5无线电定位(第五章)

1、第五章 无线电定位无线电定位通常是指在地面上利用无线电波测定测量船艇至岸上控制点的距离或距离差，从而确定船艇位置。本章主要论述电磁波传播知识、定位原理、点位坐标计算等有关内容。5.1 电磁波传播5.1.1 电磁波的产生 根据麦克斯韦的电磁场理论，变化的电场在其周围空间感生磁场，并遵从如下规律： （51）同时变化的磁场在其周围空间感生电场，并遵从如下规律： （52） 式中：磁场强度；电位移矢量；电场强度；磁感应强度。 图 51 电磁波传播因此，若在空间某区域有变化的电场（或变化磁场），在其临近区域将产生变化磁场（或变化电场），这变化磁场（或变化电场）又在较远区域内产生新的变化电场（或变化磁场），

2、并在更远的区域内产生新的变化磁场（或变化电场）。这种变化电场和变化磁场交替产生，由近及远地在空间传播，形成电磁波。 如图51，电磁波在自由空间传播时，和互相垂直，且两者都与传播方向垂直。 图 52 电磁波及其参数的图示根据物理学中的概念，电磁波是一种随时间变化的正弦（或余弦）波。若设电磁波的初相角为，角频率为，振幅为，则有电磁波的数学表达式： （53）如果取为横轴，为纵轴，则上述关系可用图52来表示。若设电磁波的频率为，周期为，相位为，且当时初相位为，则：， ， （53）电磁波在一个振荡周期内的传播距离被称做波长，通常以表示。若以来表示电磁波的传播速度，则有如下关系： （54） 式中：的单位为

3、赫兹；的单位为米/秒；的单位为米。电磁波的分类可以根据频率或波长来划分。如表51所示。电磁波的频段和波段分类表 表51频 率（f）频段(缩写)波 长(l)波段名称10kHz-30kHz甚低频(VLF)30000m-10000m 甚长波30kHz-300kHz低频（LF）10000m-1000m 长 波300kHz-3MHz中频（MF）1000m-100m 中 波3MHz-30MHz高频（HF）100m-10m 短 波30MHz-300MHz甚高频(VHF)10m-1m 超短波300MHz-1GHz特高频(UHF)1m-30cm 微 波1GHz-2GHzL-段30cm-15cm2GHz-4GHz

4、S-段4GHz-8.2GHzC-段8.2GHz-12.4GHzX-段12.4GHz-18GHzKu-段18GHz-30GHz30GHZ-300GHz1cm-1mm300GHz-31013Hz1mm-0.01mm31013Hz-31014Hz红外线0.01mm-0.001mm31014Hz-31015Hz可见光0.001mm-0.0001mm31015Hz-31018Hz紫外线31018Hz-31021HzX-射线5.1.2 电磁波的传播特性一、大气层的构成通过大量观测资料的分析表明，大气在垂直方向的物理性质有很大的差异。根据温度、成分和电荷等物理性质的不同，大气按高度可分为对流层、同温层、电离

5、层和磁层等部分。对流层系指从地面到约11公里高范围内的大气底层。对流层与地面接触，从地面得到辐射热能，其温度一般随高度的上升而降低，平均每升高1公里降低约6.5C。而在水平方向上每100公里温度差一般不会超过1C。对流层具有很强的对流作用，云、雾、雨、雪、风等主要天气现象，均出现在其中。该层大气的组成，除含有各种气体元素外，还含有水滴、冰晶和尘埃等杂质，它们对电磁波的传播具有很大的影响。电磁波在对流层中的折射率略大于1，且随高度的增加逐渐减小，与大气密度的降低相应。同温层系指距地面约11公里到50公里范围内的大气。该层大气的温度约为-56C的恒定值，不随高度的增加而变化。同温层中风暴雷雨绝迹，

6、空气随高度的增加逐渐稀薄。同温层中的大气是属中性的，对电磁波的传播一般没有什么影响。 电离层位于地球大气层的顶部，约在50公里至700公里范围内。由于太阳紫外线的辐射，大气中的原子氧吸收了紫外线的能量，使得电离层的温度随高度的上升而迅速升高。同时，由于太阳和其它天体的紫外线等各种射线的作用，使该层的大气分子大部分发生电离，从而形成具有密度较高的带电粒子。电离的程度以单位体积的自由电子数来计算，称为电子密度。电子密度是不均匀的，一般将电离层分成D、E、F1 、F2 层，电子密度的大小决定于太阳辐射的强度和大气的密度，所以电离层随着太阳黑子的活动、一年四季、白昼、黑夜以及地点的不同而发生变化。实际

