线性方程组的消元法和矩阵的初等变换

1、和矩阵的初等变换和矩阵的初等变换 u线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法 u矩阵的初等变换矩阵的初等变换 第一章第一章 线性方程组的消元法线性方程组的消元法 第一节第一节 线性方程组的消元法线性方程组的消元法 一、线性方程组的基本概念一、线性方程组的基本概念 1. 1. 线性方程组的定义线性方程组的定义 引例引例有三家生产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3， 其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有 两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t ，所所示示，如如表表的的距距离离为为到到各各用用户户由由各各产产地地11 ijji CBA 引例引例 有三家生

2、产同一种产品的工厂 A1 、A2 、 A3， 其年产量分别为40t ，20t 和 10t ，该产品每年有 两个用户 B1、B2 ，其用量分别为 45t 和 25t ，所所示示，如如表表的的距距离离为为到到各各用用户户由由各各产产地地11 ijji CBA 不妨假设每吨货物每公里的运费为 1 元 ，问各厂 的产品如何调配才能使总运费最少？ 解 设各厂到各用户的产品数量如表 1-2 依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等： 10,20,40 635241 xxxxxx 10,20,40 635241 xxxxxx 25,45 654321 xxxxxx 再来看总运费，由表1-1： 25,45 6

3、54321 xxxxxx 654321 367258935845xxxxxxS 总运费总运费 1 2 于是，题目要解决的问题是： 654321 ,xxxxxx如如何何选选择择非非负负数数 使之满足方程组 和 并使总运费最少 . mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知 数的个数为数的个数为 n ，方程个数为，方程个数为 m ，则线性方程组可以写成如，则线性方程组可以写成如 下形式下形式 ： .),2, 1( ),2, 1,2

4、, 1( 个个方方程程的的常常数数项项称称为为第第 ，称称为为系系数数；其其中中 imib njmia i ij 若常数项均为若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，则称方程组为齐次线性方程组， 否则否则 ，称为非齐次线性方程组，称为非齐次线性方程组 . 2. 2. 线性方程组的线性组合线性方程组的线性组合 线性方程的加法：线性方程的加法：将两个线性方程 11 112211,nn a xa xa xb(1) 21 122222nn a xa xa xb(2) 的左右两边相加得到如下的新线性方程： 111211222221212nn aaxaaxaaxbb 称为原来两个线性方程的和。 线性方

5、程乘常数 将线性方程 1122 , nn a xa xa xb 两边同乘以非零常数 ， 1122 . nn axaxaxb 线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。 线性方程的线性组合 将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数 再将所得的两个方程相加，得到新方程： 12 , 得到一个新的线性方程： (3) 11122111122222 aaxaax 11221 122nnn aaxbb 称为原来两个方程(1)和(2)的一个 12 , 称为这个线性方程的组合系数。 将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是 线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)， 如果(II)中每

6、个方程都是(I)中方程的线性组合，就称 (II)是(I)的线性组合。 线性组合， 若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组 等价， 等价的线性方程组一定同解。 将方程组(I)变成 方程组(II)的过程称为同解变换。 例例1 )1( 求解线性方程组求解线性方程组 , 97963 , 42264 , 42 , 22 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 1 3 4 2 2 解解 )( 1 B )1( )( 2 B 2 1 3 2 , 97963 , 232 , 22 , 42 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxx

7、x xxxx 1 3 4 2 2 1 32 3 3 14 , 3433 , 6355 , 0222 , 42 432 432 432 4321 xxx xxx xxx xxxx 1 3 4 2 )( 3 B )( 4 B , 3 , 62 , 0 , 42 4 4 432 4321 x x xxx xxxx 1 3 4 2 5 2 2 1 3 3 4 2 2 , 00 , 3 , 0 , 42 4 432 4321 x xxx xxxx 1 3 4 2 3 2 4 4 3 用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解： 于是解得于是解得 3 3 4 4 32 31 x xx xx . 3为 为任

8、任意意取取值值其其中中x 可记作可记作也称为通解也称为通解方程组的解方程组的解或令或令)(, 3 cx , 3 3 4 4 3 2 1 c c c x x x x x .为任意常数为任意常数其中其中c (2) 小结：小结： 1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为消元法消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换下三种变换 （1）交换方程次序；）交换方程次序； （2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍 i j （以（以 替换替换 ）ik i 定义定义1 上述三

