第七章材料力学应力状态

1、材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 1 一、应力状态的概念一、应力状态的概念 第七章第七章 应力状态和强度理论应力状态和强度理论 7.1 7.1 概概 述述 一点的应力状态是指某点处各截面上的应力情况。一点的应力状态是指某点处各截面上的应力情况。 前面各章研究的正应力和切应力都是横截面前面各章研究的正应力和切应力都是横截面 上的应力，通过应力状态分析，可以了解各点任上的应力，通过应力状态分析，可以了解各点任 意斜截面上的应力情况。意斜截面上的应力情况。研究应力状态的目的研究应力状态的目的是是 找出某点处的最大正应力和最大切应力数值及所找出某点处的最大正应力和最大切应力数值

2、及所 在截面的方位，以便进行失效分析并研究构件破在截面的方位，以便进行失效分析并研究构件破 坏的原因。坏的原因。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 2 轴向拉伸斜截轴向拉伸斜截 面上的应力面上的应力 sinsincossin 2 2 F p A 22 coscoscoscos FF p AA F p N F A 轴向拉伸横截面上的应力轴向拉伸横截面上的应力 几个问题几个问题 1、简单变形（拉压、扭转、平面弯曲）某点横截、简单变形（拉压、扭转、平面弯曲）某点横截 面有应力，通过该点的斜截面上是否也有应力？面有应力，通过该点的斜截面上是否也有应力？ F p 材料力学材料力学

3、中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 3 从两种不同材料的扭转试验可知，低碳从两种不同材料的扭转试验可知，低碳 钢在横截面破坏，铸铁在斜截面破坏，所以钢在横截面破坏，铸铁在斜截面破坏，所以 斜截面上的应力当然要研究！斜截面上的应力当然要研究！ 低碳钢扭转断口低碳钢扭转断口 断口断口 铸铁扭转断口铸铁扭转断口 45 断口断口 2、如果斜截面上有应力，是否需要研究？、如果斜截面上有应力，是否需要研究？ 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 4 r 应力点的概念应力点的概念: : 不同点处应力不同。不同点处应力不同。 r 应力面的概念：应力面的概念：同一点处不同截面上的应同一

4、点处不同截面上的应 力不同。力不同。 r 应力状态的概念：应力状态的概念：过一点不同截面上应力的过一点不同截面上应力的 的集合，称为这一点的的集合，称为这一点的应力状态应力状态 应力的三个概念应力的三个概念 应力必须指明是哪点、哪个截面上的应力。应力必须指明是哪点、哪个截面上的应力。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 5 单元体单元体：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。 dx dz dy （1）各边长为无穷小直六面体；）各边长为无穷小直六面体； dx，dy，dz0 （2）各面应力均匀分布；）各面应力均匀分布； （3）平行两面对应应

5、力数值相等。）平行两面对应应力数值相等。 （4）单元体各个面上的应力已知）单元体各个面上的应力已知 或可求；或可求； 二、一点应力状态的描述二、一点应力状态的描述 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 6 平行两面对应应力数值相等平行两面对应应力数值相等 x x 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 7 x z y 一点应力状态一点应力状态 x y z yz xy zx 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 8 单元体的取法单元体的取法 原则：原则：各面应力已知或可求。各面应力已知或可求。 F 2 l2 l S平面平面 材料力学材料力

6、学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 9 5 4 3 2 1 1 x 123 S平面平面 3 3 2 x 2 2 5 4 2 1 3 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 10 三、主平面三、主平面 主应力主应力 123 1、主平面、主平面切应力等于零的平面。切应力等于零的平面。 一点处一般有三个主平面，互相垂直。一点处一般有三个主平面，互相垂直。 2、主应力、主应力主平面上的正应力。主平面上的正应力。 一点处一般有三个主应力，按代数值大小排一点处一般有三个主应力，按代数值大小排 列分别记为列分别记为 1 ， 2 ， 3，且，且 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中

7、南大学土木建筑学院 11 旋转旋转 y x z 2 3 1 x y z x z xy xz zx zy yz yx y 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 12 1 1、单向应力状态、单向应力状态只有一个主应力不为零。只有一个主应力不为零。 单元体单元体 简化表示简化表示 四、一点应力状态的分类四、一点应力状态的分类 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 13 2、二向（平面）应力状态、二向（平面）应力状态有两个主应力有两个主应力 不为零。不为零。 s 单向应力状态单向应力状态 纯剪应力状态纯剪应力状态 1 2 1 2 简化简化 特例特例 材料力学材料