7、资料分析表明，电离层的电子密度，白昼约为黑夜的5倍；一年中冬季与夏季相差可达4倍；而太阳黑子活动高峰期的电子密度约为低峰期的4倍。 电离层以上的大气层称为磁层。二、电磁波的传播路径 在物理学中，电磁波的传播遵循下面三个基本规律：1. 在理想均匀介质中，电波以直线传播；2. 在理想均匀介质中，电波传播以恒定速度传播；3. 电磁波在两种不同介质的界面上必然产生反射。 在电子定位中，电磁波不是在真空中而是在大气层中传播的，电磁波在传播过程中必然产生反射、折射和散射，同时还有衰减和吸收。所以电磁波传播路径发生变化，并不总是以直线传播；电波的传播速度也会因电波的频率不同和传播路径的状态不同而发生变化，而

8、不再恒定，其三个基本规律也产生相应的变化。电磁波在大气中的传播路径如图53所示。一般来说，电磁波以天波和地波两种方式传播。天波包括电离层反射波和电离层透射波；地波包括地面反射波、直接波和地表波。 图53 电磁波传播路径 海测电子定位需要测定发射点与接受点之间的距离或距离差，在地面无线电定位系统中，一般依靠地波中的直接波和地表波进行定位；而在卫星定位系统中，则依靠天波中的电离层透射波进行定位。 用于海测无线电定位的电磁波频段一般在10KHz300MHz之间。通常按电磁波传播方式的不同，可将电磁波以频率30MHz为界化分为两大部分，频率低于30MHz的电磁波一般以直接波、地表波和电离层反射波等方式

9、传播；频率高于30MHz的电磁波一般以直接波、地面反射波、电离层透射波及对流层散射波等方式传播。 下面按照电磁波的频段详细叙述一下电磁波的传播路径。 在甚低频频段（10KHz 30KHz），例如欧米加全球定位系统（10KHz-13KHz），电磁波以地表波传播，除高山外，可以将地面看成是平滑的，衰减很小，该频段电波可以传播几千公里，甚至可用于水下潜艇的通讯与导航定位。 在低频频段（30KHz 300KHz），例如劳兰-CLoran-C（100KHz）和台卡（Decca）定位系统，该段电磁波仍以地表波传播为主，传播距离较远，但是在夜晚，在距发射台很远的地方可能出现电离层反射波与地表波相叠加，产生天

10、波干扰。 在中频频段（300KHz 3MHz），例如阿戈（ARGO）系统，该段电磁波以地表波方式传播，但由于地表摩擦使电波产生衰减，限制了发射台与接收台之间的距离，使其作用距离只有几百公里。白天，由于电离层对中频信号的强烈吸收，使中频电子定位系统在几百公里范围内可以收到稳定可靠的地波信号；但是在夜晚，由于电离层反射波的出现，往往在距发射台400公里左右出现天波与地波相叠加，形成天波干扰，特别在日出和日落时，信号非常不稳定，所以中频电子定位系统的作用距离都小于上述干扰区。 在高频频段（3MHz 30MHz），电磁波以直接波和地面反射波为主，作用距离也可达到几百公里。该段电磁波用于海上远距离通讯为

11、主，一般不用于海上电子定位。 在甚高频频段（30MHz 300MHz），电磁波以直接波传播为主，空气衰减较快，与可见光和红外线的传播相仿，受天气影响较大，例如大雾和潮湿天气等，传播的距离为可视距离。 电磁波传播的基本规律是低频波（长波）的传播距离远，但定位精度低；高频波（短波）的传播距离近，但定位精度高。5.1.3 电磁波的传播速度 由波动方程可知，在均匀介质中电磁波的传播速度可用下式表示： （55 ） 式中：为传播介质的介电系数；为传播介质的导磁系数。电磁波在真空中传播速度最快，与真空中的光速是一致的： （56） 式中：为真空介电系数；为真空导磁系数。 目前国际海道测量组织推荐的真空光速为2

