补充_2 点积叉积

1、 三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节第二节 一、两向量的内积一、两向量的内积 二、两向量的叉积二、两向量的叉积 内积内积 叉积叉积 混合积混合积 1 M 一、两向量的一、两向量的内积内积 沿与力夹角为沿与力夹角为 的直线移动的直线移动, W 1. 定义定义 设向量设向量的夹角为的夹角为 ,称 称 记作记作 内积内积(数量积数量积,内积内积) . 引例引例. 设一物体在常力设一物体在常力 F 作用下作用下, F 位移为位移为 s , 则力则力F 所做的功为所做的功为 cosFs sFW 2 M bacosba 的与为ba ba, s 0,a 当时当时 ba 在在 上上的的投投影影为为 记作

2、记作 故故 ,0,b 同同理理 当当时时 a b j rP b 2. 性质性质 为两个非零向量为两个非零向量, 则有则有 Prjab cos b baba a j rP ba aa) 1 ( 2 a ba,)2( 0baba b a 0a b则则 2 (,)ab 0,0ba 3. 3. 运算律运算律 (1) 交换律交换律 (2) 结合律结合律(,) 为为实实数数 abba ba)()( ba)(ba )()(ba)(ba )(ba (3) 分配律分配律cbcacba 事实上事实上, 当当0c时时, 显然成立显然成立 ;时当0c c )(ba b a b c j rPa c j rP cbaba

3、 c j rPc cba cc j rPj rP a c j rP cb c j rP ccacb )(j rPba c 向量投影的性质向量投影的性质 性质性质1 性质性质2 .PrPr)(Prbjajbaj uuu 性质性质3 .Pr)(Prajaj uu 性质性质4；，则则若若ajbbab b Pr|0 .Pr|0bjabaa a ，则则若若 .,cosPr轴轴的的夹夹角角与与为为向向量量其其中中uaaaju 证证 cacbbca )()( )()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()( 2.例例 .Pr,Pr, 3 ),( , 1, 2,3,32 AjBjBAb

4、a babaBbaA BA 求求 设设 :解解 2 37,AA A 2 31,BB B 2 2 673aa bb 28 (23 ) (3)A Babab Pr A A B j B A Pr B A B j A B 28 , 37 28 . 31 4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示 设设则则 , 10 xxyyzz a ba ba b 当当 为非零向量时为非零向量时, cos xxyyzz a ba ba b 222 zyx aaa 222 zyx bbb 由于由于 bacosba ,kajaiaa zyx ,kbjbibb zyx ba)(kajaia zyx )(kbjbib zyx i

5、i jjkk jikjik a b ba ba ba, 两向量的夹角公式两向量的夹角公式 , 得得 )(MB , )(MA B M 例例3. 已知三点已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A 解解:, 1, 1 0 , 1,0 1 则则AMBcos 100 222 1 3 AMB 求求 MBMA MA MB 故故 二、两向量的二、两向量的叉积叉积 引例引例. 设设O 为杠杆为杠杆L 的支点的支点 , 有一个与杠杆夹角为有一个与杠杆夹角为 OQ O LP Q 符合右手规则符合右手规则 OQ F F sin OP sin OP MFOP OPM

6、 M 矩是一个向量矩是一个向量 M : 的力的力 F 作用在杠杆的作用在杠杆的 P点上点上 ,则力则力 F 作用在杠杆上的力作用在杠杆上的力 F FM o P M F 1. 定义定义 定义定义 向量向量 方向方向 : (向量向量积，外积积，外积) 记作记作 且符合右手规则且符合右手规则 模模 : 叉叉积积 , ，的夹角为设ba, c ,ac bc csina b b a c 称称c的与为向量ba cab ab 引例中的力矩引例中的力矩 FOPM 思考思考: 右图三角形面积右图三角形面积 a b ba 2 1 S 2. 性质性质 为非零向量为非零向量, 则则 ，0sin或即0 aa) 1 (0

7、ba,)2(0baba ,0,0时当ba ba 0ba sina b0 3. 运算律运算律 (2) 分配律分配律 (3) 结合律结合律 (证明略证明略) ab cba )(cbca ba )()( ba)(ba ba) 1 ( 证明证明: 解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p 同同向向， )(kajaia zyx )(kbjbib zyx 4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式 设设则则 ,kajaiaa zyx ,kbjbibb zyx ba )(iiba xx )(jiba yx )(ki

8、ba zx )(ijba xy )(kjba zy )(ikba xz )(jkba yz ibaba yzzy )(jbaba zxxz )( kbaba xyyx )( )(jjba yy )(kkba zz i j k 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法 kji x a y a z a x b y b z b , zy zy bb aa , xz xz aa bb yx yx bb aa baibaba yzzy )(jbaba zxxz )( kbaba xyyx )( kajaiaa zyx kbjbibb zyx 例例5. 已知三点已知三点, )7,4,2(),5,4,3(,