8、力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 14 3 3、三向（空间）应力状态、三向（空间）应力状态三个主应力三个主应力 都不为零。都不为零。 2 3 1 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 15 三向应力状态三向应力状态 二向应力状态二向应力状态 单向应力状态单向应力状态 纯剪应力状态纯剪应力状态 特例特例特例特例 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 16 薄壁圆筒实例薄壁圆筒实例 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 17 横截面与纵截面上均存在的正应力，对横截面与纵截面上均存在的正应力，对 于薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布

9、。于薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布。 2 R 4 D Fp 2 R 1 44 x Fp DpD DD 轴向应力 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 18 周向应力 t 2(1)(1)0pD r max p 1 径向应力 r max t 2 2 p pD D t 2 pD r /20 D 一般忽略不计一般忽略不计 1t 2 pD 2 4 x pD 3 0 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 19 7.2 7.2 平面应力状态分析平面应力状态分析 解析法解析法 一、平面应力状态的一般情形一、平面应力状态的一般情形 x y x y xy yx x y xy

10、 yx 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 20 二、任意斜截面上的应力二、任意斜截面上的应力 只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截 面上的应力便可通过局部平衡求出。面上的应力便可通过局部平衡求出。 1、任意斜截面的表示方法、任意斜截面的表示方法 y x y z x yx xy n x x y xy 任意斜截面是指法线任意斜截面是指法线 位于位于xy面内的斜截面面内的斜截面 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 21 面面斜截面斜截面 自自x轴正向逆时针轴正向逆时针 转到转到 面面外法线时外法线时 角角定义为正。

11、定义为正。 任意斜截面的任意斜截面的 表示方法表示方法 2、应力的正负号规定、应力的正负号规定 正应力正应力以拉应力为正，以拉应力为正， 压应力为负。压应力为负。 x x xy yx y 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 22 绕单元体或绕单元体或 其局部顺时针方其局部顺时针方 向转动为正；反向转动为正；反 之为负。之为负。 切切 应应 力力 yx xy 应力的正负号规定是为应力的正负号规定是为 作应力圆准备，不表示作应力圆准备，不表示 应力的指向与图示相反。应力的指向与图示相反。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 23 3 3、任意斜截面上的应

12、力、任意斜截面上的应力 平衡对象平衡对象用用 斜截面斜截面 截取的局部单元截取的局部单元 参加平衡的量参加平衡的量应力乘以应力乘以 其作用的面积其作用的面积 平衡方程平衡方程 n 0F t 0 F x x xy yx y dA n t 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 24 n 0F 22 cossin()sincos xyxyyx dAcos dAsin x x xy yx y dA n t dAx(dAcos)cos xy (dAcos)sin yx (dAsin)cos y(dAsin)sin 0 t 0 F dAx(dAcos)sin xy (dAcos)cos

13、 yx (dAsin)sin y(dAsin)cos 0 22 ()sincoscossin xyxyyx 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 25 22 1cos21cos2 cossin 22 sin22sincos ， 根据切应力互等定理根据切应力互等定理 xyyx ，及三角函数关系及三角函数关系 整理后得到整理后得到 （7-1） cos 2sin 2 22 xyxy xy （7-2） sin 2cos2 2 xy xy 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 26 由式由式（7-1）、（7-2）可得可得， 0 90 某点处互相垂直的两个截面上的正

14、应力之和为常数某点处互相垂直的两个截面上的正应力之和为常数。 0 90 xy 某点处互相垂直的两个截面上的切应力大小某点处互相垂直的两个截面上的切应力大小 相等，方向相反。（切应力互等定理）相等，方向相反。（切应力互等定理） 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 27 解：解：C点应力状态如图点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：所示，其拉应力和切应力为： 3 2 500 10 63.7MPa 100 4 x F A 图示圆轴中，已知：圆轴直径图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力，轴向拉力 F=500kN，外力偶矩，外力偶矩M=7kNm。求。求C点点 =

15、30截面截面 上的应力。上的应力。 (b) C x xy xx xy yx yx y (a) x M F M C F 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 28 00 30 00 cos( 60 )sin( 60 ) 22 16.9MPa xx xy 30 0 sin2cos245.4MPa 2 x xy 图示斜截面上应力分量为：图示斜截面上应力分量为： 6 3 7 10 35.7MPa 100 16 xy T W P P C x xy xx xy yx yx y 30 n -30 -30 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 29 式式（71）对对 求

