高一数学：311倾斜角与斜率课件

1、3 31 1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 3 31 11 1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率 问题提出问题提出 t 5730 1 p 2 1.1.在平面直角坐标系中，一次函数在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+by=kx+b的图象是什么？其中的图象是什么？其中k k，b b的几的几 何意义如何？何意义如何？ 2.2.在平面直角坐标系中，经过一点在平面直角坐标系中，经过一点P P 可以作无数条直线，如何区别这些可以作无数条直线，如何区别这些 直线的不同位置？直线的不同位置？ 知识探究（一）：知识探究（一）：直线的倾斜直线的倾斜 角角 思考思考1:1:在直角坐标系中，下图中的四在直角坐标系

2、中，下图中的四 条直线在位置上有什么联系和区别？条直线在位置上有什么联系和区别？ x x y y o o P P 思考思考2:2:在直角坐标系中，任何一条在直角坐标系中，任何一条 直线与直线与x x轴都有一个相对倾斜度，可轴都有一个相对倾斜度，可 以用一个什么几何量来反映一条直以用一个什么几何量来反映一条直 线与线与x x轴的相对倾斜程度呢？轴的相对倾斜程度呢？ x x y y o o 思考思考3:3:当直线当直线l与与x x轴相交时，取轴相交时，取x x轴轴 作为基准，作为基准，x x轴正向与直线轴正向与直线l向上方向上方 向之间所成的角向之间所成的角叫做直线叫做直线l的的倾斜倾斜 角角 x

3、 x y y o o 下列各图中标出的角下列各图中标出的角是直线的倾是直线的倾 斜角吗？斜角吗？ x x o o y y x x o o y y x x o o y y x xo o y y 思考思考4 4:下图中直线下图中直线l1 1，l2 2，l3 3的倾斜角的倾斜角 大致是一个什么范围内的角？大致是一个什么范围内的角？ x x y y o o l1 l2 2 l3 3 思考思考6:6:任何一条直线都有倾斜角吗？任何一条直线都有倾斜角吗？ 不同的直线其倾斜角一定不相同吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 思考思考5:5:特别地，当直线特别地，当直线l与与x x轴平行或轴平行或 重合时，规定

4、它的倾斜角为重合时，规定它的倾斜角为0 0，那么，那么 直线的倾斜角的取值范围是什么？直线的倾斜角的取值范围是什么？ 0 0180180 知识探究（二）：知识探究（二）：直线的斜率直线的斜率 思考思考1:1:函数函数 的图象是的图象是 直线，这两条直线的倾斜角分别是直线，这两条直线的倾斜角分别是 多少？多少？ ,3yx yx 思考思考2:2:上述两条直线的倾斜角分别上述两条直线的倾斜角分别 与与x x的系数有什么关系？的系数有什么关系？ x x y y o o y=xy=x xy3 x x y y o o 思考思考3:3:初中学过的初中学过的“坡度（比）坡度（比）”是是 什么含义？它能否表示直

5、线的倾斜程什么含义？它能否表示直线的倾斜程 度？它与这条直线的倾斜角之间有什度？它与这条直线的倾斜角之间有什 么关系？么关系？ 前进量前进量 升高量升高量 升高量 坡度（比）= 前进量 思考思考4:4:我们把一条直线的倾斜角我们把一条直线的倾斜角的的 正切值叫做这条直线的正切值叫做这条直线的斜率斜率. .常用小常用小 写字母写字母k k表示，即表示，即k=tank=tan，那么任何，那么任何 一条直线都有斜率吗？一条直线都有斜率吗？ 倾斜角是倾斜角是90900 0的直线（垂直与的直线（垂直与x x轴的轴的 直线）没有斜率直线）没有斜率. . 思考思考6:6:当当是锐角时，有是锐角时，有 tan

6、tan（1801800 0-）= =tan.tan. 那么当那么当 倾斜角倾斜角=120=1200 0，1351350 0，1501500 0时，这时，这 条直线的斜率分别等于多少？条直线的斜率分别等于多少？ 思考思考5:5:当倾斜角当倾斜角=0=00 0，30300 0，45450 0， 60600 0时，这条直线的斜率分别等于多时，这条直线的斜率分别等于多 少？少？ 思考思考8:8:斜率相等的直线其倾斜角相斜率相等的直线其倾斜角相 等吗？斜率大的直线其倾斜角也大等吗？斜率大的直线其倾斜角也大 吗？吗？ 思考思考7:7:倾斜角为锐角、钝角的直线的倾斜角为锐角、钝角的直线的 斜率的取值范围分别

