第1课时解三角形的实际应用举例——高度、距离问题

1、1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例 高度、距离问题 你能不能根据我们学过的正、余弦定理来测量故你能不能根据我们学过的正、余弦定理来测量故 宫角楼的高度？宫角楼的高度？ 你能测出河两边不可到达的两点你能测出河两边不可到达的两点A A，D D之间的之间的 距离吗？距离吗？ 你能测出埃及金字塔的高度吗？请进入本节课的你能测出埃及金字塔的高度吗？请进入本节课的 学习！学习！ 1.1.能根据题意建立数学模型，画出示意图能根据题意建立数学模型，画出示意图. . 2.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决与测量 高度、距离有关的实际问题高度、距离有

2、关的实际问题. .（重点、难点）（重点、难点） 探究点探究点1:1:实际应用问题中有关的名称、术语实际应用问题中有关的名称、术语. . 1 1仰角和俯角：仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的与目标视线在同一铅垂平面内的水平水平 视线视线和和目标视线目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时的夹角，目标视线在水平视线上方时 叫叫仰角仰角，目标视线在水平视线下方时叫，目标视线在水平视线下方时叫俯角俯角，如下图，如下图 所示所示 h l tan h l 2.2.坡度与坡角：把坡面的铅直高度坡度与坡角：把坡面的铅直高度h h与水平宽度与水平宽度l的比的比 叫做叫做坡度；坡度；坡面与水平面的夹角叫做坡

3、面与水平面的夹角叫做坡角坡角 以故宫角楼为例，研究一下怎样测量一个底部不以故宫角楼为例，研究一下怎样测量一个底部不 能到达的建筑物的高度？能到达的建筑物的高度？ 探究点探究点2 2：求建筑物高度求建筑物高度 A B B B B C C C C 如如上上，段段A AB B表表示示角角的的高高，在在外外城城河河畔畔的的 路路，位位置置C C角角行行量量. . C CC C量量器器的的高高， C C的的水水平平面面与与A AB B相相交交于于B B. .由由C C可可得得A A 的的仰仰角角的的大大小小. .可可以以，在在A AB BC C中中，三三的的度度 都都法法出出，因因而而A AB B的的法

4、法求求得得. . 图图设设线线楼楼宫宫墙墙护护 马马边边选选对对楼楼进进测测设设为为测测仪仪 过过点点点点这这时时测测点点测测点点 发发现现条条边边长长 无无测测长长无无 A B B B B C C C C D D D D o o 如如果果移移量量CC 至CC 至DD (量DD (量高高度度不不)，)， 在在B C D 中B C D 中，可可以以出出和和的的大大小小， 又又可可得得CD的CD的.根.根据据正正弦弦定定理理，有有 B CC DB CC D =,而=,而D B C D B C 180 -180 -， sinsinsinsinD B CD B C 动动测测仪仪测测仪仪变变 测测 测测

5、长长应应 ABAB 在在RtRtAB C 中AB C 中，tantan=,=, B CB C 所所以以AB = B CAB = B C tantan. . 所所以以角角的的高高AB = AB +B B = AB +CC .AB = AB +B B = AB +CC .楼楼 C D sinC D sinC D sinC D sin 所所以以B C =,B C =, sinsinD B Csin(180D B Csin(180 -) ) A AB B 设设A A，B B是两个海岛，如何测量它们之间的距离？是两个海岛，如何测量它们之间的距离？ 探究点探究点3 3：求两点间距离求两点间距离 如如，A,

6、B分A,B分是是海海上上接接近近海海面面的的 志志性性施施.如.如果果只只一一C，C，那那么么在在ABC中ABC中， 只只能能得得ACB的ACB的大大小小， 不 不能能得得到到解解.因.因此此 分分 需需要要再再 一一D,构D,构造造BCD，BCD，而而CD可CD可，要要求求出出A A 析析 B，B， ：图别两个岛两处 标设选择个测点 测问题决 选择个测点长测 A AB B C C D D 可可其其放放在在ACB中ACB中(也(也可可放放在在ADB中ADB中）求求，然然需需 先先求求出出AC，AC，BC的BC的，量量出出ACB的ACB的大大小小，然然后后已已知知 及及其其角角，利利用用余余弦弦

7、定定理理即即可可求求得得AB的AB的.最.最后后明明 一一就就是是求求AC和AC和BC的BC的需需要要我我分分去去解解ACD和ACD和 BCD.具BCD.具体体流流程程如如下下： 长长两两边边 夹夹长长说说 点点长长们们别别 将来当 A AB B C C D D 图图边边当当选选两两个个测测点点 个个内内测测 如如，在在海海适适取取C，C，D，D，使使A，A，B，B， C，C，D在D在一一 解解 平平面面 ： . . 析析 得得 CD = a，CD = a，ACBACB，ADCADC，BCDBCD，BDC =BDC =. . 在在BCD中BCD中，由由正正弦弦定定理理，得得 BCaasinBC

8、aasin =, 即=, 即BCBC. . sinsinsin(180sin(180 -)sin()sin(+) ) 在在ACD中ACD中，CAD =180CAD =180 -(-(+).由).由正正弦弦定定理理，得得 asinasinasinasin ACAC=.=. sin(180sin(180 -)sin()sin(+) ) 222222 在在ABC中ABC中，由由余余弦弦定定理理，得得 AB = BC +AC -2BC ACcosAB = BC +AC -2BC ACcos, , 把把BC，BC，AC代AC代入入上上式式即即可可求求出出AB.AB. B B B B C C D D A