16、导，得求导，得 d 2(sin2cos2 )2 d2 xy xy 0 d |0 d 当当时，必有时，必有 0 |0 正应力取极值的截面上其切应力为零，即为主平面。正应力取极值的截面上其切应力为零，即为主平面。 主平面上的正应力为主应力，为最大值或最小值。主平面上的正应力为主应力，为最大值或最小值。 三、主平面及位置三、主平面及位置 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 30 00 sin2cos20 2 xy xy 由由 式式（7-3）可求出相差可求出相差900的两个角的两个角 0，对应两个互，对应两个互 相垂直的截面上，一个是最大正应力所在截面，另相垂直的截面上，一个是最

17、大正应力所在截面，另 一个是最小正应力所在截面。一个是最小正应力所在截面。 0 2 tan2 xy xy 得得（7-3） 2 max2 min 22 xyxy xy （7-4） 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 31 式式（7-2）对对 求导，得求导，得 d ()cos22sin2 d xyxy 1 d |0 d 由由可确定面内切应力取极值的截面。可确定面内切应力取极值的截面。 1 tan2 2 xy xy （7-5） 上式所指的面内是指截面法线是位于上式所指的面内是指截面法线是位于xy平面内的。平面内的。 四、面内最大切应力及位置四、面内最大切应力及位置 材料力学材料

18、力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 32 式式（7-5）可求出相差可求出相差900的两个角的两个角 1，对应两个互，对应两个互 相垂直的截面上，作用着大小相等，同时指向或背相垂直的截面上，作用着大小相等，同时指向或背 离交线的切应力所在截面。离交线的切应力所在截面。 2 max2 min 2 xy xy （7-6） 式式（7-3）和式和式（7-5）有：有： 01 tan2tan21 所以有所以有 1010 22 24 ， 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 33 一、应力圆方程一、应力圆方程 cos2sin2 22 xyxy xy sin2cos2 2 xy x

19、y 2 22 22 22 xyxy xy ， 为变量 为变量 为参数为参数 7.2 7.2 平面应力状态分析平面应力状态分析 图解法图解法 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 34 二、应力圆的作法二、应力圆的作法 2 xy R 2 2 2 xy xy R (,) xxy A (,) yyx B O xy x A y yx B C A1 B1 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 35 三、应力圆的应用三、应力圆的应用 点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值应力圆上某一点的坐标值 对应着单元体某一截面上的正应力和切对应着单元体某一截面上的正应力和切 应

20、力值；应力值； 转向对应转向对应半径旋转方向与单元体斜半径旋转方向与单元体斜 截面法线旋转方向一致；截面法线旋转方向一致； 二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是斜截半径转过的角度是斜截 面旋转角度的两倍。面旋转角度的两倍。 1、单元体与应力圆的对应关系、单元体与应力圆的对应关系 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 36 二倍二倍角对应角对应 2 2 转向对应转向对应 n x A B y yx xy x C O (,) xxy A (,) yyx B 点面对应点面对应 (,)D D 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 37 2、单元体斜截面上的应力、单

21、元体斜截面上的应力 2 2 C (,) xxy A (,) yyx B O (,)D 2 2 0 0 A B y yx xy x D 11 ODOCCD D1 0 cos(22)OCCD 00 cos 2cos 2sin 2sin 2OCCACA cos 2sin 2 22 xyxy xy 0 sin(22)CD 00 sin 2cos 2cos 2sin 2CACA sin 2cos 2 2 xy xy 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 38 3、主应力值及主平面方位、主应力值及主平面方位 C A B O 2 xy OC 2 xy E min min OEOCCE 2

22、 2 22 xyxy xy max max OFOCCF F 2 2 22 xyxy xy 主应力值主应力值 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 39 主平面方位主平面方位 2 0 2 xy xy 1 0 1 tan2 AA CA C B O (,) xxy A 2 xy A1 0 y yx xy x A B F E EF 0 2 0 0 max min 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 40 4、面内最大切应力值及其作用面方位、面内最大切应力值及其作用面方位 2 max2 min 2 xy xy max A OC B min EF 1max (,