7、是什么？一般地，斜率的取值范围分别是什么？一般地， 直线的斜率的取值范围是什么？直线的斜率的取值范围是什么？ 倾斜角为锐角时倾斜角为锐角时,k,k0;0; 倾斜角为钝角时倾斜角为钝角时,k,k0;0; 倾斜角为倾斜角为0 00 0时时,k=0.,k=0. 知识探究（三）：知识探究（三）：直线的斜率公式直线的斜率公式 思考思考1:1:在直角坐标系中，经过两点在直角坐标系中，经过两点 A A（2 2，4 4）、）、B B（1 1，3 3）的直线有）的直线有 几条？直线几条？直线ABAB的斜率是多少？的斜率是多少？ x x y y o o A A B B C C 思考思考2:2:一般地，已知直线上的

8、两点一般地，已知直线上的两点 P P1 1（x x1 1，y y1 1），），P P2 2（x x2 2，y y2 2），且直），且直 线线P P1 1P P2 2与与x x轴不垂直，即轴不垂直，即x x1 1xx2 2，直，直 线线P P1 1P P2 2的斜率是什么？的斜率是什么？ x x y y o o P P1 1 P P2 2 Q Q x x y y o o P P1 1 P P2 2 Q Q ) )x x(x(x x xx x y yy y k k 2 21 1 1 12 2 1 12 2 思考思考3:3:当直线当直线P P1 1P P2 2平行于平行于x x轴或与轴或与x x轴轴

9、 重合时，上述公式还适用吗？为什重合时，上述公式还适用吗？为什 么？么？ 思考思考4:4:当直线当直线P P1 1P P2 2平行于平行于y y轴或与轴或与y y轴轴 重合时，上述公式还适用吗？为什重合时，上述公式还适用吗？为什 么？么？ 思考思考5:5:经过点经过点A A（a，b b）、）、B B（m m，n n） （amm）的直线的斜率是什么？）的直线的斜率是什么？ ABAC kk ABAC kk 思考思考6:6:对于三个不同的点对于三个不同的点A A，B B，C C， 若若 ，则这三点的位置关系如，则这三点的位置关系如 何？何？ ABAC kk bnnb k amma 理论迁移理论迁移

10、例例1 1 已知点已知点A A（3 3，2 2），），B B（4 4， 1 1），），C C（0 0，l l），求直线），求直线ABAB，BCBC， CACA的斜率，并判断这些直线的倾斜的斜率，并判断这些直线的倾斜 角是锐角还是钝角角是锐角还是钝角 例例2 2 在平面直角坐标系中，画出在平面直角坐标系中，画出 经过原点且斜率分别为经过原点且斜率分别为l l，-1-1，2 2 及及-3-3的直线的直线l1 1，l2 2，l3 3及及l4 4. . x x y y o o l1 l2 2 l3 3 l4 4 20 1.什么是直线的倾斜角什么是直线的倾斜角?如何理解如何理解? (1)直线倾斜角的定义

11、可理解为直线倾斜角的定义可理解为: 当直线与当直线与x轴相交时轴相交时,x轴绕交点按逆时针方向旋转与直线重轴绕交点按逆时针方向旋转与直线重 合时所成的最小正角为直线的倾斜角合时所成的最小正角为直线的倾斜角,当直线与当直线与x轴平行时轴平行时, 规定直线的倾斜角为规定直线的倾斜角为0. 21 (2)清楚定义中的三个条件清楚定义中的三个条件. ()直线向上方向直线向上方向; ()x轴正向轴正向; ()0180. (3)任何一条直线都有唯一的倾斜角任何一条直线都有唯一的倾斜角. (4)确定一条直线确定一条直线,必须具备两个条件必须具备两个条件:()定点定点;()倾斜角倾斜角,二二 者缺一不可者缺一不

12、可. 22 2.什么是直线的斜率什么是直线的斜率?如何理解如何理解? (1)定义见课前热身定义见课前热身3. (2)对直线斜率的理解对直线斜率的理解 ()由由k=tan知知,当当=0时时,k=0,当当00,当当 k=90时时,k不存在不存在,当当90k180时时,k0; ()任何一条直线的倾斜角都存在任何一条直线的倾斜角都存在.当当=90,斜率不存在斜率不存在.但但 直线存在直线存在,它与它与x轴垂直轴垂直. 23 3.什么是直线的斜率公式什么是直线的斜率公式?如何理解如何理解? 直线直线l经过点经过点P1(x1,y1) P2(x2 y2). 由公式由公式k= (x2x1)知知 ()当当x1=

13、x2时时,斜率斜率k不存在不存在,此时此时,直线直线l垂直垂直x轴轴; ()当当y1=y2时时,k=0,此时此时,l平行平行x轴轴(或与或与x轴重合轴重合); 21 21 yy xx 24 ()当当x1x2时时,斜率存在且斜率存在且 由表达式知交换点由表达式知交换点P1与与 P2公式不变公式不变, 21 21 . yy k xx 1221 1221 . yyyy k xxxx 25 题型一题型一 斜率斜率 倾斜角的概念倾斜角的概念 例例1:下列叙述中不正确的是下列叙述中不正确的是( ) A.若直线的斜率存在若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都对应唯一的倾

