第3章 平面问题的直角坐标解答

1、3-1 3-1 应力函数的多项式解答应力函数的多项式解答 3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出 3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 3-1 3-1 应力函数的多项式解答应力函数的多项式解答 一一. .一次多项式一次多项式 适用性：适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。 目目 的：的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式函数作为应力函数 (x,y) ，能解决什么样的，能解决什么样的 力学问题。力学问题。逆解法 逆解法 123 ( , )x yc xc yc其中：其中：

2、 c1、c2、c3 为待定系数。为待定系数。 检验检验 (x,y) 是否满足双调和方程：是否满足双调和方程： 444 4224 20 xxyy 显然显然 (x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。满足双调和方程，因而可作为应力函数。 （1） （2） （3） 对应的应力分量：对应的应力分量： 2 2 xx f x y 0 xx f xf x 0 yy f yf y 2 2 yy f y x 2 0 xy x y 若体力：若体力：fx fy 0，则有：，则有： 0 xyxy 结论：结论： 一次多项式对应于无体力和无应力状态；一次多项式对应于无体力和无应力状态； 应力函数加上或减去一个一次多项

3、式，对应力无影响。应力函数加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （1） 22 123 c xc xyc y其中：其中： c1、c2、c3为待定系数。为待定系数。 （假定：（假定： fx fy 0; c1 0 , c2 0, c3 0） 检验检验 (x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2） 444 4422 0,0,0 xyxy 22 0 （可作为应力函数（可作为应力函数 ） （3）计算应力分量：计算应力分量： 2 2xy c x y 2 3 2 2 x c y 2 1 2 2 y c x 二二. .二次多项式二次多项式 结论：结论： 二次多项式对应于均匀应力分布

4、。二次多项式对应于均匀应力分布。 x y 2c32c3 2c1 2c1 2xy c （1） 3223 1234 c xc x yc xyc y其中其中: c1、c2、c3 、c4为待定系数。为待定系数。 检验检验 (x,y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2） 444 4422 0,0,0 xyxy 22 0 （可作为应力函数（可作为应力函数 ） （假定：（假定：fx fy 0）（3） 计算应力分量：计算应力分量： 2 23 22 xy c xc y x y 2 34 2 26 x c xc y y 2 21 2 26 y c yc x x 结论：结论：三次多项式对应于

5、线性应力分布。三次多项式对应于线性应力分布。 如，图示板的应力函数应为如，图示板的应力函数应为 20 ( , ) 2 x yy x y 0 三三. .三次多项式三次多项式 例：例： 3 4 c y 则则0 xy 4 6 x c y0 y 取取（fx fy 0） 图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件： x y 1 / 2h l / 2h 2 h y ： /2/2 ()0,()0 xxyyhyyyh ff 0 x ： 040 ()6()0 xxxyxyx fc yf ， 4 6 x fc y 3 4 c y可见，可见，对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布

6、。 xl ： 4 ()6()0 xxx lyxyx l fc yf ， 4 6 x fc y 22 3 04 22 1 d()d 2 hh oxxx hh Mf yyyyc h 3 4 1 2 c hM 4 3 2M c h x M y I 3 12 x M y h 3 (/12) x M y h 可见，此结果与材力中结果相同，可见，此结果与材力中结果相同， 说明材力中纯弯曲梁的说明材力中纯弯曲梁的 应力结果是正确的。应力结果是正确的。 22 0 22 d()d hh xxxx hh Ffyy 梁端部静力等效的边界条件：梁端部静力等效的边界条件： 2 4 2 6d0 h h c yy 无轴力。

7、无轴力。 同理同理 0 x ： 22 0 22 d()d hh yyxyx hh Ffyy 0无剪力。无剪力。 xl ： 3 4 1 2 o Mc h 0 x F 0 y F 设设 o MM x y 1 / 2h l / 2h 4 6 x fc y 4 6 x fc y M M 说明：说明： 组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结的面力须线性分布，且中心处为零，结 果才是精确的。果才是精确的。 但按圣但按圣 维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。 当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，