23、) 2 xy C 2 C y yx xy x A B F E max min 应力圆上的最高点的切应力最大，即为面内最大应力圆上的最高点的切应力最大，即为面内最大 切应力，其作用面与主平面的夹角为切应力，其作用面与主平面的夹角为450。 min ( ,) C1 C2 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 41 O x x A 单向拉伸单向拉伸 A BB C 2 245450 0 2 245450 0 D D E E 2 x 2 x 2 x 2 x 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 42 纯剪切纯剪切 3= A B D E A (0, ) O C B

24、(0, - ) DE 1 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 43 求：求：1、指定斜截面上的应力；、指定斜截面上的应力； 2、主平面；、主平面； 3、主应力；、主应力； 4、面内最大切应力；、面内最大切应力； 5、画出主应力单元体。、画出主应力单元体。 30 40 20 10 x =20 MPa； y= 40 MPa xy= 10 MPa； = 30 o 30 y x 已知：单元体如图，图中已知：单元体如图，图中 应力单位为应力单位为MPa。 解析法解析法: （ 1 ）建立坐标系）建立坐标系 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 44 30 40 2

25、0 10 （2）求）求 ， 2sin2cos 22 xy yxyx 60sin1060cos 2 4020 2 4020 =13.7 MPa 2cos2sin 2 xy yx MPa0 .2160cos1060sin 2 4020 注意注意: ， 算算 好后按实好后按实 际方向画际方向画 在原图上在原图上 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 45 （3）求主平面）求主平面 0 2 tan2 xy xy 3 1 4020 102 0 = 9.22， 99.22 （4）求主应力）求主应力 2 max2 min 22 xyxy xy MPa6 .21 MPa6 .41 10 2

26、 4020 2 4020 2 2 30 40 20 10 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 46 1= 41.6MPa，2 = 0 3=21.6MPa maxmin max 41.621.6 31.6 MPa 22 注：主应力注：主应力max 的方向是的方向是 x与与 y中中 的较大者的较大者，顺顺单元体切应力单元体切应力 的指的指 向偏转向偏转 0角中绝对值角中绝对值较小角而得较小角而得。 （6）求面内最大切应力）求面内最大切应力 1 3 9.22 9.22 （5）画主应力单元体）画主应力单元体 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 47 30 4

27、0 20 10 图解法图解法: （ 1 ）画应力圆）画应力圆 C ( 20,10)A ( 20,10)A A (40, 10)B (40, 10)B B O 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 48 O C ( 20,10)A (40, 10)B （2 ）求应力圆上的几何数据）求应力圆上的几何数据 2040 10 2 OC 22 6020 31.6 2 ACBC 应力圆半径应力圆半径 1 0 1 1 tan2 3 BB CB 20 B1 B截面与最大正应力截面与最大正应力 所在主平面夹角所在主平面夹角 0 0 = 9.22min 21.6MPaOEOCCE EF max

28、41.6MPaOFOCCF 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 49 60 0 0 cos(602)OCCD 0 1031.6cos41.56 13.7MPa 0 0 sin(602)CD 0 31.6sin41.56 21.0MPa max 31.6 MPaACBC （3）求）求 ， O C ( 20,10)A (40, 10)B 20 20 （4）求面内最大切应力）求面内最大切应力 D (,) 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 50 114 MPa 48 38 28 已知平面应力状态某点处的两个截面已知平面应力状态某点处的两个截面 上的应力如图

29、所示。求该点处的主应上的应力如图所示。求该点处的主应 力和主平面方位，并求出两截面的夹力和主平面方位，并求出两截面的夹 角角 值。图中应力单位为值。图中应力单位为MPa。 解析法：设图中的解析法：设图中的x面和面和1800- - 面如图示。面如图示。 xn 1800- 0 180 0 cos2(180)sin2(180) 22 cos2sin2 22 xyxy xy xyxy xy 则：则： x 114MPa， xy48MPa； 180- =38MPa， 180- =28MPa。 180 =sin2cos2 2 xy xy 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 51 180

30、1 0 2 8 2 () 22 xyxy xy 22 代入以上数据求得代入以上数据求得 y=58MPa。 主应力为主应力为 2 max2 min 142MPa 30MPa22 xy xx xy 于是：于是： 1 142MPa， 2=30MPa， 3=0。 0 2 2( 48) tan21.7143 11458 xy xy 0=29.90，119. 90 由由 180 和和 180 消去消去cos2 得，得，sin2 =0.5， =150，750。 消去消去sin2 得，得，cos2 =0.87， =750，1050。 最终得最终得 =750。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建

