第6节相对论力学

1、6 相对论力学 经典力学的物理量不是相对论四维协变量， 力学方程不是四维相对论的协变方程。 任务：1 建立四维力学量。满足协变要求 2 力学方程的协变形式。 一、四维速度矢量： 1 三维速度不是洛仑兹协变量 同一物体的运动速度： 在 系观察为在 系观察为 u u 2 1 C v u vu u x x x 变换关系为： 2 2 2 1 1 C v u C v u u x y y 2 2 2 1 1 C v u C v u u x z z 变换系数与坐标变换系数不同。 定义四维速度： d dx U 2 四维速度的分量式： 1 1 2 11 1 1 1 u dt dx d dt dt dx d dx

2、 U u 22 uU 33 uU iC dt iCtd d dx U u 2 4 4 1 )( 写成四维形式： ),(),( uiuui iCuiCUU 或： ),(iCuU u 四维速度的变换关系 UU 其中， 是特殊洛仑兹变换矩阵。 二、四维动量 ： P 定义四维动量 UmP 0 其中 是四标量，称为运动物体的静止质量 0 m 分量式： 110101 muumUmP u 其中： 2 2 0 1 C u m m 2202 muUmP 3303 muUmP ii muP W C i C u Cm C i iCmUmP u 2 2 2 0 0404 1 2 2 2 2 0 1 mC C u Cm

3、 W ),(W C i umP 四维动量的变换式： PP 三、质速关系、质能关系： 1 质速关系： 2 2 0 0 1 C u m mm u 是静止质量。 是以 运动的运动质量。 0 m mu mu mu 0 0mmu 特殊情况光子： 0 0 mCu 注意：称 是物质的质量，是物质惯性大 小的量度。物体运动起来，其物质本身没 有变化，但物质的惯性增大了。 m 2 质能关系： 2 2 2 2 0 1 mC C u Cm W 当 时，展开式：Cu TW C u CmW 0 2 2 2 0 ) 2 1 1( 其中： 称为物质的静止能量。 2 0 0CmW 2 0 2 1 umT 称为物质的动能。 3

4、 应用举例质量亏损（结合能） 几个相互作用的粒子，反应后形成一个新 的静止整体，反应前后： 新的静止物体的总能量=各粒子静止质量之和 i iC mW 2 00 例，四个氢原子组成一个氦核，总质量小 于四个氢原子质量之和。 0 4 1 0 Mm i i 2 0 2 4 1 0 CMCm i i 物质的静止质量。 物质的静止能量。 质量 20 4 1 0 C W Mm i i 能量 WCMCm i i 2 0 2 4 1 0 其中 2 CmW i 称为结合能 以核聚变反应为例：氘和氚聚变形成氦 nHHH e 432 反应前静止质量总和为03147. 5 反应后静止质量总和为0129. 5 相差01

5、88. 0 一克原子的氘（2.0147）+一克原子的氚(3.0170) 反应后释放出的能量为 )(104)103(0188. 0 11210 卡 以此来估计太阳的寿命 太阳每秒钟辐射出的能量对应的质量 gT 126 105)(105 太阳每年辐射出的能量对应的质量 gT 2014 106 . 1)(106 . 1 太阳的总质量gM 33 10 太阳的最大寿命)(1013年 实际寿命约为 )(200 亿年 四、相对论的质量，动量，能量的普遍关系 在 系里，粒子的4动量 ),(W C i PP 2 2 2 1 W C PPP 在 系里，粒子的4动量 ) , (W C i PP 2 2 2 1 W

6、C PPP 4矢量的点积是四标量。即： PPPPPPPP 则： 2 2 22 2 2 1 1 W C PW C P 若粒子质心相对 系静止，则有： 0 i P 2 0 CmW 得质量，能量，动量的关系： 42 0 22 2 CmCPW 对光子： 0 0 m PCW k C P 能量 动量 例，带电的 介子衰变为 子和中微子 各粒子的的质量为 20 57.139 C MeV m 20 66.105 C MeV m 0 0 m 求，在 介子质心系中，子的动量，能量， 速度。 解：系统守恒。 能量守恒： WWW 动量守恒： PPP 因为在 介子质心系中，所以 0 P 由守恒定律： 动量守恒： PP

7、能量守恒： CPCmCPCm 42 0 222 0 其中： 2 0 CmW 4 0 22 CmCPW CPW 解出： C MeV C m mm P79.29 2 0 2 0 2 0 MeVC m mm W78.109 2 2 0 2 0 2 0 由此得出： 039. 1 1 1 2 0 2 2 Cm W C u u Cu2714. 0 d Umd d dP K )( 0 五、相对论力学方程： 1 定义4维力： 4维力的各分量 ),( 4 KKK i dt C u ud m d Umd K u 2 2 1 0 10 1 1 )()( dt umd dt mud u uu )()( 101 令：

8、) 1 ( )( 2 2 10 1 1 C u um dt d F dt mud FK u 同理可得2，3分量 其中： 2 2 10 1 C u um dt d F 称为三维力。 第4分量： dt Wd C i dt dP d Umd K uu 440 4 )( Ku C i Fu C i F W Cum C i uu 2 4维力的第4分量由功率组成： ),(),( 4 Fu C i FKKK uu 2 相对论动力学方程： dt Pd dt umd K u )( d Wd uK dt Pd F dt Wd uF 注意：这两个式子形式上与非相对论情景 的力学方程相同，但各物理量与非相对论 情景不同，是相应的4维形式。 与4维力 之间相差因子 F i K u BjEf 六、洛仑兹力公式的协变式： 第1个分量 )( 233211 BjBjEf)( 23321 BjBjE iC iC 1111133122144 FjFjFjFjFj 同理，2，3分量 22 Fjf 33 Fjf