2020版高考数学一轮复习（四十一）空间向量的应用（空间角的求法）理（含解析）

1、学必求其心得，业必贵于专精课时跟踪检测（四十一) 空间向量的应用（空间角的求法）一保高考,全练题型做到高考达标1（2019苏锡常镇调研)如图,已知正四棱锥p。abcd中， paab2，点m,n分别在pa,bd上,且。(1）求异面直线mn与pc所成角的大小；（2）求二面角n。pc。b的余弦值解：(1)设ac,bd交于点o，在正四棱锥p。abcd中，op平面abcd.又paab2，所以op。以o为坐标原点,，方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系o。xyz。则a(1，1,0），b（1,1，0），c(1,1，0），d(1，1，0），p（0，0,)，（1,1，)故，所以，(1,1,),

2、所以cos，,所以异面直线mn与pc所成角的大小为30。（2)由(1）知（1，1，),（2，0,0)，.设m（x1，y1，z1)是平面pcb的一个法向量，则即令y1，则z11，即m(0,1)设n（x2,y2,z2）是平面pcn的一个法向量,则即令x22,则y24,z2，即n（2，4，)，所以cosm，n，故二面角n.pc。b的余弦值为.2（2018启东检测）如图,在四棱锥p。abcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45,paad2，ac1.（1）求二面角apc.d的余弦值；(2）设e为棱pa上的点，满足异面直线be与cd所成的角为30，求ae的长解:(1)因为pa平面abcd，

3、所以paad，paac,又因为acad，故以a为原点，以ad，ac，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系a.xyz，依题意得a（0,0，0)，d(2，0，0),c（0,1，0）,b，p(0,0,2）(0，1，2），(2，1,0）设平面pcd的法向量n（x，y，z)，则即不妨令z1，可得n（1，2，1）,可取平面pac的法向量m(1，0，0）于是cos m，n。由图知二面角a。pc。d为锐角,所以二面角a。pc。d的余弦值为。(2)设点e的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得，由(2,1,0）,故cos,，所以cos 30，解得h，即ae。3（2019南通一调）如图，在四

4、棱锥s。abcd中,底面abcd为矩形，sa平面abcd，ab1，adas2，p是棱sd上一点，且sppd.(1)求直线ab与cp所成角的余弦值；(2）求二面角apc.d的余弦值解：(1）如图,分别以ab，ad，sa所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系a.xyz,则a(0,0,0)，b（1，0，0)，c（1，2,0)，d(0,2，0），s（0,0,2）设p（x0，y0，z0），由，得（x0，y0,z02）（0,2，2），所以x00，y0，z0，则点p的坐标为.故,(1,0，0）,设直线ab与cp所成的角为，则cos 。所以直线ab与cp所成角的余弦值为。（2)设平面apc的法向量为m（

5、x1，y1，z1),因为，(1，2，0），所以即令y12，则x14，z11,m（4，2,1)，设平面scd的法向量为n(x2，y2，z2)，由于（1，0,0），（0，2，2)，所以即令y21,则z21,n（0,1,1)设二面角a。pcd的大小为(由图可知为锐角），所以cos |cosm，n|,所以二面角a。pcd的余弦值为。4.如图，圆锥的高po4，底面半径ob2，d为po的中点，e为母线pb的中点,f为底面圆周上一点,满足efde.(1）求异面直线ef与bd所成角的余弦值；(2)求二面角o.df.e的正弦值解：（1)以o为原点,底面上过o点且垂直于ob的直线为x轴，ob所在的直线为y轴，op

6、所在的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系o。xyz，则b（0，2，0)，p(0,0，4）,d(0，0,2)，e(0,1,2)设f(x0，y0,0)（x00，y00),且xy4.则（x0，y01，2）,（0，1，0）因为efde,则y010，故y01.所以f（,1，0),(，0，2)，（0，2，2）设异面直线ef与bd所成角为,则cos 。故异面直线ef与bd所成角的余弦值为.(2）设平面odf的法向量为n1（x1，y1，z1),则即令x11,得y1,则平面odf的一个法向量为n1(1，0)设平面def的法向量为n2(x2，y2，z2），因为（0,1,0)，（，1，2），则即令x21，得z2

7、，则平面def的一个法向量为n2.设二面角o.df.e的平面角为，则cos ，所以sin .即二面角o。df。e的正弦值为。二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2018镇江高三期末考试)如图，在四棱锥p。abcd中,pa底面abcd,adab,abdc，addcap2，ab1，e是棱pc的中点(1)求be与平面pbd所成角的正弦值；(2）若f为棱pc上一点,满足bfac，求二面角f。ab.p的正弦值解：（1）以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系a。xyz，可得b（1，0,0），c（2,2,0)，d（0,2，0），p(0,0，2），由e为棱pc的中点，得e(1,1，1)，故(0，1,1），(1，2,0)，(1，0，2)设n(x,y,z)为平面pbd的一个法向量，则即令y1,得x2,z1，所以n(2，1，1)为平面pbd的一个法向量,设be与平面pbd所成角为,于是sin cosn，。所以be与平面pbd所成角的正弦值为。(2）由(1）知(1，2,0），(2,2，2)，(2,2,0),(1,0,0）由点f在棱pc上，设 （01）故（12，22，2)由bfac，得0，因此2（12）2(22)0，解得，即。设n1(x1,y1