各环节的线性化原始方程。律，列出各环节的线性化原始方程。 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的 微分方程式，并且化为标准形式。微分方程式，并且化为标准形式。 例例3 试求电枢控制直流电动机的微分方程。试求电枢控制直流电动机的微分方程。 电枢电压电枢电压ua(t)作为输入量，电机转速作为输入量，电机转速w wm(t)作为输作为输 出量出量. Ra La 分

10、别是电枢电路的电阻和电感；分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是是 折合到电动机轴上的总负载转矩。折合到电动机轴上的总负载转矩。 m w 负载负载 La Ra + - Ea + + - - SM Jmf m ua uf + + - - i a （1）根据基尔霍夫定律 电枢绕组的电压平衡方程式为 )()( )( )(tEtiR dt tdi Ltu aaa a aa )()(tCtE mea w Ce是反电势系数（伏是反电势系数（伏/（弧度（弧度/秒）秒） )()()(tEtiRtu aaaa 通常通常La很小，可以忽略不计，那么很小，可以忽略不计，那么 为转矩系数（牛米/安） )()(tiCtM

11、amm m C （2） 产生电磁转矩产生电磁转矩 Mm与电枢电流成正比：与电枢电流成正比： )()()( )( tftMtM dt td J mmcm m m w w 电机轴上的转矩平衡方程式为电机轴上的转矩平衡方程式为 )()()(tEtiRtu aaaa m m a C tM ti )( )( )()()( )( tftMtM dt td J mmcm m m w w )()(tCtE mea w 代入式：代入式： 令 为直流电动机的传递系数 为直流电动机的时间常数 所以直流电机的运动方程为 )()()()( )( tMRtuCtCCRf dt td JR caammmebm m ma w

12、 w meam m CCRf C K 1 meam ma m CCRf JR T )()()( )( 21 tMKtuKt dt td T cam m m w w meam a CCRf R K 2 2. 2. 控制系统的微分方程控制系统的微分方程 n例3.位置随动系统的数学模型微 分方程 r c u SM放大器 负载 转动惯量JL 粘性摩擦fL TG Ra La Z1 Z2 + - if + - u a u t u E 任务是控制机械负载，使其位置与输入手柄 的位置相协调。 解：首先确定总输入r 总输出 c n（1）电位器对也称为电桥，由完全相 同的两个电位器对组成。 作用：用来检测输入r

13、与输出c之间的角偏 差，是控制系统中常用的误差检测器之一。 )()(tktu rr )()(tktu cc )()()()(tkttktu cr n（2）晶体放大器（控制系统中常用的放大 元件，包括电压放大和功率放大两部分）。 在本题中，放大器的输入电压为u，等于电 位器对的输出电压u与测速发电机的反馈电 压ut之差 输出电压为ua 晶体放大器的特性为： )()()(tututu t u ua 0 由于随动系统总是工作在原点附近的小偏 差范围内，故可以认为放大器工作在线性 段，而大输入信号时出现的饱和非线性可 以忽略，从而得到简化的数学模型 为放大器增益 n（3）.直流测速发电机（是控制系统中

14、常用 的校正元件，常与电机同轴安装，用来测 量电机轴的角速度） 它的输入是电机轴的角速度 它的输出是电压 它与角速度成正比。 )()(tuktu aa a k dt td t m m )( )( w )(tu t 所以测速发电机的运动方程为： 为测速发电机的传递系数 n（4）.电枢控制式直流电动机（它是控制系 统中应用最广泛的执行元件） 它的输入电压为 ， 输出为电机轴的转 角 。 dt td ktu m tt )( )( t k a u m 令 为直流电动机的传递系数 为直流电动机的时间常数 所以直流电机的运动方程为 )( )( )( )( 2 2 tuC dt td CkfR dt td

