数值分析线性多步法

1、数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法 1 1-k1 R-K , nn nnnn yy yyyy 单单步步法法在在计计算算时时，只只用用到到前前一一步步的的信信息息 。 为为提提高高精精度度，需需重重新新计计算算多多个个点点处处的的函函数数值值，如如 方方法法，计计算算量量较较大大。如如何何通通过过较较多多地地利利用用前前面面的的已已知知 信信息息，如如 ，来来构构造造高高精精度度的的算算法法计计算算， 这这就就是是多多步步法法的的基基本本思思想想。 第三节第三节 线性多步法线性多步法 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法 一、

2、线性多步公式的导出一、线性多步公式的导出 nn Taylor xTaylor)x Taylor , ii n n+ +1 1 利利用用展展开开导导出出的的基基本本方方法法是是：将将线线性性多多步步 公公式式在在 处处进进行行展展开开，然然后后与与y y( (x x在在 处处的的 展展开开式式相相比比较较，要要求求它它们们前前面面的的项项重重合合，由由此此 确确定定参参数数。 101111011 ( ) () nnnnnn y x yyyhfff 设设初初值值问问题题的的解解充充分分光光滑滑，待待定定的的两两步步公公式式为为 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法

3、 1123 (5559379) 24 Adams nnnnnn h yyffff 此此式式称称为为显显式式公公式式，是是四四阶阶公公式式. . 5(5)6 1 251 () 720 nn Rh yO h 局局部部截截断断误误差差为为 二、常用的线性多步公式二、常用的线性多步公式 (Adams)（1 1）阿阿达达姆姆斯斯公公式式 1112 5(5)6 1 (9195) 24 Adams 19 () 720 nnnnnn nn h yyffff Rh yO h 为为四四阶阶隐隐式式公公式式，其其局局部部截截断断误误差差为为 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法 (

4、2)基于数值积分的基于数值积分的Adams公式公式 1 1 1 1+11 ()()( ,( ) ( ) , ( )( )( ), 1 n n n n x nn x x x nnnknnnk k y xy xf x y xdx F x dx xxxxxx F xxF x 基基本本思思想想是是首首先先将将初初值值问问题题化化成成等等价价的的 积积分分形形式式 用用过过节节点点或或的的 的的k k次次插插值值多多项项式式代代替替求求积积分分 即即得得k k阶阶的的线线性性多多步步公公式式。 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法 三、预估三、预估-校正算法校正算法 用

5、显式公式计算预估值，然后用隐式公式进行校正，用显式公式计算预估值，然后用隐式公式进行校正， 得到近似值得到近似值yn+1这样一组计算公式称为预估这样一组计算公式称为预估-校正算法校正算法 一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预估一般采用同阶的隐式公式与显式公式。常用的预估 -校正算法有两种：校正算法有两种： 1231 11121 (5559379) 24 9 (,)195 24 nnnnnn nnnnnnn h yyffff h yyf xyff A f dams 预预 预预 估估 正正 校校正正 校校 估估系系统统 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法

6、用局部截断误差进一步修正预测校正公式用局部截断误差进一步修正预测校正公式 5(5)6 11 5(5)6 11 5(5)6 11 5(5) 11 251 ()() 720 19 ()() 720 270 () 720 720 () 270 nnn nnn nnn nnn Adams y xyh yO h y xyh yO h yyh yO h h yyy 由由公公式式的的局局部部截截断断误误差差公公式式 两两式式相相减减 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法 用局部截断误差进一步修正预测校正公式用局部截断误差进一步修正预测校正公式 5(5)6 11 5(5)6

7、11 5(5) 11 1111 1111 251 ()() 720 19 ()() 720 720 () 270 251 ()() 270 19 ()() 270 nnn nnn nnn nnnn nnnn y xyh yO h y xyh yO h h yyy y xyyy y xyyy 由由 得得 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法 12 0,0 ( ,)(1,2,) ()(1,2,) iim ii yf x yyyim y xyim 一一阶阶方方程程组组的的初初值值问问题题 12 0 1,02,0,0 0 0 12 y f Y(,) ; YF( ,Y)

8、; Y(,) ; Y()Y ; F(,) ; T m T m T m yyy x yyy x fff 若若对对 和和 采采用用向向量量的的记记号号 第四节第四节 一阶微分方程组的解法一阶微分方程组的解法 一、一阶微分方程组一、一阶微分方程组 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法 方程组的方程组的 R-K 法法 1234 1 1234 1 1 22 6 1 22 6 nn nn KKKK MMMM yy zz 11 , , , nnnnnn KhfxyzMhg xyz 11 2 11 2 , , 222 , , 222 nnn nnn KMh Khfxyz KMh Mhgxyz 数值分析数值分析 数值分析数值分析数值分析线性多步法数值分析线性多步法 二、化高阶方程为一阶方程组二、化高阶方程为一阶方程组 ()(1) 00 00 (1)(1) 00 123 (1) ( , ,); (), (), (). , , , , mm mm m m m yf x y