9、A C C DD 1. 20 ,99 ,45CD60 m. 1.5m, 0.1 m). 例例 如如图图，某某校校学学生生在在测测量量故故宫宫角角楼楼的的角角度度时时，用用自自制制 的的测测量量仪仪测测得得， 测测量量仪仪的的高高为为试试求求出出故故宫宫角角楼楼的的高高度度 （精精确确到到 器, 器 在在B C D 中B C D 中，由由正正弦弦定定理理，得得 B CC DB CC D =,=, sisi ： nnsinBsinB 解解 C D sinC D sin6060sin45sin45 因因此此B C =72.17.B C =72.17. sin(180sin(180 -)sin36)s

10、in36 在在AB C 中AB C 中， AB = B C tanAB = B C tan=72.17=72.17tan20tan20 26.3(m)26.3(m) 因因此此A AB BA AB B + +B BB B2 26 6. .3 3+ +1 1. .5 5= =2 27 7. .8 8（m m) ). . 宫楼约为故故角角的的高高2 2答答：7.8m.7.8m. B B B B C C D D A A C C DD 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B B处测得地面上一点处测得地面上一点A A 的俯角的俯角54544040，在塔底，在塔底C C处处 测得测得A A处的俯角处的俯角50501 1

11、已知铁已知铁 塔塔BCBC部分的高为部分的高为27.3m27.3m，求出山高，求出山高 CD(CD(精确到精确到1m)1m) 【变式练习变式练习】 【解题关键解题关键】根据已知条件，应根据已知条件，应 该设法计算出该设法计算出ABAB或或ACAC的长的长 【解析解析】在在ABCABC中，中，BCABCA=90=90, , ABCABC=90=90, , BAC=BAC=, , BAD=BAD=. .根据正弦定理，根据正弦定理， sin()sin(90) BCAB , cossin sin sin() 27.3cos501 sin54 40 sin(54 40501) 177( ) Rt ABD

12、 BC BDABBAD m 解得 CDBDBC17727.3 150(m) 答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。 sin(90)cos sin()sin() BCBC AB 所以， 2. 3kmCDACB75 ,BCD45 , ADC30 ,ADB45 ,ABC,D AB. 例例 河河对对岸岸有有两两目目标标，但但不不能能到到达达，在在岸岸上上选选取取 相相距距的的 ， 两两点点，并并使使 且且 ， ，在在同同一一平平面面内内， 求求两两目目标标 ， 的的距距离离 D A B C 图图题题如如，依依意意可可知知： AC = CD =3, AC = CD =3, CBD =CBD =

13、解解： 6060, , 3sin753sin756 +26 +2 故故BCBC=.=. sin60sin602 2 222222 所所以以：AB = AC +BC -2ACAB = AC +BC -2ACBCBCcoscosACB =5ACB =5 所所以以：AB =5.AB =5. A,B的A,B的距距. .答答：离离5km5km间间为为 A B C D 为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点A，B间的距离间的距离,在岸边选定在岸边选定1千千 米长的基线米长的基线CD,并测得并测得ACD=90o, BCD=60o， BDC=75o，ADC=30o，求，求A，B两点的距离两点的距离. 变式训练变

14、式训练 . 2222 CD2 3CD2 3 AD =；AD =； sin603sin603 CDsin606CDsin606 BD =;BD =; sin(180 -60 -75 )2sin(180 -60 -75 )2 AB =AD +BD -2AB =AD +BD -2ADADBDBDcos(75 -30cos(75 -30 解解 ) ) 3030 = = 6 6 : : A B C D 提升总结：提升总结：在解决实际问题的过程中，贯穿了在解决实际问题的过程中，贯穿了数学数学 建模建模的思想，其流程图可表示为：的思想，其流程图可表示为： 实际问题实际问题数学模型数学模型 实际问题的解实际问

15、题的解数学模型的解数学模型的解 画图形画图形 解三角形解三角形 检验（答）检验（答） 150150 2.2.如图，设如图，设A,BA,B两点在河的两岸，一两点在河的两岸，一 测量者在测量者在A A的同侧，在所在的河岸边选的同侧，在所在的河岸边选 定一点定一点C C，测出，测出ACAC的距离为的距离为50m50m， ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105后，就可以计算后，就可以计算 出出A,BA,B两点的距离为（）两点的距离为（）m m 25 2 A.50 2C.25 2D. 2 A A 3 3. .如右图所示，如右图所示，D D，C C，B B在同一地平面的同一直线上，在同一地

16、平面的同一直线上， DCDC 10 m 10 m，从，从D D，C C两地测得两地测得A A点的仰角分别为点的仰角分别为3030和和 4545，则，则A A点离地面的高度点离地面的高度ABAB等于等于 ( ) ( )D D A.10m B. m A.10m B. m C.5( -1)m D.5( +1)m C.5( -1)m D.5( +1)m 5 3 33 解析：解析：在在ADCADC中，中，AD= mAD= m 在在RtRtABDABD中，中，AB=ADsin30AB=ADsin30=5=5（ +1+1）m m 10sin135 =103 1 sin15 （） 3 4.4.我军有我军有A A，B B两个小岛相距两个小岛相距1010海里，敌军在海里，敌军在C C岛，从岛，从 A A岛望岛望C C岛和岛和B B岛成岛成6060的视角，从的视角，从B B岛望岛望C C岛和岛和A A岛成岛成 7575的视角，为提高炮弹命中率，需计算的视角，为提高炮弹命中率，需计算B B岛和岛和C C岛岛 间的距离，请你算算看间的距离，请你算算看. .