15、JR am m mbb m a mba m m CkfR C k mba a m CkfR JR T )( )()( 2 2 tuK dt td dt td T am mm m n（5）减速器 设主动轮和从动轮的角速度 和齿数分别为wm，z1和wc，z2，显然一级减 速器的减速比为i = wm /wc =z1/z2 ，于是减速 器的运动方程为 位置随动系统的原理性方框图 )( 1 )(t i t mc r m c t u u a uu 电桥放大器直流电机 减速器 测速机 - - 各元件微分方程 )( 1 )( )( )()( )( )( )()( )()( 2 2 t i t tuk dt t

16、d dt td T dt td ktu tuktu tktu mc am mm m m tt aa 减速器 电机 测速机 放大器 电桥 )()()(ttt cr )()()(tututu t n消去中间变量得到描述位置随动系统运动 的微分方程 式中增益 阻尼系数 折算后电机轴上的总等效转动惯量 )()( )()( 00 2 2 t J k t J k dt td J F dt td rc cc a ma iR Ckk k 0 a mta a ma R Ckk R Ck fF 2 1 2 1 i J JJ 例例4试列写速度控制系统的微分方程试列写速度控制系统的微分方程 K1 K2 SM 减减 速

17、速 负负 载载 测速机测速机 ui uf w w w wm ua R1 R1 R1 R2R C - + - + + - 2. 2. 控制系统的微分方程控制系统的微分方程 （1）系统输入变量）系统输入变量ui，输出变量，输出变量w w （2）绘制系统方块图）绘制系统方块图 1级运放级运放2级运放级运放功放功放电机电机减速箱减速箱 测速箱测速箱 ui uf ue u1 u2ua w wmw w （3）列写各环节微分方程）列写各环节微分方程 （a）第）第1级运放级运放 111121 (),/ eif uKuKuuKRR （b）第）第2级运放（级运放（RC比例微分放大电路）比例微分放大电路） 1 22

18、1221 (),/, du uKuKRRRC dt （c）功率放大器）功率放大器 32a uKu （d）直流电动机）直流电动机 )()()( )( 21 tMKtuKt dt td T cam m m w w （e）减速箱）减速箱 itt m /)()(ww （f）测速机）测速机 )()(tKtu tf w （4）消去中间变量，整理得：）消去中间变量，整理得： )()( )( )( )( tMKtuK dt tdu Kt dt td T c c i g i gm m m w w tm tmm m KKKKKi KKKKKiT T 321 321 tm tm g KKKKKi KKKKK K 3

19、21 321 tm m g KKKKKi KKKK K 321 321 tm c c KKKKKi K K 321 其中，其中， )()()()( )()()()( 1 1 1 10 1 1 1 10 trbtr dt d btr dt d btr dt d b tcatc dt d atc dt d atc dt d a mm m m m m nn n n n n 线性定常系统数学模型的一般形式线性定常系统数学模型的一般形式 系统 r输入c输出 3.线性系统的性质线性系统的性质 n1）定义）定义 如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的 系统就是线性系统 具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件

20、。 n2）性质：满足叠加原理）性质：满足叠加原理 叠加性叠加性 齐次性齐次性 设元件输入为设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t)， 对应的输出为对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t) 如果如果 r(t)=r1(t)+r2(t)时，时，c(t)=c1(t)+c2(t) 满足满足迭加性迭加性 如果如果 r(t)=ar1(t)时，时，c(t)=ac1(t) 满足满足齐次性齐次性 a为任意实常数。为任意实常数。 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件 n3）叠加原理的意义）叠加原理的意义 对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究对线性系统可以应用迭加性和齐

21、次性，对研究 带来了极大的方便。带来了极大的方便。 迭加性：迭加性：欲求系统在几个输入信号和干扰信号欲求系统在几个输入信号和干扰信号 同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单 独求响应，然后加起来就是总响应。独求响应，然后加起来就是总响应。 齐次性表明齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以 采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、 单位斜坡等）对系统进行分析单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题简化了问题