12、99,792,458米/秒。 实际上，电磁波的传播空间并不是真空，而是在具有不同导电率的地球表面上和充满以大气为介质的空间中传播。电磁波在大气层中传播时，由于大气层的结构、温度、湿度、气压及电波频率等因素的不同，使得电磁波的传播速度随季节、地点、电波频率及天气等因素的不同而发生变化。一般把的比值称为介质的折射系数： = （57） 式中：r=/0为传播介质的相对介电系数； r=/0为传播介质的相对导磁系数。 由于介质的r和r都大于1，故n 1, v c ，即介质中电磁波的传播速度小于它在真空中的传播速度。在对流层中，虽有少量带电离子，但其对电磁波的传播几乎没有什么影响。所以对流层中的大气，实际上

13、是属中性的，对流层的折射系数与大气压力、温度和湿度关系密切。折射系数的确定可以通过实际测定，也可以采用近似公式计算获得。目前通常采用下式来近似计算对流层的折射系数n： n = 1+ （58） 式中：P为大气压强，单位为毫巴； e为水汽压，即水汽在大气中的分压强，单位为毫巴； t为大气温度，单位为摄氏。 例如：在标准状态下，t=150C，P=1013毫巴，相对湿度为70%时的水汽压e=12毫巴，代入（58）式：n = 1.000326911 故在标准状态下，电磁波在大气中的传播速度为： v = = 299,694,484.5(米/秒)5.2 无线电定位基础5.2.1 无线电定位系统的分类 A B

14、 RA RB P 图54 圆圆法一、按定位方式分类（一）圆圆法（两距离法）定位 如图54所示，A、B为岸上已知点（岸台），船台为P点，在船台P同时测得P点至两岸台A、B的距离分别为RA、RB，得到分别以A、B为中心，以RA、RB为半径的等距圆弧（距离等值线），以此来确定船艇（台）P的位置。 （二）双曲线法（距离差法）定位 S1 R1 Rm M P R2 S2 图55 双曲线法如图55所示，M、S1、S2为岸上已知点（岸台），其中M为主台，S1、S2分别为副1台和副2台，船台为P点。根据几何原理，到两固定点的距离差为常数的点的轨迹为双曲线。在船台P同时测得P点至两对岸台的距离差（Rm-R1）和（

15、Rm-R2），可得两条双曲线，求两条双曲线的交点来确定船台P的位置。 在应用无线电定位系统进行近程、中程和远程海洋测量定位中，主要采用测距法（圆圆法）和测距差法（双曲线法）来确定点位。相对应对采用圆圆法和双曲线法方式定位的无线电定位系统分别称为圆圆定位系统和双曲线定位系统。二、按定位原理分类 发射信号 P A r 反射信号 图56 测距原理 前面提到，在应用无线电定位系统进行近程、中程和远程海洋测量定位中，主要采用测距法（圆圆法）和测距差法（双曲线法）来确定点位。无论是测距还是测距差，其系统工作原理都可分为脉冲计时和相位比较两种： （一）脉冲计时工作原理1圆圆系统如图56所示，船台P向岸台A发

16、射无线电信号，岸台A接收到信号后，立即向船台发射反射信号，脉冲计时的工作原理就是测量发射信号的往返时间t，通过公式（5-9）来确定船台P与岸台A的距离r： （59） 式中：V为无线电波的传播速度； t为无线电信号在船台P和岸台A之间的往返时间。 若船台P同时测得两个以上的距离，即可解算出船台P的位置。 2双曲线系统 如图55所示，定位系统由主台M和副台S1、S2组成，主台M与副台S1称为波道，主台M与副台S2称为波道。两波道的工作原理基本相同。现以波道为例，说明双曲线脉冲计时测距差工作原理。一般主台M控制副台S1同时发射无线电信号，主台发射的无线电信号，经过距离Rm传播到船台P，若信号由主台M

17、至船台P的传播时间为tm，则可得到主台M至船台P的距离Rm： 同理，若信号由副台S1至船台P的传播时间为t1，则可得副台S1至船台P的距离R1： 则主台M和副台S1至船台P的距离差（波道距离差）R为： （510）对于波道可得： （511） 故可通过测量时间差来获得距离差。同时测得两个波道的距离差即可解算出船台P的位置。 （二）相位比较工作原理 相位比较工作原理就是通过测量船台与岸台的相位差来获取距离或距离差。 1相位差与距离的关系 如图55所示，船台P向岸台A发射无线电信号，岸台A接收到信号后，立即向船台发射反射信号。若船台P发射的信号为e： 式中：E为信号振幅； 为信号角速度，。 则经过岸台