31、筑学院 52 114 MPa 48 38 28 A面的应力正应力面的应力正应力 =114MPa，切应力，切应力 =48MPa； B面的应力正应力面的应力正应力 =38MPa，切应力，切应力 =28MPa。 在应力坐标轴上做在应力坐标轴上做A、B两点如图所示。两点如图所示。 AB 0 A(114,-48) B(38,28) 连接连接AB，做，做AB的的垂直平分线垂直平分线交横轴于交横轴于 C，连，连CA、CB。以。以C为圆心，为圆心，CA或或CB 为半径做应力圆于图示。为半径做应力圆于图示。 应力圆半径应力圆半径 2222 (114)48(38)28 mm R 求得求得m=86，R=56。 于是

32、：于是： 1= m+R=142MPa； 2=mR=30MPa； 3=0。 C( m,0) D 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 53 2 0 0 48 tan21.7143 11486 0=29.90 A(114,-48) B(38,28) C( m,0) 0 D 三角形三角形ACB的顶角为的顶角为2 。 22 (11438)( 4828) 53.74 2 ADDB 53.74 sin0.9596 56 =750 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 54 一、定义一、定义 三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。 二、三向应力状

33、态应力圆二、三向应力状态应力圆 可利用主应力单元体做出。可利用主应力单元体做出。 1 2 3三向应力状态的三向应力状态的 主应力单元体主应力单元体 7.7 7.7 空间应力状态分析空间应力状态分析 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 55 1 1 2 3 1 2 3 三种特殊的斜面三种特殊的斜面 1 3 2 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 56 3 3 2 2 平行于平行于 1的斜截面上的应力与的斜截面上的应力与 1无关，无关，其其 应力应力由由 2 、 3作出作出的的应力圆应力圆I上的点确定。上的点确定。 1 3 2 材料力学材料力学中南大学土

34、木建筑学院中南大学土木建筑学院 57 3 3 2 2 1 1 1 2 3 平行于平行于 3的斜截面上的应力与的斜截面上的应力与 3无关，无关，其其 应力应力由由 1 、 2作出作出的的应力圆应力圆上的点确定。上的点确定。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 58 3 3 2 2 1 1 1 1 2 3 平行于平行于 2的斜截面上的应力与的斜截面上的应力与 2无关，无关，其其 应力应力由由 1 、 3作出作出的的应力圆应力圆上的点确定。上的点确定。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 59 3 3 2 2 1 1 三向应力圆三向应力圆 三种特殊斜截面上

35、三种特殊斜截面上 的应力在圆上的应力在圆上 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 60 三、极值应力三、极值应力 1、极值正应力、极值正应力 max= 1 min= 3 312 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 61 任意斜截面上的应力在三个应力圆所围区域内任意斜截面上的应力在三个应力圆所围区域内 3 3 1 1 2 2 K 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 62 312 2、极值切应力、极值切应力 各面内最大切应力各面内最大切应力 12 m ax 2 m ax 23 m ax 2 m ax 13 m ax 2 m ax 某点

36、处最大切应力某点处最大切应力 13 m ax 2 最大切应力位于平行于最大切应力位于平行于 2的斜截面上。的斜截面上。 3 2 1 max 45 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 63 解：解：这是特殊三向应力状态，已知这是特殊三向应力状态，已知 一个主平面和主应力，另两个主平面一个主平面和主应力，另两个主平面 和主应力可按平面应力状态计算。和主应力可按平面应力状态计算。 14 5 12 10 （MPa） 2 max2 min 22 xyxy xy x y z 2 2 1510141014 5MPa 1122 1=15MPa 2=12MPa 3=11MPa 2 31 m

37、ax 1511 13MPa 2 求图示单元体的主应力求图示单元体的主应力 和最大切应力。和最大切应力。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 64 求图示单元体的主应力求图示单元体的主应力 和最大切应力。和最大切应力。 解：这是主应力单元体，解：这是主应力单元体， 由定义，由定义， 1=60MPa 2=30MPa 3=50MPa 30 50 60 （MPa） 2 31 max 6050 55MPa 2 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 65 主应力方位主应力方位 0 ooo 000 2 2 15015 tan2 300 1408 26231121 2