22、 4. 4. 非线性系统的线性化非线性系统的线性化 n1）实际物理系统都是非线性的）实际物理系统都是非线性的 n2）常见的非线性）常见的非线性 0 0 0 输入 输出 输入 输出 输入 输出 a b 饱和（放大器） 死区（电机） 间隙（齿轮） n3）线性化方法）线性化方法 非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近似地 转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简 化，有很大的实际意义。 方法一：忽略弱非线性环节 如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围 以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略 方法二：偏微法(小偏差法，切线法，增量线性化法) 假设控制系统的整个调节过程中，各个元件

23、的输入量和 输出量只是在平衡点附近作微小变化，而这段区域是 线性的。符合许多控制系统实际工作情况的。 0 x y 饱和（放大器） y0 x0 y=f(x) A(x0,y0) A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微， 则可将函数在平衡点附近展开成泰勒级数 忽略二次以上的各项，上式可以写成 这就是非线性元件的线性化数学模型 2 0 2 2 00 )( ! 2 1 )()( 0 0 xx dx yd xx dx dy yxfy x x xky 0 yyy 0 xxx 0 x dx dy k n方法三：平均斜率法 如果一非线性元件输入输出关系如图所示 此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得 线性

24、化方程为 kxy 1 1 x y k 0 x y x1 y1 -x1 -y1 (死区)电机 注意：这几种方法只适用于一些非线性程 度较低的系统，对于某些严重的非线性， 如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描 述函数法进行分析。 0 继电特性 0 饱和特性 n例例4：水位自动控制系统，输入量为：水位自动控制系统，输入量为Q1,输输 出量为水位出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的，求水箱的微分方程，水箱的 横截面积为横截面积为C，R表示流阻。表示流阻。 阀门阀门 水水 H(t)H(t) Q Q1 1 Q Q2 2 Q Q1 1单位时间进水量单位时间进水量 Q Q2 2单位时间出水量单位时间出水

25、量 0 2010 Q Q 此时水位为此时水位为H H 0 0 解：解：dt时间中水箱内流体增加时间中水箱内流体增加(或减少或减少) CdH 应与水总量应与水总量 (Q1 Q2)dt相等。即：相等。即： CdH =(Q1 Q2)dt R H Q 2 R 1 21 d d QQ t H C 据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比， 则有则有 其中其中 为比例系数。为比例系数。 显然上式为非线性关系，在工作点(Q10,H10) 附近进行台劳级数展开。取一 次项得： )( 2 1 0 0 202 HH RH QQ RHR 0 2 1 d d QRH

26、t H RC 为流阻。则为流阻。则 于是水箱的线性于是水箱的线性 化微分方程为化微分方程为 记记 )( 1 0202 HH R QQ )( 1 d d 0201 HH R QQ t H C 2-2复域数学模型：传递函数复域数学模型：传递函数 n时域数学模型：微分方程时域数学模型：微分方程 优点：直观，易于分析系统响应优点：直观，易于分析系统响应 缺点缺点: 结构改变或者参数变化时，必须重新列结构改变或者参数变化时，必须重新列 写微分方程，不便于系统分析和设计写微分方程，不便于系统分析和设计 n复数域数学模型：传递函数复数域数学模型：传递函数 经典控制理论中最基本最重要的概念经典控制理论中最基本

27、最重要的概念 n补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换）补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换） 1.拉氏变换的定义拉氏变换的定义 n设函数设函数f( (t t) )当当t t=0=0时有定义，而且积分时有定义，而且积分 存在，则称存在，则称F(F(s) )是是f f( (t t) )的的 拉普拉斯变换，简称拉氏变换。拉普拉斯变换，简称拉氏变换。 记法记法 f( (t t) )称为称为F(s)F(s)的拉氏反变换的拉氏反变换 记为记为 0 )()(dtetfsF st )()(tfLsF )()( 1 sFLtf n2.常用函数的拉氏变换常用函数的拉氏变换 (1)例例1.求阶跃函数求阶跃函数f(t)=A1