8、误差较小；反之误差较大。 若按其它形式分布，则此结果不精确，有误差；若按其它形式分布，则此结果不精确，有误差； （1） 432234 12345 c xc x yc x yc xyc y 检验检验 (x,y) 是否满足双调和方程是否满足双调和方程（2） 4 3 22 28c xy 4 1 4 24c x 4 5 4 24c y 代入：代入： 22 0 得得 135 330ccc 135 248240ccc 可见，其待定系数，须满足上述关系才能作为应力函数。可见，其待定系数，须满足上述关系才能作为应力函数。 四四. .四次多项式四次多项式 （1） 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意

9、选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。 22 0 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足时，则系数须满足一定条件，才能满足 。 22 0 多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需要满足的条件越多。越高，则系数间需要满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数 (x,y)上加上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，

10、 对应于线性分布应力。对应于线性分布应力。 （3） （4） 用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数 (x,y) 的方法的方法 逆解法（只能解决简单逆解法（只能解决简单 直线应力边界问题）。直线应力边界问题）。 五五. .多项式应力函数的性质（总结）多项式应力函数的性质（总结） 以纯弯曲梁为例，说明用应力函数法得到应力分量后如何求出应变分以纯弯曲梁为例，说明用应力函数法得到应力分量后如何求出应变分 量和位移分量？量和位移分量？ 前已得到纯弯梁的应力解答为：前已得到纯弯梁的应力解答为： x M y I 0 xy 0 y 由平面应力的物理方程：由平面应力的物理方程： 1 xxy E 1 yyx E

11、 1 xyxy G M y EI M y EI 0 由几何方程：由几何方程： x y xy x y xy u v vu y EIx M u M y IyE v 0 xy vu 3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出 一一. .应变分量应变分量 二二. .位移分量位移分量 将前两式积分，得：将前两式积分，得： 2 2( ) 2 M yfx EI v 1( ) M uxyfy EI 12 ( )( )fyfx、式中：式中：为待定函数。为待定函数。 将其代入第三式，得：将其代入第三式，得： 12 d ( )d ( ) 0 dd fyfxM x EIyx 21 d ( )d ( ) dd fxf

12、yM x EIxy 函数理论：函数理论： 对于任意的对于任意的F(x)和和G(y) ，若，若 F(x) G(y) 则则F(x)和和G(y) 必等于同一常数。必等于同一常数。 21 d ( )d ( ) dd fxfyM x EIxy ( )F x( )G y 常数常数 所以所以 2 d ( ) d fxM x EIx 1 d ( ) d fy y 积分积分 10 ( )fyyu 2 20 ( ) 2 M fxxx EI v 22 0 22 MM yxx EIEI vv 0 M uxyyu EI 其中其中u0 、v0 、 、 为待定常数 为待定常数 可由位移边界条件确定可由位移边界条件确定 讨论

13、：讨论： 铅垂方向线段的转角，即铅垂方向线段的转角，即 u 关于铅垂方向的变化率。关于铅垂方向的变化率。（1） uM x yEI 当当 x = x0 =常数常数 0 0 x x uM x yEI 常数常数 说明：说明： 同一截面上的各铅垂线段转角相同。同一截面上的各铅垂线段转角相同。 材力中材力中“平截面假设平截面假设” 成立。成立。 （2） ）将 将 v 对对 x 求二阶导数：求二阶导数： 2 2 M EIx v 常数常数 1 说明：在小变形下，梁纵向纤维的曲率相同。即说明：在小变形下，梁纵向纤维的曲率相同。即 2 2 1M EIx v 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程 （3

14、）对于平面应变问题，仅需作对于平面应变问题，仅需作E1E、1 替换替换 （1）两端简支）两端简支x y / 2h l / 2h 22 0 22 MM yxx EIEI vv 0 M uxyyu EI 其位移边界条件：其位移边界条件： 00 0 xy u ， 00 0 xy v ， 0 0 xly v ， 代入上式解之代入上式解之 0 0u 0 0v 2 Ml EI () 2 Ml uxy EI 2 () 22 MM lx xy EIEI v 所以所以 0 () 2 y M lx x EI v 与材力中梁的挠曲线方程结果相同与材力中梁的挠曲线方程结果相同 三三. .位移边界条件的利用位移边界条件