18、A反射，在P点接收到信号与发射信号的相位变化（相位差）为： （512） 式中：V为电波的速度；为波长；t为信号在船台和岸台之间往返时间。 故可得距离r与相位差的关系式： （513） 利用（513）式，即可通过观测相位差获得距离值。若船台P同时测得两个以上的相位差，即可解算出船台P的位置。 2相位差与距离差的关系如图5-5所示，定位系统由主台M和副台S1、S2组成。现以波道为例，说明相位差与距离差之间的关系。在双曲线地面无线电定位系统中，通常是由主台M控制副台发射信号。若主台控制副台同时发射同频率、同相位的同步信号e： 则两岸台发出的信号的相位均为。若信号由主台M至船台P的传播时间为tm，则在P

19、点收到主台发来的信号的相位为： 同理，若信号由副台S1至船台P的传播时间为t1，则在P点收到副台S1发来的信号的相位为： 在P点，两信号的相位差为： （514） 或将（514）式改写为波道距离差： （515） 同理，波道距离差可写为： （516） 式中：为用为单位度量的相位差所对应的 值，称为相位周数；为波长，习惯上称为相位周值，即相位差一个相位周（2） 所对应的距离差的值，单位是“米/周”。 （515）式和（516）式即为相位差与距离差的关系式。从公式中可以看出，距离差与相位差成正比。 通过测量相位差来获得距离差。同时测得两个波道的距离差即可解算出船台P的位置。三、按作用距离分类 按作用距离

20、可分为近程、中程、远程和超远程定位系统。 （一）近程定位系统（0 40 公里）：近程定位系统多用微波频段或高频频段（3MHz 30MHz），电磁波以直接波和地面反射波为主，作用距离一般在视距以内，但有时也可达到几百公里。 （二）中程定位系统（40 150公里）： 中程定位系统多在中频频段（300KHz 3MHz），例如阿戈（ARGO）系统，“近导-4”系统等。该段电磁波以地表波方式传播，但由于地表摩擦使电波产生衰减，限制了发射台与接收台之间的距离，使其作用距离只有几百公里。白天，由于电离层对中频信号的强烈吸收，使中频电子定位系统在几百公里范围内可以收到稳定可靠的地波信号；但是在夜晚，由于电离层

21、反射波的出现，往往在距发射台400公里左右出现天波与地波相叠加，形成天波干扰，特别在日出和日落时，信号非常不稳定，所以中频电子定位系统的作用距离都小于上述干扰区。 （三）远程定位系统（150 - 2000公里）： 远程定位系统一般在低频频段（30KHz 300KHz），例如劳兰-CLoran-C（100KHz）和台卡（Decca）定位系统，该段电磁波仍以地表波传播为主，传播距离较远，但是在夜晚，在距发射台很远的地方可能出现电离层反射波与地表波相叠加，产生天波干扰。 （四）超远程定位系统（全球覆盖）： 超远程定位系统一般在甚低频频段（10KHz 30KHz），例如欧米加全球定位系统（10KHz-

22、13KHz），电磁波以地表波传播，除高山外，可以将地面看成是平滑的，衰减很小，该频段电波可以传播几千公里，甚至可用于水下潜艇的通讯与导航定位。5.3 定位计算 近程无线电定位中，岸台和测区通常在同一高斯投影带内，可直接在高斯平面上解算点位坐标。下面按照圆圆定位系统和双曲线定位系统分别介绍。5.3.1 距离换算一、斜距化为平距在高斯平面上解算点位，首先必须将实测的斜距D化为高斯平面距离S。 图57 斜距与平距如图57，HA，HB分别为岸台和船台的天线高，其平均高度为Hm，高度差为H，则有：，为平均高程水准面上的平距，为平均海面上的平距，为测区中部椭球面的平均曲率半径。由于，故下式成立： （517

23、） 根据相似关系： （518） （519） 由于，的值在公式（519）中很小，故可略去二次以上项： （520） 其中： (521)由（517）式和（519）式中可以看出，该项改正主要由平均高度和高度差决定，由于船台通常在海面上，故岸台高程是主要因素，如果岸台高程不高，该项改正可以忽略。二、平距化为高斯平面距离设平面距离改正数为，即，按投影长度比的定义,在高斯平面上P（x，y）点处： (522)故有：dr=mdS，对其积分，则有： (523)虽然值随地点的变化而变化，但当投影区域变化不大时，的变化是很缓慢的，故可采用近似积分公式即可达到精度要求，如采用辛普逊近似积分公式： （524）式中： 设，