14、斜角每一条直线都对应唯一的倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0或或90 D.若直线的倾斜角为若直线的倾斜角为,则直线的斜率为则直线的斜率为k=tan 26 解析解析:由于每条直线都有唯一的倾斜角由于每条直线都有唯一的倾斜角.垂直垂直x轴的倾斜角为轴的倾斜角为 90,垂直垂直y轴的倾斜角为轴的倾斜角为0.当倾斜角为当倾斜角为90时时,其斜率其斜率tan 不存在不存在,故应选故应选D. 答案答案:D 误区警示误区警示:正确理解倾斜角正确理解倾斜角 斜率的概念及它们之间的关系斜率的概念及它们之间的关系. 27 变式训练变式训练1:经过下列两点的直线的斜率是否存在经过

15、下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在如果存在 求其斜率求其斜率. (1)(-1,1) (3,2); (2)(1,-2),(5,-2); (3)(3,4),(2,5); (4)(2,0),(2, ). 3 2 11 :(1) 3( 1)4 2( 2) (2)0 5 1 54 (3)1 2 ( ),. 3 k k k 490 答案 倾斜角斜率不存在 28 题型二题型二 斜率公式的应用斜率公式的应用 例例2:经过两点经过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线的直线l的倾斜的倾斜 角为角为135,求求m的值的值. 29 21 21 22 222 :, . ,. 1 2 2323

16、 1, 2(3)21 m40, 4 . 3 yy k xx mmmm mmmmm m 12 222 2 xx m23mm2mm1 0m1mtan135 3mm1 解 由斜率坐标公式知 当时 公 式成立因此当即 即且时有 即解得或 30 由前面已知由前面已知m-1, m= . 误区警示误区警示:在应用斜率公式时在应用斜率公式时,要注意要注意x1x2.因此因此,本题答案本题答案 是是 不是不是 或或m=-1,应把应把m=-1舍去舍去. 4 3 4 , 3 m 4 3 m 31 变式训练变式训练2:当且仅当当且仅当m为何值时为何值时,经过两点经过两点A(m,2),B(-m,2m- 1)的直线的倾斜角

17、为的直线的倾斜角为60? 21 223 3, 2 3( 31 . : ) 4 m mm mmm tan60解 利用斜率公式可得即 解得 32 题型三题型三 斜率与倾斜角的关系斜率与倾斜角的关系 例例3:过点过点P(0,-1)作直线作直线l,若直线若直线l与连结与连结A(1,-2),B(2,1)的线的线 段总有公共点段总有公共点,求直线求直线l的倾斜角的倾斜角与斜率与斜率k的取值范围的取值范围. 分析分析:作出图示作出图示,连结连结PA PB,由由kPA、kPB的变化来的变化来 找倾斜角找倾斜角的范围的范围. 33 解解:连结连结PA PB,kPA=-1,kPB=1,由已知由已知l与线段与线段A

18、B总有公共点总有公共点, k-1,1. 相应倾斜角相应倾斜角的范围是的范围是045或或135180. 误区警示误区警示:由斜率的范围来确定倾斜角由斜率的范围来确定倾斜角的范围一定要结合的范围一定要结合 图形图形,观察直线观察直线l的运动范围的运动范围. 34 变式训练变式训练3:如果直线的斜率如果直线的斜率k的取值范围是的取值范围是0k1,求它的倾求它的倾 斜角的取值范围斜角的取值范围. 解解:设倾斜角为设倾斜角为,则则k=tan. 又又0k1 0tan1 又又0180,023 B.132 C.231 D.321 39 答案答案:D 40 3.已知已知M(a,b),N(a,c)(bc),则直线

19、则直线MN的倾斜角是的倾斜角是( ) A.不存在不存在B.45 C.135D.90 解析解析:MNx轴轴,倾斜角为倾斜角为90. 答案答案:D 41 4.直线直线l经过原点和经过原点和(1,-1),则它的倾斜角是则它的倾斜角是( ) A.45B.135 C.45或或135D.-45 解析解析:k=tan=-1,又又0180,=135. 答案答案:B 42 5.斜率为斜率为2的直线经过点的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点三点,则则a,b的值是的值是 ( ) A.a=4,b=0B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3D.a=-4,b=3 755 2,:a4, .a4,b3.

20、31 3 b a 2 b3 解析 依题意得又 故 答案答案:C 43 6.已知点已知点P(3,m)在过在过M(2,-1),N(-3,4)的直线上的直线上,则则 m=_. 14 :., 3233 mm m2解析 由题意可得 答案答案:-2 44 7.已知点已知点P(3,2),点点Q在在x轴上轴上,若直线若直线PQ的倾斜角为的倾斜角为150,则则 点点Q的坐标为的坐标为_. 0 023 :,(,0), ,150,2 3.2 3,0). 33 3Q(3tan x 0 0 QxQx x 解析点 在 轴上 可设 的坐标为由题意得 (32 3,0) 45 8.已知已知A(0,1),B(1,0),C(3,2),D(2,3),求证求证:四边形四