38、 xy xy 最大切应力所在平面法线与主平面夹角成最大切应力所在平面法线与主平面夹角成45o即与即与x轴夹角轴夹角 76o或或14o。 13 max 39050 170MPa 22 单元体内的最大切应力单元体内的最大切应力 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 66 解：已知一个主应力解：已知一个主应力40MPa,另另 两个主应力可按纯剪切应力两个主应力可按纯剪切应力 状态结论直接写出。状态结论直接写出。 1=40MPa, 2=30MPa, 3=30MPa 30 40 (MPa) 2 31 max 4030 35MPa 2 x y z 求图示单元体的主应力求图示单元体的主应

39、力 和最大切应力。和最大切应力。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 67 试确定图示应力状态的主应力和最试确定图示应力状态的主应力和最 大切应力，并确定主平面和最大切大切应力，并确定主平面和最大切 应力作用面位置。应力作用面位置。 x 300 150 y 140 z 90 解：解： 给定应力状态中有一个主给定应力状态中有一个主 应力是已知的，即应力是已知的，即 z=90MPa。 因此，可将该应力状态沿因此，可将该应力状态沿z方向投方向投 影，得到平面应力状态，可直接影，得到平面应力状态，可直接 求主应力及其方位。求主应力及其方位。 x=300MPa，y=140MPa，x

40、y= 150MPa，因此：，因此： max 22 min 390 300 140300 140 ()( 150)220 170MPa 5022 根据根据 1、 2、 3的排列顺序，可知：的排列顺序，可知： 1=390MPa，2=90MPa，3=50MPa 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 68 x 300 150 y 140 z 90 A y=140 xy=150 x=300 A视图视图 x z y 2 y31o 31o 1 x 3 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 69 各向同性材料，应力不超过材料的比例极限各向同性材料，应力不超过材料的比例极

41、限。 胡克定律成立胡克定律成立 7.4 7.4 应力与应变的关系应力与应变的关系 E 一、一、广义胡克定律广义胡克定律 x E x x E x xy y x 泊松比泊松比 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 70 三向应力状态的广义胡克定律三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法 1123 1 E 2231 1 E 3312 1 E 1 1 1 E 2 1 E 3 1 E 1111 叠加叠加 3 2 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 71 广义胡克定律的一般情形广义胡克定律的一般情形 zyxx E 1 xzyy E 1 yxzz E 1 G xy x

42、y G yz yz G zx zx yz xy zx x y z 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 72 注意注意 （1）线应变只与正应力有关，与切应力无关；）线应变只与正应力有关，与切应力无关； 切应变只与切应力有关，与正应力无关。切应变只与切应力有关，与正应力无关。 （2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力 有关，而且与两个垂直方向的正应力有关。有关，而且与两个垂直方向的正应力有关。 因此，因此，考察一个方向的线应变时，需要考虑考察一个方向的线应变时，需要考虑 三个互相垂直方向的正应力。三个互相垂直方向的正应力。 材料力学材料

43、力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 73 dx dy dz 二、体积二、体积胡克定律胡克定律 1 2 3 单元体原体积单元体原体积V=dxdydz 变形后的体积变形后的体积 1123 (1)d (1)d (1)dVxyz 体积应变体积应变 12 xyz E 1 V123 VV V m K 3(12 ) E K 体积弹性模量体积弹性模量 3 xyz m 平均应力平均应力 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 74 2、求求 1345 1 E EE 11 1 45 E 3、求求Me e PP MT WW 解：解：1、应力状态分析画单元体应力状态分析画单元体 45 Me

44、 K Me 已知轴扭转时的已知轴扭转时的d，E，v， 45。求求 Me。 45 3 3 K 1 1 3 45 eP 116 Ed MW 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 75 解：铜块应力状态如图解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：所示，横截面上的压应力为： y x z (b) y x z 如图所示边长如图所示边长a =0.1m的铜立方块，无间隙地放入体的铜立方块，无间隙地放入体 积积 较大变形不计的钢凹槽中。较大变形不计的钢凹槽中。当受到当受到F=300kN的均布压的均布压 力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力作用时，试求铜块的主应力、体应变以

45、及最大切应 力。力。已知铜的弹性模量已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比，泊松比 =0.34。 (a) F a a a 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 76 0 1 zyxx E 0 1 xyzz E 解得：解得： MPa5 .15 1 1 2 yzx MPa30 A F y 受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零， 并产生压应力，即有：并产生压应力，即有： 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 77 7.25MPa 2 31 max 最大切应力为：最大切应力为： 则铜块的主应力为：则铜块的主应力为：