24、代入上式： 则有： （525） 或 （526） 式中：椭球面的平均曲率半径由（521）式解算， y坐标应去掉带号并减去500公里。 算例已知：yA = 21 650 000m， yB = 21 625 000m，B = 3852，S=32210.10m 求：高斯平面距离r 解：， 5.3.2 圆-圆定位点位计算一、两距离定位点位计算如图58所示，已知岸台坐标m()、s()，测距系统测得P点至岸台的两个距离为和，经平面距离改正后平面距离为和，求定位点P的坐标()。设b为岸台基线长；为m台至s台的坐标方位角；为m台至定位点P的坐标方位角，a为PMS，由图58可以得出下式： (551) 图58 测距

25、定位计算 (527) (528) (529) （530） 则P点坐标()为： （531）可用下列公式作为检核计算： （532）a或 （532）b将计算得的()带入532（a）（b）式，算得和与和比较是否相同，判断计算是否有误。 算例 已知 2 883 005.4，21 140 173.2，149 036.432 993 306.2，21 187 866.4，144 584.71 求：P点的直角坐标()。 解： =120 170.33 =63.918 487 27 =23.383 276 59 =87.301 763 86 = 2 890 021.4 =21 289 044.4 检核：= 149

26、 036.43，0 S1 r1 S2 r2 p r3 r4 S3 rn S4 Sn 图59二、多距离定位点位计算如图（59）所示，设测得n个岸台至船台的距离，经平面距离改正化为，则可根据（150）式建立位置线误差方程式： （533）式中：为实测距离改正数；其中分别表示由P点近似坐标计算至各岸台的距离。，其中系数以下式计算： 解算上面位置线误差方程式可得： 则： 三、定位误差计算 （一）两距离定位误差计算根据第三章（340）式的定位中误差的普遍式计算： 式中：， 带入定位中误差的普遍式得： （米） （534）式中：为位置线交角；为测距中误差。 （二）多距离定位误差计算多距离点位误差计算可由第一章

27、（154）式计算。设为单位权中误差 则最或然点位中误差为： （m） 算例 已知 x1 = 3 571 200.85， y1 = 21 224 433.11， r1 = 8622.40 x2 = 3 570 319.63， y2 = 21 230 375.90， r2 = 3069.70 x3 = 3 565 515.77， y3 = 21 230 813.54， r3 = 6725.20 x4 = 3 564 817.22， y4 = 21 223 146.72， r4 = 12139.00 p点概略坐标为 xP = 3 571 865.56 yP = 21 233 029.85 求：P点的直

28、角坐标()。 解： ，故：， s2 r2 m rm p r1 s1 图5105.3.3 双曲线定位点位计算一、直角坐标与双曲线坐标 （一）由直角坐标计算双曲线坐标在实际工作中，经常需要将点的高斯平面直角坐标化算为其椭球面上的双曲线坐标。如图510所示，双曲线定位系统台链组合为m、s1、s2，已知岸台坐标m()、s1()、s2()和p点的平面直角坐标()，计算p点的双曲线坐标（jI，jII）可由下面三个步骤进行。1计算p点至岸台m、s1、s2的平面距离、和。其计算公式为： 2计算p点至岸台m、s1、s2的椭球面距离、和。 首先根据p点和岸台坐标，利用（550）式计算平面距离改正数rm、r1和 r

29、2，然后将平面距离、和化为椭球面距离、和： 3计算p点的双曲线坐标（jI，jII）。 p点的双曲线坐标一般是指双曲线定位系统所测的两个距离差的仪器显示值，其计算公式为： （535） 式中：为相位周值；Q为附加常数。（依仪器而定，如近导-4系统Q = 1000） （二）椭球面与高斯平面双曲线坐标的转换 在实际工作中，定位点p的双曲线坐标（jI，jII）一般是指双曲线定位系统所测的两个距离差的仪器显示值，其计算公式如上面（535）式所示。定位点p的双曲线坐标（jI，jII）实际上是定位点p在椭球面上的距离差。在实际计算中经常需要将椭球面双曲线坐标（jI，jII）化算为高斯平面双曲线坐标2a1，2a