28、(t)的拉氏变换。的拉氏变换。 单位阶跃函数单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为 。 (2)例例2.求单位脉冲函数求单位脉冲函数f(t)= (t) 的拉氏变换。的拉氏变换。 s A e s A dtAesF stst 0 0 )( 1) ! 2! 1 11 ( 1 )1 ( 1 11 )()( 22 00 0 0 0 0 0 limlim limlim ss s e s e s dtedtetsF s ststst s 1 n （3）例）例3.求指数函数求指数函数 f(t)=e-at 的拉氏变换的拉氏变换 n几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换 as e as dtedtee

29、sF tastsastat 11 )( 0 )( 0 )( 0 f(t)F(s)f(t)F(s) (t)1sinw wt 1(t)1/scosw wt t(t)1/s2e-at sinw wt e-at1/(s+a)e-at cosw wt )( 22 w w s )( 22 ws s 22 )(w w as 22 )(w as as n3.拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 (1)线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏 变换之和。变换之和。 (2)微分性质微分性质 若若 ，则有，则有 f(0)为原函数为原函数f(t) 在在t=0时的初

30、始值时的初始值。 )()()()( 2121 tfbLtfaLtbftafL )()(sFtfL)0()()(fssFtfL 证：根据拉氏变换的定义有证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换原函数二阶导数的拉氏变换 依次类推，可得到原函数依次类推，可得到原函数n阶导数的拉氏变换阶导数的拉氏变换 ) 0()( )()()()( 0 00 fssF etfdtetfsdtetftfL ststst )0()0()( )0()0()()0()()( 2 fsfsFs ffssFsftfsLtfL ) 0 () 0 () 0 ()()( ) 1(21)( nnnnn ffsfssFstfL

31、(3)积分性质积分性质 若若 则则 式中式中 为积分为积分 当当t=0时的值。时的值。 证：设证：设 则有则有 由上述微分定理由上述微分定理 dttfth)()( )()(sFtfL s f s sF dttfL )0()( )( )1( dttf)( ) 0( ) 1( f )()(tfth )0()()(hthsLthL )0( 1 )( 1 )0( 1 )( 1 )0( 1 )( 1 )( )1( f s sF s h s tfL s h s thL s thL 即：即： 同理，对同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为的二重积分的拉氏变换为 若原函数若原函数f(t)及其各重积分的初始值都

32、等于及其各重积分的初始值都等于0 则有则有 即原函数即原函数 f(t)的的n重积分的拉氏变换等于其象重积分的拉氏变换等于其象 函数除以函数除以 。 s f s sF dttfL )0()( )( )1( )( 1 )(sF s dttfL n n )0( 1 )0( 1 )( 1 )( )2()1( 22 2 f s f s sF s dttfL n s （4）.终值定理终值定理 原函数的终值等于其象函数乘以原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。的初值。 证：由微分定理，有证：由微分定理，有 等式两边对等式两边对s趋向于趋向于0取极限取极限 )(lim)(lim 0 ssFtf st )0()

33、()()( 0 fssFdtetftfL st )(lim)(lim )0()(lim)0()(lim )0()(lim)()( )(lim)(lim 0 00 0 0 00 00 ssFtf fssFfssF ftftfdttf dtetfdtetf st ss t st s st s 右边 左边 注：若注：若 时时f(t)极限极限 不存在，不存在， 则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦 函数就不能应用终值定理。函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理：初值定理： 证明方法同上。只是要将证明方法同上。只是要将 取极限。取极限。 (6)位移定理：位移定理：

34、a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延实域中的位移定理，若原函数在时间上延 迟迟 ，则其象函数应乘以，则其象函数应乘以 t)(limtf t )(lim)(lim 0 ssFtf st )()(sFetfL s s e s b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， 原函数应乘以原函数应乘以 即：即： (7)时间比例尺定理时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍， 则象函数及其自变量都增加（或减小）同则象函数及其自变量都增加（或减小）同 样倍数。即：样倍数。即： 证：证： )()(asFtfeL at )()