15、的利用 （2）悬臂梁）悬臂梁 x y / 2h l / 2h M M位移边界条件：位移边界条件： 0 xl u 0 xl v 22 hh y 代入代入 22 0 22 MM yxx EIEI vv 0 M uxyyu EI 恒不满足恒不满足 放松条件，放松条件，边界条件改写为：边界条件改写为： 0 0 xly u ， 0 0 xly v ， （中点不动）（中点不动） ,0 0 xl y x v （轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动） 代入位移表达式解得代入位移表达式解得 0 0u 2 0 2 Ml EI v Ml EI 所以所以 () M ulx y EI 22 () 22 MM lxy E

16、IEI v () M ulx y EI 22 () 22 MM lxy EIEI v x y / 2h l / 2h M M 挠曲线方程：挠曲线方程： 2 0 () 2 y M lx EI v与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同 若边界条件改写为：若边界条件改写为： 0 0 xly u ， 0 0 xly v ， （中点不动）（中点不动） ,0 0 x l y y u （中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零） 所得结果与前相同所得结果与前相同 一一. .应力函数的确定应力函数的确定 要点要点:1 / 2h / 2hx yy z ll qlql q 用半逆解法求解梁、用半逆解法求

17、解梁、 长板类平面问题。长板类平面问题。 （1）分析：分析： 2 h y y q 推想：推想：( ) y f y （2）由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式： ( , )x y 2 2 ( ) y f y x 积分积分 1 ( )( )xf yfy x 2 12 ( )( )( ) 2 x f yxfyfy 12 ( )( )( )f yfyfy， 任意的待定函数任意的待定函数 由上下边边界条件：由上下边边界条件： 2 0 h y y 对于任意对于任意lxl 均有均有 表明表明 y 随随 y 发生变化，而不随发生变化，而不随 x 发生变化。发生变化。 再积分

18、再积分 其中其中 3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 2 12 ( )( )( ) 2 x f yxfyfy （3）由相容确定待定函数 由相容确定待定函数 4 4 0 x ； 42 (4)(4)(4) 12 4 ( )( )( ) 2 x fyxfyfy y 4 (2) 22 ( )fy xy ； 代入相容方程：代入相容方程： 4 0 444 4224 20 xxyy 2 (4)(4)(4)(2) 12 ( )( )( )2( )0 2 x fyxfyfyfy 视之为关于视之为关于 x 的二次方程，的二次方程， 欲使其在欲使其在 l x l 内内均成立，均成立， 须有须有 x 的

19、一、二次的系数、自由项同时为零。即的一、二次的系数、自由项同时为零。即 (4) ( )0fy (4)(2) 2 ( )2( )0fyfy (4) 1 ( )0fy 先对第一、二式积分先对第一、二式积分 32 1567 ( )fyc yc yc y 32 1234 ( )f yc yc yc yc （略去常数项）（略去常数项） 再将再将f (y)代入第三式积分得代入第三式积分得 543212 289 ( ) 106 cc fyyyc yc y （略去一次项和常数项）（略去一次项和常数项） 所以所以 2 3232 1234567 ()() 2 x c yc yc ycx c yc yc y 543

20、212 89 () 106 cc yyc yc y 2 2 x y 2 2 y x 2 xy x y 2 32 12561289 (62)(62)2(3) 2 x c ycxc ycc yc yc yc 22 123567 (32)(32)xc yc ycc yc yc 32 1234 c yc yc yc 利用应力边界条件可建立九个关系式以确定待定常数利用应力边界条件可建立九个关系式以确定待定常数 为减少计算工作量，可先进行简化分析为减少计算工作量，可先进行简化分析 二二. .应力分量的确定应力分量的确定 1 / 2h / 2hx yy z ll qlql q 由荷载对称和几何对称：由荷载对

21、称和几何对称： x、y 应为应为 x 的偶函数的偶函数 xy 应为应为 x 的奇函数的奇函数 则有则有 56 620c yc 2 567 320c yc yc 由由 y 的任意性，必有的任意性，必有 567 0ccc 所以所以 2 32 121289 (62)2(3) 2 x x c ycc yc yc yc 2 123 (32) xy xc yc yc 32 1234y c yc yc yc 现再利用应力边界条件确定待定常数现再利用应力边界条件确定待定常数 三三. .对称性的利用对称性的利用 上边界：上边界： 2 2 0 xy yh y yh q 2 123 3 0 4 h chcc 32