9、种变换均称为线性方程组的初等变上述三种变换均称为线性方程组的初等变 换换 （以（以 替换替换 ） ik i j （ 与与 相互替换）相互替换） 3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程 组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同同 解变换解变换 ji )(A若若),(B )(B则则 );(A ji k )(A若若),(B ji )(A若若),(B ik )(B则则 );(A ik )(B则则 ).(A k ji 定理定理1 线性方程组的初等变换总是把方程组变成线性方程

10、组的初等变换总是把方程组变成 同解方程组同解方程组 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 考考查查方方程程组组 ，可可取取任任何何值值，则则全全为为、分分析析系系数数：若若）（ 112111 01xaaa m ，的方程组来解的方程组来解，方程组转换成方程组转换成 n xx 2 .010 111 ax），使），使（，则利用变换，则利用变换的系数不全为的系数不全为若若 ，则则方方程程组组可可以以变变成成：个个方方程程加加到到第第 倍倍的的），分分别别把把第第一一个个方方程程化化简简：利利用用初初等等变变换换（）（ i

11、 a ai 11 1 32 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 考考查查方方程程组组 分析系数分析系数）（ 1 ，则则方方程程组组可可以以变变成成：个个方方程程加加到到第第 倍倍的的），分分别别把把第第一一个个方方程程化化简简：利利用用初初等等变变换换（）（ i a ai 11 1 32 mnmnm nn nn bxaxa bxaxa bxaxaxa 22 22222 11212111 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 考考查

12、查方方程程组组 分析系数分析系数）（ 1 结结为为化化简简：这这样样方方程程组组就就归归）（2 mnmnm nn bxaxa bxaxa 22 22222 分析系数分析系数）（ 1 化化简简）（2 化化为为阶阶梯梯型型方方程程组组：）（3，方方程程组组可可以以变变成成重重复复上上面面的的过过程程 00 00 0 1 22222 11212111 r rnrnrrr nn nn d dxcxc dxcxc dxcxcxc 分析系数分析系数）（ 1化化简简）（2化化为为阶阶梯梯型型方方程程组组：）（3 00 00 0 1 22222 11212111 r rnrnrrr nn nn d dxcxc

13、 dxcxc dxcxcxc ；这这时时原原方方程程组组无无解解而而有有）（.0,0I 11 rr dd ，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II 1 r d 00 00 0 1 22222 11212111 r rnrnrrr nn nn d dxcxc dxcxc dxcxcxc ，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II 1 r d 这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.inr nnnn nn nn dxc dxcxc dxcxcxc 22222 11212111 00 00 0 1 2

14、2222 11212111 r rnrnrrr nn nn d dxcxc dxcxc dxcxcxc ，分分两两种种情情形形：的的方方程程或或方方程程组组中中根根本本没没有有当当）（000II 1 r d 这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.iinr rnrnrrrrrr nnrrrr nnrrrr dxcxcxc dxcxcxcxc dxcxcxcxcxc 11 221122222 111111212111 ， ， ， 这这时时阶阶梯梯型型方方程程组组为为：）.iinr rnrnrrrrrr nnrrrr nnrrrr dxcxcxc dxcxcxcxc dxcxcxcxcxc 11

15、 221122222 111111212111 ， ， ， ：将将它它改改写写成成其其中中., 2 , 1,0ricii nrnrrrnrrr nnrrrr nnrrrr xcxcdxc xcxcdxcxc xcxcdxcxcxc 11 211222222 111111212111 ， ， ， 表表示示出出来来，通通过过，这这样样我我们们可可以以把把 nrr xxxxxx 1121 称称为为，而而程程组组的的一一般般解解这这样样一一组组表表达达式式称称为为方方 nr xx 1 .一一组组自自由由未未知知量量 定理定理2 在齐次线性方程组在齐次线性方程组 0 0 0 2211 2222121 1

16、212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa .,那那么么它它必必有有非非零零解解，如如果果中中nm 证明：证明：显然显然 ，方程组在化成阶梯型方程组之后，方程组在化成阶梯型方程组之后 ， 方程个数不会超过原方程组中方程个数方程个数不会超过原方程组中方程个数 ，即，即 .nmr .,，因因而而必必有有非非零零解解它它的的解解不不是是唯唯一一的的知知由由nr 第二节第二节 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 为了简化方程组的表达，可以省掉各个未知 数，只考虑系数和常数项，把它们排成一个表， 用这个表代替线性方程组，直接对这个表进行与 求解线性方程组相应的初等变换，这样