35、(asaF a t fL 0 0 ( )( )/, ( )() st sa tt L ffedtt a aa feadaF as ,令 则原式 at e (8)卷积定理卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象 函数的乘积。函数的乘积。 即即 证明：证明： )()()()( 21 0 21 sFsFdftfL t 0 21 0 21 1 0 0 21 0 21 )()( 1)()()( 0)( 1)( )()()()( dfttfdftf ttft dtedftfdftfL t st tt 时， 即得证。 则令 )()()()( )()( )()( ,

36、)(1)()( )()(1)( )()( 12 0 1 0 2 0 )( 1 0 2 0 21 0 1 0 2 00 21 0 21 sFsFdefdef defdf dftfL t dtettfdf dtedfttf dftfL ss s t st st t 4.拉氏反变换拉氏反变换 1）定义：从象函数）定义：从象函数F(s)求原函数求原函数f(t)的运算称为的运算称为 拉氏反变换。记拉氏反变换。记 。 由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是实常数，而且大于是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变直接按上式求原函数太复

37、杂，一般都用查拉氏变 换表的方法求拉氏反变换，但换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能必须是一种能 直接查到的原函数的形式。直接查到的原函数的形式。 )( 1 sFL )0()( 2 1 )()( 1 tdsesF j sFLtf jC jC st 若若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要不能在表中直接找到原函数，则需要 将将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部展开成若干部分分式之和，而这些部 分分式的拉氏变换在表中可以查到。分分式的拉氏变换在表中可以查到。 例例1： 例例2：求：求 的逆变换。的逆变换。 解： ab ee tf bsasabbsas sF btat )( )

38、11 ( 1 )( 1 )( 则 t etsFLtf sssss sF 1)()( 1 111 ) 1( 1 )( 1 22 ) 1( 1 )( 2 ss sF 例3. tt teetf sss sF cba cssbssa s c s b s a sF ss sF 1)( )1( 1 1 11 )( 1, 1, 1 1)1()1( )1(1 )( )1( 1 )( 2 2 2 2 对应项系数相等得 则 解： 的逆变换 2）. 拉式反变换拉式反变换部分分式展开式的求法部分分式展开式的求法 n情况一情况一:F(s) 有不同极点有不同极点,这时这时,F(s) 总能展总能展 开成如下简单的部分分式之

39、和开成如下简单的部分分式之和 )( )( )( )( 1 1 1 1 1 10 nm asasas bsbsbsb sD sM sF nn nn mm mm n n ps c ps c ps c sF 2 2 1 1 )( (1,2, )( )0, ( ) () ( ) i i iiisp p inD s M s ccsp D s 式中是的根 是常数, 321 )3)(2)(1( 1 )(:1 321 s c s c s c sss sF例 ttt s s s eeetf sss sF s sss c s sss c s sss c 32 33 22 11 10 1 15 1 6 1 )( 3

40、 1 10 1 2 1 15 1 1 1 6 1 )( 10 1 )3( )3)(2)(1( 1 15 1 )2( )3)(2)(1( 1 6 1 )1( )3)(2)(1( 1 n情况2:F(s)有共轭极点 例2：求解微分方程 1) 0() 0(, 054 yyyyy 为零）拉氏变换（初始条件不则微分方程两边同时取 tetey ss s s s s s ss s sF sFfssFfsfsFs tt sin3cos 1)2( 3 1)2( 2 1)2( 32 1)2( 5 54 5 )( 0)(5)0(4)(4)0()0()( 22 22 222 2 n情况3:F(s)有重极点,假若F(s)