46、 MPa30MPa5 .15 321 ， 由此可得其体应变为：由此可得其体应变为： 4 321 1095. 1 21 E 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 78 图示简支梁图示简支梁k点点45方向的线应变为方向的线应变为 ，材料，材料 的弹性模量为的弹性模量为E，泊松比为，泊松比为，求载荷求载荷F。 l/32l/3 F k45 b h 解：解：k点的应力状态为点的应力状态为 图示纯剪应力状态。图示纯剪应力状态。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 79 45 1 1 K 3 3 EEE 111 31 45 bh FE 21 1 2bhE F 321

47、 0， S 33/3 222 FFF bhbhbh 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 80 一、外力功与应变能一、外力功与应变能 1、外力功、外力功W 载荷在其作用点位移上所作的功。载荷在其作用点位移上所作的功。 (1 1) 常力作功常力作功 FA F B D D W=FD D M W=M M 7.5 7.5 弹性固体的应变能弹性固体的应变能 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 81 D D F D D F dD F 对于一般弹性体对于一般弹性体 0 dW D D F F-D D 图下方面积图下方面积 (2 2) 静载作功静载作功 静载静载是指从零

48、开始逐渐地、缓慢地加载到是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到 弹性体上的载荷，弹性体上的载荷，静载作功属于变力作功静载作功属于变力作功。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 82 对于线弹性体对于线弹性体 D F F D 1 2 DWF 2、应变能应变能V 弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。 由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能 V 在数值上等于外力所作的功在数值上等于外力所作的功W。（。（忽略能量损失）忽略能量损失） 即即 V W F为广义力，为广义力，D D为广义位移。为广义位移。 材料力学

49、材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 83 二、线弹性体的应变能二、线弹性体的应变能 1、轴向拉压、轴向拉压 F F D Dl D Dl 22 N 1 222 F lF l VWF l EAEA D FN为变量时为变量时 2 N ( ) d 2 l Fx Vx EA l F Fl l EA D F 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 84 2 2、扭转、扭转 Me e P M l GI Me Me 22 e e PP 1 222 M lT l VWM GIGI T为变量时为变量时 2 P ( ) d 2 l Tx Vx GI 材料力学材料力学中南大学土木建筑学

50、院中南大学土木建筑学院 85 3 3、平面弯曲、平面弯曲 dd M x EI 横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当，如矩形截面，当 l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3。 1d d M xEI 纯弯曲纯弯曲 2 1d d 22 Mx VWM EI 2 ( ) d 2 l Mx Vx EI 横力弯曲横力弯曲M(x)为变量为变量 M d M dx 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 86 应变能应变能V 是内力（是内力（FN、T、M）的二次）的二次 函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几函

51、数，应变能一般不符合叠加原理。但若几 种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载 荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。 三、线弹性体的应变能密度三、线弹性体的应变能密度 应变能密度应变能密度 d d V v V 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 87 dx dy dz 1、单向拉压的应变能密度、单向拉压的应变能密度 dx dy dz 1 dd(dd )( d ) 2 VWyzx 1 d 2 V 22 d1 d222 VE v VE 2、纯剪切的应变能密度、纯剪切的应变能密度 11 dd( dd

52、 )( d )d 22 VWyzxV 22 d1 d222 VG v VG 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 88 3、复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度 三向应力状态下，假定各主应力按比例同时从三向应力状态下，假定各主应力按比例同时从 零增加到最终值，每一主应力与相应的主应变仍为零增加到最终值，每一主应力与相应的主应变仍为 线性关系，所以线性关系，所以 112233 111 222 v 复杂应力状态下的应变能密度为复杂应力状态下的应变能密度为 112233 kkk ， 由广义胡克定律由广义胡克定律 112233 kkk ， 1122331 12233

53、 dddd() dvk k 于是于是 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 89 复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度v 因体积变化、形因体积变化、形 状不变而储存的状不变而储存的 应变能密度。应变能密度。 体积改变体积改变 能密度能密度vV 形状改变形状改变 能密度能密度vd 因形状改变体因形状改变体 积不变而储存积不变而储存 的应变能密度。的应变能密度。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 90 11m 22m 33m 1 2 3 m m m 1 3 2 123 3 m = + 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学

