必修五第一章1.2应用举例 第1课时 距离和高度问题

1、1.2应用举例第1课时距离和高度问题(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度的实际问题；(2)掌握解三角形应用题的基本步骤和基本方法；(3)培养运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力2过程与方法(1)经历将实际问题抽象为数学模型的过程，体会数学建模思想；(2)能够从数学角度去思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；(3)体验合作学习的过程，能在小组合作探究中清楚地表述自己的观点，善于倾听和评估不同意见3情感、态度与价值观(1)意识到数学知识在现实生活中的重要作用，增强对数学学习的兴趣；(2)在探究合作过程中，

2、增加探究意识与合作意识，增强与人交流的意识；(3)通过课外实习活动，体会数学的应用价值重点难点重点：(1)实际问题向数学问题的转化；(2)解斜三角形的方法难点：实际问题向数学问题转化思路的确定课标解读1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点)2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离高度有关的实际应用问题(重点)基线的概念1.定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线2性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高.测量中的有关概念1.坡角坡面与水平面的夹角，如图121所示，为坡角2坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即

3、itan ，如图121所示图121图1223仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图122所示)4铅直平面：铅直平面是指水平面垂直的平面求两点间可视但不可到达的距离问题如图123，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC120 m，BAC45，BCA75，求A，B两点间的距离图123【思路探究】(1)AC的对角ABC是多少度？(2)根据题中条件能用正弦定理解决吗？【自主解答】在ABC中，AC120，A45，C75，则B180(AC)60，由正弦定理，得ABA

4、C20(3)即A，B两点间的距离为20(3)m.如图所示，设A(可到达)，B(不可到达)是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；(2)测量AC，BAC，BCA；(3)用正弦定理解ABC，得AB.图124如图124，为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，测得CA400 m，CB600 m，ACB60，又测得A，B两点到隧道口的距离AD80 m，BE40 m(A，D，E，B在一条直线上)，计算隧道DE的长(精确到1 m)【解】在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400

5、260022400600cos 60280 000.AB200(m)DEABADBE200120409(m)隧道DE的长约为409 m.求两点均不可到达的距离问题图125在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且ADB30，BDC30，DCA60，ACB45，如图125所示，求蓝方这两支精锐部队的距离【思路探究】本题的未知量可以看成测量两点不可到达的距离的量，因此可以解三次三角形法一：分别由解ADC和BDC得AD和BD，再解ABD得AB；也可采用法二：分别由解ADC和BDC得AC和BC，再解ABC得AB.【自主解答】法一AD

6、CADBCDB60，又ACD60，DAC60，ADCDACa.在BCD中，DBC1803010545.，DBCDaa.在ADB中，AB2AD2BD22ADBDcosADBa222aaa2，ABa，蓝方这两支精锐部队的距离为a.法二同法一，得ADDCACa.在BCD中，DBC45，BCa.在ABC中，AB2AC2BC22ACBCcos 45a2a22aaa2，ABa，蓝方这两支精锐部队的距离为a.如图所示，不可到达的A，B是地面上两点，要测量A，B两点之间的距离，步骤是：(1)取基线CD；(2)测量CD，ACB，BCD，ADC，BDA；(3)在ACD中，解三角形得AC，在BCD中，解三角形得BC

7、；(4)在ABC中，利用余弦定理得AB.在中俄两国联合反恐军事演习中，为了准确分析形势，军方在地面上选取相距 千米的C、D两点，以测出对方两目标A和B的距离，经测量得：ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，试求出A、B之间的距离【解】在ACD中，由已知得ADC30，ACD120，CAD30，ACCD.在BDC中，CBD18045(4530)60，由正弦定理，可得BC.在ACB中，由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcos BCA，AB2()222cos 755.AB.故两目标A、B间的距离为 千米.求底部不可到达的物体的高度问题图126如图126，为了测量河对岸的塔高AB，有

8、不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求塔高AB.【思路探究】(1)由在C点和D点的仰角如何用塔高表示出线段BC、BD的长度？(2)在BCD中，已知CD、CBD，又用塔高表示了BC、BD，如何建立关于塔高的方程？(3)怎样求得塔高AB?【自主解答】在RtABC中，ACB45，若设ABh，则BCh；在RtABD中，ADB30，则BDh.在BCD中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcos CBD，即2002h2(h)22hh，所以h22002，解得h200(h200舍去)即塔高AB2

9、00米1本题是在空间解决问题的例子，解答本题的关键是用仰角与塔高分别表示BC、BD的长度在BCD中用余弦定理建立了关于塔高的方程，进而求得塔高2测量高度时需要注意的问题：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角如图所示：要根据题意正确画出图形，这是解题的关键，同时空间图形和平面图形要区分开，然后通过解三角形求解如图127，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m，到点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高图127【解】由ABC，ACD2，得BAC，ACBC30 m，

