261二次函数（1）

1、 知识回顾知识回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数、正比例函数的定义是 什么？ 请用适当的函数解析式表示下列问题情请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量境中的两个变量 y y 与与 x x 之间的关系：之间的关系： (1)圆的面积圆的面积 y ( )与圆的半径与圆的半径 x ( cm ) 2 cm y =x2 (2)某商店某商店1月份的利润是月份的利润是2万元，万元，2、3月月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为均增长率为x，3月份的利润为月份的利润为y y = 2(1+x)2 合作学习合作学习，探索新知，探索新知 :

2、 : （3）拟建中的一个温室的平面图如图）拟建中的一个温室的平面图如图, 如果温室外围是一个矩形，周长为如果温室外围是一个矩形，周长为 120m , 室内通道的尺寸如图室内通道的尺寸如图,设一条边设一条边 长为长为 x (m), 种植面积为种植面积为 y (m2)。 1 1 1 3 x y = (60-x-4)(x-2) 合作学习合作学习，探索新知，探索新知 : : 1.y =x2 2.y = 2(1+x)23.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2=-x2+58x-112 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征特征? ? 经化简后

3、都具有经化简后都具有y=ax+bx+c 的形式的形式. (a,b,c是常数是常数, )a0 合作学习合作学习，探索新知，探索新知 : : v 我们把形如我们把形如y=ax+bx+c( (其中其中a,b,c 是常数，是常数，a0) )的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数 称：称：a为二次项系数，为二次项系数，ax2叫做二次项叫做二次项 b为一次项系数，为一次项系数，bx叫做一次项叫做一次项 c为常数项为常数项, 又例：又例：y=x 2x + 3 请说出其中的二次项、一次项及常数项请说出其中的二次项、一次项及常数项 v注：注：对二次函数对二次函数y=ax+bx+c( (其中其中 a,b,c是常数，

4、是常数，a0) )的几点说明：的几点说明： 1 1、任何二次函数都可以化为一般式、任何二次函数都可以化为一般式y=ax+bx+c 2 2、二次函数、二次函数y=ax+bx+c（ a0）中，）中，x，y是变量，是变量，a、 b、c是常量，是常量，b、c可以是任意实数，可以是任意实数，a必须是不等于必须是不等于 0的实数的实数（为什么？）（为什么？） 3 3、二次函数、二次函数等号右边是关于等号右边是关于x的二次多项式的二次多项式 4 4、二次函数、二次函数y=ax+bx+c（ a0 ）与一元二次方程与一元二次方程 ax+bx+c=0（ a0 ）有着密切联系（什么关系）有着密切联系（什么关系） 5

5、 5、与其它函数一样，二次函数中、与其它函数一样，二次函数中x x每取一个值每取一个值,y,y都都 有唯一确定的值与之对应，两者之间满足有唯一确定的值与之对应，两者之间满足“一一对一一对 应应” 1.下列函数中下列函数中,哪些是二次函数哪些是二次函数? 抓住机遇抓住机遇 展示自我展示自我 22 2 2 ) 1()4( )1 ()3( 1 )2( ) 1 ( xxy xxy x y xy 是是 不是不是 是是 不是不是 先化简后判断先化简后判断 、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？ 2 ) 1()2)(2()5(xxxy x xy 1 )2( 2 32)4( 2 xxy

6、23) 1 ( 2 xy ( ) ( ) ( ) 否 是 否 否( ) ) 3)(2() 3(xxy是 ( ) 知识运用知识运用 、下列函数中，哪些是二次函数？、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x) 做一做: （1）正方形边长为）正方形边长为x（cm），它的面积），它的面积y（cm2） 是多少？是多少？ （2）矩形的长是）矩形的长是4厘米，宽是厘米，宽是3厘米，如果将其长厘米，如果将其长 增加增加x厘米，宽增加厘米，宽增加2x厘米厘米,则面积增加到则面积增加到

7、y平方厘平方厘 米，试写出米，试写出y与与x的关系式的关系式 2 1xy ）解：（12112)23)(4()2( 2 xxxxy 例1: 关于x的函数 是二次函 数, 求m的值. mm xmy 2 ) 1( 解: 由题意可得 01 2 2 m mm 时，函数为二次函数。当 解得， 2 2 m m 注意注意:二次函数的二次项系数不能为零二次函数的二次项系数不能为零 驶向胜利 的彼岸 练习、m取何值时，函数是取何值时，函数是y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？是二次函数？ 12 2 mm 知识运用知识运用 练习练习2、请举、请举1个符合以下条件的个符合以下条件的y关于关于x的的 二

8、次函数的例子二次函数的例子 练一练练一练: : （1）二次项系数是一次项系数的）二次项系数是一次项系数的2倍，倍， 常数项为任意值。常数项为任意值。 （2）二次项系数为）二次项系数为-5，一次项系数为，一次项系数为 常数项的常数项的3倍。倍。 展示才智展示才智 3、若函数 为二次函数，求 m的值。 mm2 2 1)x(my 解：因为该函数为二次函数，解：因为该函数为二次函数， 则则 )2(01 )1(2 2 2 m mm 解（解（1）得：）得：m=2或或-1 解（解（2）得：）得：11mm且 所以所以m=2 满足什么条件时当 ，是常数其中函数 cb,a, )cb,a,c(bxaxy 2 01a

9、）解：（ 0, 0)2(ba 0, 0, 0) 3(cba (2)它是一次函数？它是一次函数？ (3)它是正比例函数？它是正比例函数？ (1)它是二次函数它是二次函数? 超级链接超级链接 例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm） 之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函 数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系 （2）由题意得）由题意得 其中其中y是是x的二次函数；的二次函数； （3）由题意得）由题意得 其中其中S是是x

10、的的 二次函数二次函数 )0( 4 2 x x y 解解: （1）由题意得）由题意得 其中其中S是是a的二次函数的二次函数； )0(6 2 aaS )260(13 2 1 )26( 2 1 2 xxxxxS 例例3:已知关于已知关于x的二次函数的二次函数,当当x=1时时,函数值为函数值为 10,当当x=1时时,函数值为函数值为4,当当x=2时时,函数值为函数值为7,求这求这 个二次函数的解析试个二次函数的解析试. 由题意得：为解：设所求的二次函数, 2 cbxaxy 724 4 10 cba cba cba 5, 3, 2cba解得， 532 2 xxy所求的二次函数是 待定系数法待定系数法

11、4.4. 已知二次函数已知二次函数y=xy=x+px+q,+px+q,当当x=x=1 1时时, ,函数函数 值为值为4,4,当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为- 5, - 5, 求这个二次求这个二次 函数的解析式函数的解析式. . 2 ,yxpxq 解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数得： 14 425 pq pq 12,15.q解得，p 2 1215yxx所求的二次函数是 牛刀小试 5.已知二次函数4) 1( 2 2 xy 当当x=1时时,函数函数y有最小值为有最小值为4 x取任意实数取任意实数 （1 1）你能说出此函数的最小值吗？）你能说出此函数的最小值吗？ （2 2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ 开动脑筋开动脑筋 注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围. 例如：圆的面积例如：圆的面积 y ( )y ( )与圆的半径与圆的半径 x x （cmcm) )的函数关系是的函数关系是 2 cm y =x2 其中自变量其中自变量x能取哪些值呢？能取哪些值呢？ 0 x 问题问题：是否任何情况下二次