17、在表达上 可以更加简洁和直观。为此，我们将引出矩阵的 概念，介绍用矩阵的初等行变换将线性方程组化 为阶梯型方程组后求解。 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 1. 线性方程组 的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n,ib i 21 常数项常数项 一、矩阵及其初等变换一、矩阵及其初等变换 nnnnn n n baaa baaa baaa 21 222221 111211 对线性方程组的对线性方程组的 研究可转化为对研究可转化为对 这张表的研究这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位

18、置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 由 个数 排成的 m 行 n 列矩阵的数表 称为 m 行 n 列矩阵.简称 矩阵. 记作 定义定义 1 m n 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa m n 1,2,;1,2, ij aim jn mnmm n n aaa aaa aaa A 11 22221 11211 简记为 . ij nm ijnm aaAA 元元 的的矩阵矩阵 nm A , ,.m nA这个数称为 的元素 简称为元 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如 3469 5301 是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 22

19、2 222 2613i 是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 4 2 1 是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 例如例如 222 222 2613i 是一个是一个3 阶方阵阶方阵. 几种特殊矩阵几种特殊矩阵 (2)只有一行的矩阵 12 . n Aaaa 称为行矩阵(或行向量). 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶nnA . n A方阵.也可记作 1 2 , n b b B b 只有一列的矩阵 称为列矩阵(或列向量). 称为 (或）. n 00 00 00 2 1 （3）形如 的方阵, O O 不全为0 注意 .0000 0000 00

20、00 0000 0000 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如 记作记作 ., 21n diagA （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 . nm o o m n （5）方阵 100 010 001 n EE 称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念 O O 1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵. 全为全为1 2.两个矩阵 为同型矩阵,并 且对应元素相等,即 ijij AaB b 和和 , 2 , 1;, 2 , 1njmiba ijij 则称矩阵 相等,记作BA与与.BA 例如 12143 5684 3739 和和 为同型矩阵. 矩阵的转置矩阵的转置

21、（1）定义 设 是一个 矩阵，把A的 各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵， 称为A的转置矩阵，记为A （或AT ）即 A = () ij Aam n 11211 12222 12 n n nnnn aaa aaa aaa 线性方程组 11112211 21122222 1122 nn nn mmm nnm axaxaxb axaxaxb axaxaxb 称为方程组的系数矩阵； 称为方程组的增广矩阵。 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa 111211 212222 12 n n nnnnn aaab aaab B aaab 下面三种变换称为矩阵

22、的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调 ji rrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k ）记作记作行乘行乘（第（第krki i , . 3 ）记记作作 行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第 倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的 ji krr ikj k 定义定义 2 等价关系的性质：等价关系的性质： 1 A A（） 反反身身性性； C. AC,BB, A 3则则若若）传递性）传递性（ 等等价价，记记作作与与就就称称矩矩阵阵 ，矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩

23、阵阵 BABA BA 一般，将具有上述三条性质的关系称为等价一般，将具有上述三条性质的关系称为等价 A.B B, A 2则则若若）对称性）对称性（ 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是所用记号是 把把“r”换成换成“c”)初等行变换和初等列变换统初等行变换和初等列变换统 称为矩阵的称为矩阵的初等变换初等变换. 定义定义 3 例例1求解线性方程组求解线性方程组 , 97963 , 42264 , 42 , 22 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解解 ：用矩阵的初等行变换解方程组：用矩阵的初等行变换解方程组 97963 4

24、2264 41211 21112 B 1 97963 21132 21112 41211 B 21 rr 2 3 r 3 31000 62000 01110 41211 B 97963 21132 21112 41211 1 B 13 32 2rr rr 14 3rr 2 34330 63550 02220 41211 B 23 2 5 2 rr r 24 3rr 4 00000 31000 01110 41211 B 43 rr 34 2rr 5 00000 31000 30110 40101 B 00000 31000 01110 41211 4 B 21 rr 32 rr 对对应应的的方

25、方程程组组为为 5 B 3 3 4 4 32 31 x xx xx 方方程程组组的的解解可可记记作作或或令令, 3 cx 3 3 4 4 3 2 1 c c c x x x x x .为为任任意意常常数数其其中中c . 54 行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵都都称称为为和和矩矩阵阵BB 特点：特点： （1）、可划出）、可划出 一条阶梯线，线一条阶梯线，线 的下方全为零；的下方全为零； 5 00000 31000 30110 40101 B （2）、每个台）、每个台 阶阶 只有一行，只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元零元 . ,A nm 最最简简形形变变换换变变为为行行阶阶梯梯形形和和行行 总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 注意：注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行 阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的 ）又称行简化阶梯形矩阵的其它元素都是零 列，且