41、有L重极点 , 而其余极点均不相同。 那么 1 1 )( )( )( )( )( )( )()()( )( )( 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ps l l ps l l n n l l l l l l ps sD sM ds d b ps sD sM b ps c ps c ps b ps b ps b sD sM sF 式中 1 p 仍按以前的方法计算系数, )( )( )( )!1( 1 )( )( )( ! 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 nl ps l l l ps l i i il cc ps sD sM ds d l b ps sD sM ds d i b 的

42、其余互异极点。是式中0)(), 1( )( )( )( sDnljp ps sD sM c j psjj j 1)( ) 1 () 1( ) 1( 1 1) 1( ) 1( 1 1) 1() 1() 1( 1 )( . 0)0()0()0(, 133:3 1 2 1 1 3 3 2 1 3 3 3 41 2 2 3 3 3 )3( s s s s s sds d s ssds d b s ss b s c s b s b s b ss sF yyyyyyy 求微分方程 例 ttt s s eteety ssss sF s ss c sb 2 23 0 3 1 3 1 2 1 1 1 1 ) 1

43、( 1 ) 1( 11 )( 1 ) 1( 1 1)2( ! 2 1 n如果不记公式如果不记公式,可用以下方法求解可用以下方法求解 1, 1, 1, 1 1)3( )23( 1) 1() 1() 1( 1) 1() 1() 1( 1 )( 321 321 2 32 3 3 3 2 321 3 3 2 2 3 1 3 bbba asbbba sbbasbas ssbssbsbsa s b s b s b s a ss sF 也可得解。也可得解。 1.传递函数定义传递函数定义 n定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与 输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递

44、函数，用输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用 G(s)表示。表示。 n设线性定常系统（元件）的微分方程是设线性定常系统（元件）的微分方程是 其中其中c(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)为系统输入为系统输入 )()()()( )()()()( 1 1 1 10 1 1 1 10 trbtr dt d btr dt d btr dt d b tcatc dt d atc dt d atc dt d a mm m m m m nn n n n n 零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，零初始条件下，对上式两边取拉氏变换， 得到系统传递函数为：得到系统传递函数为： nn nn mm mm

45、asasasa bsbsbsb sR sC sG 1 1 10 1 1 10 )( )( )( 1 011 (1)( ) ( )0 nn nn N sa sasasa N s 注： 即是系统的特征方程。 (2)分母中分母中s的最高阶次的最高阶次n即为系统的阶次。即为系统的阶次。 (4)物理可实现系统：因为组成系统的元部件或 多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等 于分子次数，即 ,若mn,我们就说这 是物理不可实现的系统。 012 012 ()()()( ) 3( ) ( )()()() (1,2)( )0 (1,2)( )0 m n i i b szszszM s G s N sa s

46、pspsp sz imM s sp inN s （）零极点描述： 是的根，称为传递函数的零点， 是的根是传递函数的极点。 mn 例1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 ， r u c u R C t i )()()(tutRitu cr dt tdu Cti C )( )( )(ti 则微分方程为：则微分方程为： )()( )( tutu dt tdu RC rc c 可用方框图表示 )(sG )(sR)(sC 1 1 RCs )(sur )(suc 对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：对上式进行零初始条件下的拉氏变换得： 1 1 )( )( )( RCssu su sG r

47、 c 2.传递函数性质传递函数性质 (1)传递函数与线性定常微分方程一一对应。传递函数与线性定常微分方程一一对应。 (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函 数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初 始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描 述了系统的固有特性。）述了系统的固有特性。） (3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且 内部许多中间变量的变化情况无法反映。内部许多中间变量的变化情况无法反映。 (4)如

48、果存在零极点对消情况，传递函数就不如果存在零极点对消情况，传递函数就不 能正确反映系统的动态特性了。能正确反映系统的动态特性了。 (5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输只能反映零初始条件下输入信号引起的输 出，不能反映非零初始条件引起的输出。出，不能反映非零初始条件引起的输出。 r u c u 1 C 2 C 1 R 2 R 1 i 2 i 1 u 例例2.双双T网络网络 解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微 分方程组：分方程组： dtti c tu ti R tutu dttiti c tu ti R tutu c c r )( 1 )( )( )