22、1234 111 842 h ch chccq 下边界：下边界： 2 2 0 0 xy y h y y h 2 123 3 0 4 h chcc 32 1234 111 0 842 h ch chcc 四式联立求解四式联立求解 1 3 2q c h 2 0c 4 2 q c 3 3 2 q c h 1 / 2h / 2hx yy z ll qlql q 2 32 121289 (62)2(3) 2 x x c ycc yc yc yc 2 123 (32) xy xc yc yc 32 1234y c yc yc yc 四四. .应力边界条件应力边界条件 所以所以 23 89 33 64 62

23、 x qq x yyc yc hh 3 3 23 22 y qqq yy hh 2 3 63 2 xy qq xyx hh 左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：因对称，只考虑一边（如右边界）。因对称，只考虑一边（如右边界）。 由于面力分布未知，由于面力分布未知， 由静力等效力系替代。由静力等效力系替代。 22 22 dd0 hh xhxhx x l Ffyy 22 22 dd hh yhyhxy x l Ffyyql 22 22 dd0 hh zhxhx x l Mf y yy y 2 2 d0 h hx x l y 2 3 2 89 33 2 64 (62)d0 h h qlq yy

24、c ycy hh 9 20hc 9 0c 2 2 d h hxy x l yql 2 2 3 2 63 d 2 h h qlql yyql hh qlql 满足满足 2 2 d0 h hx x l y y 2 3 2 8 33 2 64 6d0 h h qlq yyc y y y hh 223 8 111 0 2202 qlqhh c 2 8 3 10 qlq c hh 23 89 33 64 62 x qq x yyc yc hh 3 3 23 22 y qqq yy hh 2 3 63 2 xy qq xyx hh 2 22 32 63 4 5 x qyy lxyq hhh 2 2 11

25、2 y qyy hh 2 2 3 6 4 xy qh xy h 故故 截面上的应力分布：截面上的应力分布： xy x y )( )( 10 3 )( 3 22 2 q xl h q 三次抛物线三次抛物线 q （1）次要边界上的误差）次要边界上的误差 按上述解答，梁的左右边界存在水平面力按上述解答，梁的左右边界存在水平面力 xx xl f 2 2 3 4 5 yy q hh 说明在两端与实际不符。说明在两端与实际不符。 乃静力等效替代所致，乃静力等效替代所致，但随远离迅速衰减。但随远离迅速衰减。 五五. .讨论讨论 （2）与材力结果比较）与材力结果比较 将将 3 1 12 Ih 22 82 hy

26、 S 22 () 2 q Mlx Q Fqx 代入代入 2 2 3 4 5 x Myyy q Ihh 2 2 11 2 y qyy hh Q xy F S bI a）x ： 第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。 第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可，该项误差很小，可 略；当略；当 h / l较大时，须修正。较大时，须修正。 b）y ： 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中未考虑。为梁各层纤维间的挤压应力，材力中未考虑。 c）xy ： 与材力结论相同。与材力结论相同。 （3）如果事先作更深入的分析，可使计算工作量减少。）如果事先作更深入的分

27、析，可使计算工作量减少。 （避免解微分方程）（避免解微分方程） 分析如下：分析如下： 直线、直角边界，应力函数可选用多项式。直线、直角边界，应力函数可选用多项式。 （几次？）（几次？） 2 xx M xxy；x 应为三次多项式应为三次多项式 比比 x 高两次高两次 应为五次多项式。应为五次多项式。 （共（共21项，略去线性项，略去线性 和常数项，有和常数项，有18项）项）即：即： 5432232 1234567899 a xxa yaxa ya yaxa ya ya ya 4325432 1011121415161718 x a ya ya ya ya ya ya ya y 如前对称性分析如前

28、对称性分析 x、y 应为应为 x 的偶函数，的偶函数，xy 应为应为 x 的奇函数的奇函数 则则 应是应是 x 的偶函数，即的偶函数，即 42325432 124567891011 xb ybxb yb yb ybb yb yb yb y 如前边界条件分析如前边界条件分析y 与与 x 无关，则无关，则 中高于中高于 x2 项为零项为零 则则 2325432 12345678 xc yc yc ycc yc yc yc y 由相容方程由相容方程 22 0 1526 31530ccycc 由由 y 的任意性的任意性 15 50cc 26 30cc 所以所以 2325432 12341278 11