54、院 91 V 13 3 22 mmmm v (12 ) mm E 2 V123 312 () 26 mm v E 图示单元体三个正应力图示单元体三个正应力 相等，只有体积改变能。相等，只有体积改变能。 m m m 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 92 图示单元体三个正应力不图示单元体三个正应力不 相等，且三个正应力之和相等，且三个正应力之和 为零，只有形状改变能。为零，只有形状改变能。 d1 12233 1 () 2 v 注意：注意：由于应力、应变与应变能密度不是线性由于应力、应变与应变能密度不是线性 关系，所以关系，所以应变能密度一般不符合叠加原理。应变能密度一般不

55、符合叠加原理。 1 3 2 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 93 112233 1 () 2 v 123 0 123 0注意注意 11m 22m 33m 11m 22m 33m 112233 31 () 22 mm v Vd 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 94 dd vvv 形状改变能密度形状改变能密度vd 222 122331 1 ()()() 6E 单向应力状态时：单向应力状态时： 2 V1 12 6 v E 2 d1 1 3 v E 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 95 单向应力状态单向应力状态 强度条件强度

56、条件 轴向拉伸轴向拉伸 横力弯曲横力弯曲 轴向拉伸横截轴向拉伸横截 面上任一点和面上任一点和 横力弯曲边缘横力弯曲边缘 上的点均处于上的点均处于 单向应力状态单向应力状态 7.6 强度理论及相当应力强度理论及相当应力 一、建立强度条件的复杂性一、建立强度条件的复杂性 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 96 纯剪切强度条件纯剪切强度条件 扭转扭转 横力弯曲横力弯曲 扭转横截面上边缘上的点和横力弯曲扭转横截面上边缘上的点和横力弯曲 中性轴上的点均处于纯剪切应力状态中性轴上的点均处于纯剪切应力状态 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 97 复杂应力状态的

57、形式是无穷无尽的复杂应力状态的形式是无穷无尽的， 建立复杂应力状态下的强度条件，采用建立复杂应力状态下的强度条件，采用 模拟的方法几乎是不可能的，即逐一用模拟的方法几乎是不可能的，即逐一用 试验的方法建立强度条件是行不通的，试验的方法建立强度条件是行不通的， 需要从理论上找出路。需要从理论上找出路。 强度条件强度条件 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 98 （1）对破坏形式分类；）对破坏形式分类； （2）同一种形式的破坏，可以认为是相同的原因）同一种形式的破坏，可以认为是相同的原因 造成的；造成的； （3）至于破坏的原因是什么，可由观察提出假说，）至于破坏的原因是什么，

58、可由观察提出假说， 这些假说称为强度理论这些假说称为强度理论; （4）利用简单拉伸实验建立强度条件。）利用简单拉伸实验建立强度条件。 二、利用强度理论建立强度条件二、利用强度理论建立强度条件 三三 常用四种强度理论常用四种强度理论 脆性断裂脆性断裂 塑性屈服塑性屈服 破坏形式分类破坏形式分类 强度理论也可分为强度理论也可分为 两类，分别对不同的破两类，分别对不同的破 坏形式提出强度条件。坏形式提出强度条件。 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 99 铸铁扭转铸铁扭转 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 100 低碳钢扭转低碳钢扭转 材料力学材料力学中

59、南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 101 无论材料处于什么应力状态，只要无论材料处于什么应力状态，只要 最大拉应力达到极限值，材料就会发生最大拉应力达到极限值，材料就会发生 脆性断裂。脆性断裂。 （第一强度理论第一强度理论） 、脆性断裂理论、脆性断裂理论 1、最大拉应力理论（无裂纹体断裂准则）、最大拉应力理论（无裂纹体断裂准则） 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 102 破坏原因破坏原因：tmax （最大拉应力）（最大拉应力） 破坏条件破坏条件：1 0 （b） 1 2 3 0= b 强度条件强度条件: 1 b b n 适用范围适用范围: 脆性材料拉、扭；脆性材料拉

60、、扭； 一般材料三向拉；一般材料三向拉； 铸铁二向拉铸铁二向拉 拉，拉拉，拉 压（压（ t c） 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 103 45 1 1 3 3 K 拉断！拉断！ 铸铁断口铸铁断口 45 材料力学材料力学中南大学土木建筑学院中南大学土木建筑学院 104 2、最大伸长线应变理论（、最大伸长线应变理论（17世纪末）世纪末） 无论材料处于什么应力状态，只要最无论材料处于什么应力状态，只要最 大伸长线应变达到极限值，材料就发生脆大伸长线应变达到极限值，材料就发生脆 性断裂。性断裂。 破坏原因：破坏原因： tmax （最大伸长线应变）（最大伸长线应变） 破坏条件：