49、()( )()( 1 )( )( )()( 2 2 2 2 1 21 1 1 1 1 1 方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得： )( 1 )( )( )()( )()( 1 )( )( )()( 2 2 2 2 1 21 1 1 1 1 1 sI sC su sI R susu sIsI sC su sI R susu C C r 1)( 1 )( )( 212211 2 2211 sCRCRCRsCRCRsu su r C 传递函数为消去中间变量后，得到 方法二：用复阻抗比： 1)( 1 1 11 1 11 ) 1 ( 1 1 )( )( 212211

50、 2 2121 2 2 21 1 2 2 1 2 2 1 1 sCRCRCRsCCRR sC R sCsC sC sC R sC sC R sC R su su r C 2 2 21 1 2 2 1 1 1 11 1 ) 1 /( 1 )( )( sC R sCsC SC sC R sC R su su r c 注意：双T网络不可看成两个RC网络的串 联，即： )1)(1( 1 )( )( 1 1 )( )( , 1 1 )( )( 2211 22211 2 sCRsCRsu su sCRsu su sCRsu su r c c r 得 R1R2 urC1C2 ucu2 与双T网络相比少一个交

51、叉项R1C2S，这就是 负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必 须作为一个整体来求传递函数。当后一个RC 网络接到C1两端时，u2已不再是原来的u2，也 就是说R1中的电流=C1中的电流+R2中电流， 不再等于C1中的电流。只有当第一个RC网络 的负载阻抗为无穷大时，双T网络的传递函数 才等于两个RC网络的串联。 例3：位置随动系统 t u r m c u a uu 电桥放大器直流电机 减速器 测速机 - - 各元件微分方程: )( 1 )( )( )()( )( )( )()( )()( 2 2 t i t tuk dt td dt td T dt td ktu tuktu tktu mc

52、 am mm m m tt aa 减速器 电机 测速机 放大器 电桥 零初始条件下的拉氏变换: )( 1 )( )()()( )()( )()( )()( 2 s i s suksssT ssksu suksu sksu mc ammm mtt aa 减速器 电机 测速机 放大器 电桥 各元件传递函数: is s sG sTs k su s sG sk s su sG k su su sG k s su sG m c m m a m t m t a a 1 )( )( )( )1()( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( 5 4 3 2 1 减速器 电机 测速机

53、放大器 电桥 由各元部件传递函数，消去中间变量，得系 统的传递函数为： 2 1 2 1 0 0 2 0 , )( )( )( i J JJ R Ckk R Ck fF iR Ckk k J k s J F s J k s s sG a mta a ma a ma r c 效的转动惯量折算后电机轴上的总等 阻尼系数增益 例例4：求图：求图2-18所示运算放大器的传递函数。所示运算放大器的传递函数。 图中图中Rf是反馈电阻，是反馈电阻，if是反馈电流，是反馈电流，Ri是输入是输入 电阻，电阻，ur和和ir是输入电压和电流，是输入电压和电流，uc是输出电是输出电 压压,i0是进入放大器的电流。是进入

54、放大器的电流。 ur uc Rf Ri R u i0 ir if - + n 运算放大器有同相运算放大器有同相(+)和反相和反相(-)两个输入端。带两个输入端。带 负号的输入端为反相输入，此输入所产生的输出负号的输入端为反相输入，此输入所产生的输出 与输入极性相反。带正号的输入为同相输入，它与输入极性相反。带正号的输入为同相输入，它 所产生的输出极性不变。两个输入有差分作用，所产生的输出极性不变。两个输入有差分作用， 即输出电压与两个输入端的电压差成正比。运算即输出电压与两个输入端的电压差成正比。运算 放大器常用的是反相输入端，它利用负反馈原理，放大器常用的是反相输入端，它利用负反馈原理， 把