10、同理，ADDC10 m.在ACD中，即，即，.cos 2，230，15.在ADE中，AEADsin 6015 m.即所求角为15，建筑物高度为15 m.测量高度问题(12分)某人从塔AB的正东C处沿着南偏西60的方向前进40米后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高【思路点拨】解答时可以先依据题意画出图形，着重思考何时仰角最大，要突破这一难点，可转化为沿途观测点何处距塔底B距离最小【规范解答】根据题意画出示意图，且BECD.在BDC中，CD40，BCD30，DBC135.3分由正弦定理，得，BD20.6分在RtBED中，BDE1801353015，BEDBsin 15

11、2010(1).9分在RtABE中，AEB30，ABBEtan 30(3)(米)故所求的塔高为(3)米.12分本题与立体几何中的边角有关，解题的关键是准确作出空间图形，确定最大仰角的位置是解题的难点，实际上，在AB一定时，仰角要最大，需B到测试点的距离最小，所以测试点是过B向CD作垂线的垂足位置1解决实际测量问题一般要充分认真理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解2运用正弦定理、余弦定理解决实际问题要依以下步骤进行(1)分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；(2)建模

12、：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理、余弦定理有序地解这些三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系是()ABC90 D180【解析】根据仰角和俯角的概念可知.【答案】B图1282为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图128，测得下面四组数据，较合理的是()Ac与 Bc与bCb，c与 Db，与【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，与.【答案】D3一树的树干被台风吹断，折断部分

13、与残存树干成30角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为_【解析】如图，AB为残存树干，BC为折断部分，在RtABC中，已知AC5，ABC30，AB5，BC10.树干原来的高度为ABBC(105)m.【答案】(105)m图1294如图129，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，求A，B两点的距离【解】ACB45，CAB105，B1804510530.由正弦定理，AB50(m)一、选择题1轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120，两船的航行速度分别为25 n mile

14、/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A50 n mileB70 n mileC90 n mile D110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l70 (n mile)【答案】B图12102如图1210，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知CD100米，点C位于BD上，则山高AB等于()A100米 B50米C50米 D50(1)米【解析】设山高为h，则由题意知CBh，DBh，所以hh100，即h50(1)【答案】D3如图1211：D，C，B三点在地面同一直线上，D

15、Ca，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于()图1211A. B.C. D.【解析】在ADC中，DAC.由正弦定理得：，AC，ABACsin .【答案】A4有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75，现要将其倾斜角改为30，则坡底要伸长()A1千米 B.千米C.千米 D2千米【解析】如图，BAO75，C30，AB1，ABCBAOBCA753045.在ABC中，AC(千米)【答案】B图12125(2014吉林高二检测)如图1212，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB20 m，在A处测得P点的仰角OAP30，在B处测得P点的仰角OBP4

16、5，又测得AOB60，则旗杆的高度为()A20() m B. mC. m D10() m【解析】在RtPOA中，OAh，在RtPOB中，OBh，在AOB中，AB20，AOB60，所以AB2OA2OB22OAOBcos 60，即4003h2h22hh，即(4)h2400，所以h(m)【答案】C二、填空题6某人向正东方向走x km后向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为_【解析】如图所示，在ABC中，ABx，BC3，AC，ABC30.由余弦定理得()232x223xcos 30，即x23x60，得x1，x22，检验均符合题意【答案】或27在200 m的山顶上，

17、测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为_【解析】如图，设塔AB高为h，在RtCDB中，CD200 m，BCD906030，BC(m)在ABC中，ABCBCD30，ACB603030，BAC120.在ABC中，由正弦定理得，AB m.【答案】 m8如图1213，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度是_图1213【解析】tan 30，tan 75，又ADDB120，ADtan 30(120AD)tan 75，AD60，故CD60.【答案】60 m三、解答题图12149A、B、C、D四个景点，如图1214

18、，CDB45，BCD75，ADC15.A、D相距2 km，C、D相距(3)km，求A、B两景点的距离【解】在BCD中，CBD180BCDCDB60，由正弦定理得，即BD2.在ABD中，ADB451560，BDAD，ABD为等边三角形，AB2.答：A、B两景点的距离为2 km.10A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.【解】如图，由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此，只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m)CDAD800(1)2 186(m)所以山高CD约为2 186 m.图121511如图1215，飞机的航向和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔h km，速度为v km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过t h后又看到山顶的俯角为，求山顶的