29、53 xc yc yc ycc yc yc yc y 再利用边界条件确定六个待定系数再利用边界条件确定六个待定系数 附附1：解题步骤小结：解题步骤小结 （1） （2） （3） 根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（如面根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（如面 由应力分量与应力函数的关系式，求得应力函数的具体形由应力分量与应力函数的关系式，求得应力函数的具体形 （4） （5） 将具有待定函数的应力函数代入相容方程确定应力函数中将具有待定函数的应力函数代入相容方程确定应力函数中 由应力分量与应力函数的关系式，求得应力分量（具有待由应力分量与应力函数的关系式，求得应力分量（具有待

30、由边界条件确定应力分量中的待定常数。由边界条件确定应力分量中的待定常数。 用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤： 力分布规律、对称性等），估计某个应力分量的变化形式。力分布规律、对称性等），估计某个应力分量的变化形式。 式（具有待定函数）。式（具有待定函数）。 的待定函数形式（具有待定系数）的待定函数形式（具有待定系数） 。 定系数）定系数） 。 附附2：应力函数确定的：应力函数确定的“材料力学方法材料力学方法” 要点：要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。利用材料力学中应力与梁内力的关系，

31、假设某个应力分量的函数形式。 适用性：适用性： 直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。 应力函数常可表示为：应力函数常可表示为：( , )( ) ( )x yf x g y 由边界面力先确定由边界面力先确定 f (x) 或或 g (y) 其中之一的规律，然后将其代入其中之一的规律，然后将其代入 相容方程确定另外一个函数。相容方程确定另外一个函数。 应力分量与梁内力的关系一般可表示为：应力分量与梁内力的关系一般可表示为： 12 ( )( )( )( ) x M x fyq x fy 3 ( )( ) y q x fy

32、Q4 ( )( ) xy Fx fy 其中其中M(x)、 FQ(x) 和和 q(x)分别为梁的弯矩、剪力和横向分布力。分别为梁的弯矩、剪力和横向分布力。 例：例：悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1， 常数。常数。 求：应力函数求：应力函数 及梁内应力。及梁内应力。 x y O q b l 解：解：(1) (1) 应力函数的确定应力函数的确定 q x FQ M 取任意截面，其内力如图：取任意截面，其内力如图： Q( ) Fxqb ( )()()0M xq lx bqb lx 取取 作为分析对象，可假设：作为分析对象，可假设： xy Q( ) ( ) ( ) xy Fx f yqbf y f

33、(y)为待定函数为待定函数 xy 由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有： 2 ( )qbf y x y 对对 x 积分一次，有：积分一次，有： 对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有： 03 ( )d( )d( )qbxf yyfyyfx 0 ( )( )qbxf yfy y 123 ( )( )( )qbxfyfyfx 由由 444 4224 20 xxyy 得得 (4)(4)(4) 123 ( )( )( )0qbxfyfyfx 要使上式对任意的要使上式对任意的 x ，y 成立，有成立，有 (4)(4) 23 ( )( )0fyfx (4) 1 ( )0fy (4) 1 (

34、 )0fy 32 1123 ( )fyc yc yc y (4)(4) 23 ( )( )0fyfx (4) 3 ( )fx (4) 2 ( )fy 432 3789 ( )fxc xc xc x 432 2456 ( )fyc yc yc y 32432432 123456789 qbx c yc yc yc yc yc yc xc xc x 123 ( )( )( )qbxfyfyfx (4)(4)(4) 123 ( )( )( )0qbxfyfyfx (2)(2) 应力分量的确定应力分量的确定 2 2 12456 2 621262 x qbxc ycc yc yc y 2 2 789 2 1282 y c xc xc x 2 2 123 32 xy qbc yc yc x y (3)(3) 利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数 x y O q b l x 2 2 12456 2 621262 x qbxc ycc yc yc y 2 2 789 2 1282 y c xc xc x 2 2 123 32 xy qbc yc yc x y 2 0 b y y 2 789 12820c xc xc 789 0ccc xy x l q 2 123 32q