55、一部分与输入信号反相的输出信号送回输入端，把一部分与输入信号反相的输出信号送回输入端， 同相输入端与同相输入端与ur和和uc共地。共地。 n运算放大器具有高增益运算放大器具有高增益k=105109,而通常而通常uc小于小于 10伏，因为伏，因为u=-uc/k,所以运算放大器的输入电压所以运算放大器的输入电压 u近似等于近似等于0，这种反相输入端电位为，这种反相输入端电位为0的现象，的现象， 是运算放大器的共同特点，叫做是运算放大器的共同特点，叫做“虚地虚地” n因为运算放大器的输入阻抗很高，所以流入放大器因为运算放大器的输入阻抗很高，所以流入放大器 的电流的电流i0也近似等于也近似等于0。这个

56、现象叫做。这个现象叫做“虚断虚断”， ir=if , 由此导出：由此导出： ， 即即 ，所以运算放大器的传递函数为，所以运算放大器的传递函数为 n 这个结论可以推广为：运算放大器的传递函数等于这个结论可以推广为：运算放大器的传递函数等于 反馈复阻抗与输入复阻抗之比。反馈复阻抗与输入复阻抗之比。 f c i r R uu R uu i f r c R R su su )( )( f c i r R u R u RC网络 与 单容水槽 )()( )( tutu dt tdu RC rc c 水水 H(t)H(t) Q Q1 1 Q Q2 2 r u c u R C t i 1 RQH dt dH

57、RC 1 1 )( RCs sG 1 )( RCs R sG 双双T网络与双容水槽网络与双容水槽 r u c u 1 C 2 C 1 R 2 R 1 i 2 i 1 u 1)( 1 )( )( )( 212211 2 2211 sCRCRCRsCRCRsU sU sG r c ii QQ 0 110 HH 220 HH 110 QQ 220 QQ 1 R 2 R 1 C 2 C 21 2 21 1 1 QQ dt Hd CQQ dt Hd C i 2 2 2 1 21 1 R H Q R HH Q 2 2 1 2 1 12 2 1 2 1 11 1 R H R H R H dt Hd C R

58、H R H Q dt Hd C i )()()1( )()()() 1( 1 1 2 2 1 2 22 21111 sH R R sH R R sCR sHsQRsHsCR i 1)()( )( )( 122211 2 2211 22 sCRCRCRsCRCR R sQ sH sG i 1)()( )( )( 122211 2 2211 22 sCRCRCRsCRCR R sQ sH sG i 1)( 1 )( )( )( 212211 2 2211 sCRCRCRsCRCRsU sU sG r c 双容水槽双容水槽 双双T网络网络 2-4 结构图和信号流图结构图和信号流图 n1.结构图的概念

59、和基本组成结构图的概念和基本组成 （1）概念：将方框图中各时间域中的变量用）概念：将方框图中各时间域中的变量用 其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各 元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。 （2）基本组成：）基本组成： u方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的 函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信 号处处相同。 G(s) X(s)Y(s) u比较点： 综合点，相加点 加号常省略， 负号必须标出 u 引出点 一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与 原信号相等 u2.结构图的绘制结构图的绘

60、制 绘制双T网络的结构图 r u c u 1 1 sC 2 1 sC 1 R 2 R 1 i 2 i 1 u 2 2 2 1 2 1 211 1 1 1 1 )()( )()( )( 1 )()()( )()( )( sC sIsu R susu sI sC sIsIsu R susu sI C C r 画图时画图时 G(s) R(s)C(s) 从左向右列方程组从左向右列方程组 )()()(sCsGsR 将上页方程改写如下相乘的形式： )( 1 )( )( 1 )()( )( 1 )()( )( 1 )()( 2 2 2 2 1 1 1 21 1 1 1 su sC sI sI R susu