30、2： （536） 式中：rm、r1和r2为P至三个岸台m、s1和s2的平面距离。下面以I波道为例推导其转换公式，由（536）式： （537） 同理： （538） 式中： 图511 极坐标法其中为平面距离改正数，可由p点的概略坐标与岸台坐标，由（526）式计算而得。二、两距离差点位坐标计算 下面介绍两种常用的计算点位坐标的方法：极坐标法和迭代法。（一）极坐标法计算点位坐标如图511所示，双曲线系统测得定位点P点至岸台的两个椭球面距离差，即双曲线坐标（jI，jII），现要求出定位点P的平面直角坐标()。 双曲线定位系统的岸台台链由主台m ，副1台和副2台组成，岸台坐标为m(), 。岸台基线长度为和

31、。岸台基线夹角为B。在主台m点上，m点至定位点P、台、台的坐标方位角分别为和。定位点P至主台m的距离为rm，它与台对基线夹角为，它与台对基线夹角；由图可以看出m点至定位点P的坐标方位角Tmp和岸台基线夹角B可以写为： （539） 首先由（537）和（538）式，将双曲线坐标（jI，jII）化算为高斯平面双曲线坐标2a1，2a2。根据双曲线的极坐标方程可得： （540） 令： ， 则： （541） 设： 带入（541）式可得： (542) (543)将V2带入（539）式，可求出，并带入（540）式求出，最后求出定位点P的直角坐标()： （544） 算例 已知：2 993 306.2，2 883

32、 005.4，3 047 686.8 21 187 866.4，21 140 173.2，21 291 025.5 -3193.41，-7079.325，60085.16415，58307.48144 求：用极坐标法计算P点的直角坐标()。 解：203.3832766，62.2039217，-0.053148062， -0.121413665，59915.4406， 57447.9546，1.042951676 =141.1793549，71.01412202，-2.18546330 =73.19958532，139 962.5292，135.403507 =2 893 643.22，=21

33、286 135.42 （二）迭代法计算点位坐标 s2 r2 r02 r0m p0 m rm p r01 r1 s1 图512 迭代法点位解算迭代法具有精度高的特点。如图512所示，现测得定位点P点至岸台的两个椭球面距离差，即双曲线坐标（jI，jII），欲求定位点P的平面直角坐标()。双曲线定位系统的岸台台链由主台m ，副1台和副2台组成，已知岸台平面直角坐标为m(), 。设P点的概位为P0（x0，y0），则有下式： （545）设P点至三个岸台的实际距离与概略距离之差为，则有： ， （546）在P0（x0，y0）处，对用其全微分来近似表示： （547）式中： （548）则（547）式可写为： （

34、549）带入（546）式： （550）根据双曲线的定义： （551）设： ， ，则（551）式可写为： （552）解算（552）式： 带入（545）式即得P点的直角坐标()。 高斯平面双曲线坐标由坐标（jI，jII）用（537）和（538）式计算。在迭代计算中，可按（545）式计算p点坐标()，并用下式判断结果是否满足要求： （m） （553）如果第一次计算结果不满足（553）式，则把p点坐标()作为新的概位P0（x0，y0）带入公式进行第二次迭代计算，第二次还不满足就进行第三次，直至满足（553）式为止。算例见后。 算例 已知： 2 993 306.2 21 187 866.4 2 883

35、005.4 21 140 173.2 3 047 686.8 21 291 025.5 jI = 90953 jII = 95949 =156.8969米/周， Q = 1000 求：用迭代法计算P点的直角坐标()。 解：计算结果见下表5-4 表54序号计算公式第一次迭代第二次迭代第三次迭代1x02 890 002 893 731.6992 893 643.3482y0（去带号，减500公里）-211 000-213 934.650-213 864.7143xm = x0 xm-103 306.2-995 74.501-99 662.8524x1 = x0 x1-157 686.8-153 9

36、55.101-154 043.4525x2 = x0 x26 994.6107 26.29910 637.9486ym = y0 ym101 133.6981 98.9598 268.897y1 = y0 y1-2 025.5-4 960.15-4 890.218y2 = y0 y2148 826.8145 892.15145 962.099144 568.9317139 850.3308139 962.3510157 699.8083154 034.9837154 121.0511148 991.0763146 285.9287146 349.2312rm123.49120.71120.4613r185.758