9、 )3,2, 1(CBA 角形角形 ABC 的面积的面积 解解: 如图所示如图所示, CBA S A B C 2 1 kji 222 124 )( 2 1 ,4,62 222 2)6(4 2 1 14 sin 2 1 AB AC 2 1 ACAB 求三求三 三、向量的混合积三、向量的混合积 1. 定义定义 已知三向量已知三向量称数量称数量 混合积混合积 . 记作记作 几何意义几何意义 为棱作平行六面体为棱作平行六面体, 底面积底面积 高高 h 故平行六面体体积为故平行六面体体积为 hAV cos cba)( cba ,cba 的为cba, ,Aab c cba,以则其则其 cosbaccba)

10、( cba ba c b a zyx zyx bbb aaa x cy c z c kji 2. 混合积的坐标表示混合积的坐标表示 设设 x a y a z a x b y b z b zx zx bb aa yx yx bb aa cba)( ba , ),( zyx aaaa cba zy zy bb aa , ),( zyx bbbb ),( zyx cccc , zy zy bb aa , zx zx bb aa yx yx bb aa x c y c z c 3. 性质性质 (1) 三个非零向量三个非零向量共面的充要条件是共面的充要条件是 0 (2) 轮换对称性轮换对称性 : (可用

11、三阶行列式推出可用三阶行列式推出) cba cba, a b c a b c abc a b c 例例6. 已知一四面体的顶点已知一四面体的顶点 ),( kkkk zyxA,3,2, 1( k 4 ) , 求该四面体体积求该四面体体积 . 1 A 2 A 3 A 4 A 解解: 已知四面体的体积等于以向量已知四面体的体积等于以向量 为棱的平行六面体体积的为棱的平行六面体体积的, 6 1 故故 6 1 V 6 1 12 xx 12 yy 12 zz 13 xx 13 yy 13 zz 14 xx 14 yy 14 zz , 21A A, 31A A 41A A 413121 AAAAAA 例例7

12、. 证明四点证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA 共面共面 . 解解: 因因 0 )17,15,10(D A B C D 345 122 91416 故故 A , B , C , D 四点共面四点共面 . ADACAB 解解 zyx zyx bbb aaa kji bac 211 423 kji ,510kj , 55510| 22 c . 5 1 5 2 kj | 0 c c c A B C 解解 D )3, 4 , 0( AC )0 , 5, 4( AB 三角形三角形ABC的面积为的面积为 | 2 1 ABACS 222 161215 2 1 , 2

13、25 | AC, 5)3(4 22 | 2 1 BDACS |5 2 1 2 25 BD . 5| BD 内容小结内容小结 设设 1. 向量运算向量运算 加减加减: 数乘数乘: 点积点积: (,) xxyyzz abababab ),( zyx aaaa zzyyxx babababa (,),(,),(,) xyzxyzxyz aaaabbbbcccc 叉积叉积: kji x a y a z a x b y b z b ba 混合积: 2. 向量关系: x x a b y y a b z z a b 0 zzyyxx bababa ba/ ba 0ba zyx zyx zyx ccc bbb

14、 aaa cba)(cba 共面cba, 0 zyx zyx zyx ccc bbb aaa 0)(cba 0ba 思考与练习思考与练习 1. 设 计算并求 夹角 的正弦与余弦 . )3, 1, 1 ( , 32 1 cos 12 11 sin 答案答案: 2. 用向量方法证明正弦定理: C c B b A a sinsinsin ba, ,1baba ,2jibkjia,baba及 B a b c AC 证证: 由三角形面积公式由三角形面积公式 Acbsin Bacsin B b A a sinsin 所以所以 C c sin Cbasin 因因B a b c AC ABACS ABC 2

15、1 BCBA 2 1 CACB 2 1 ABAC BCBA CACB )(sin| , 2222 bababa )(cos1| , 222 baba 22 |ba )(cos| , 222 baba 22 |ba .)( 2 ba 已已知知向向量量0 a，0 b， 证证明明 2222 )(|bababa . 3. 解解 已知已知2 cba ， 计算计算)()()(accbba . 解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()( acbaacaaba )(0)()( 0 0 0 0 cba )( cba )(2 2cba . 4 4 22 3 4 3 cos322)2( 17 备用题备用题 1. 已知向量的夹角 且 解：解： , 4 3 ba , . |ba求 , 2|a, 3|b 2 ba)()(baba aaba2bb 22 cos2bbaa 17ba 222 00)2( 2 1 1 A B C D 在顶点为在顶点为 三角形中三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B 的和) 1,3, 1(C 求求 AC 边