2.1对面积的曲面积分ppt课件

1、8.3 曲面积分曲面积分 8.3.1 对面积的曲面积分第一类曲面积分）对面积的曲面积分第一类曲面积分） 8.3.3 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系 8.3.2 对坐标的曲面积分第二类曲面积分）对坐标的曲面积分第二类曲面积分） 定义定义8.3.1 设设为光滑曲面为光滑曲面, , “乘积和式极限乘积和式极限” ” kkkk Sf ),( n k 1 0 lim 都存在都存在, , 的曲面积分的曲面积分 Szyxfd),( 其中其中 叫做被积叫做被积 是定义在是定义在 上的一上的一 个有界函数个有界函数, , 记作记作 或第一类曲面积分。或第一类曲面积分。 若对若对 做任意分割和局部区

2、域任意取点做任意分割和局部区域任意取点, , 则称此极限为函数则称此极限为函数 在曲面在曲面上对面积上对面积 函数函数, , 叫做积分曲面。叫做积分曲面。 ),(zyxf ),(zyxf ),(zyxf 8.3.1 对面积的曲面积分第一类曲面积分）对面积的曲面积分第一类曲面积分） SzyxMd),( 据此定义据此定义, , 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为 曲面面积为曲面面积为 SSd 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似。对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似。 则对面积的曲面积分存在。则对面积的曲面积分存在。 ),(zyxf若若在光滑曲面在光滑曲面 上连上连 续续, , 积分

3、的存在性积分的存在性 对积分域的可加性对积分域的可加性 , 21 则有则有 Szyxfd),( 1 d),(Szyxf 2 d),(Szyxf Szyxgkzyxfkd),(),( 21 线性性质线性性质则则为为常常数数设设, 21 kk SzyxgkSzyxfkd),(d),( 21 假设假设 是分片光滑是分片光滑 的的, , 例如分成例如分成 两片光滑曲面两片光滑曲面 o x y z 定理定理 设有光滑曲面设有光滑曲面 yx Dyxyxzz ),(),(: 在在 上连续上连续, , 存在存在, , 且有且有 Szyxfd),( yx D yxf),( Szyxfd),( ),(yxzyxy

4、xzyxz yx dd),(),(1 22 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分则曲面积分 证明证明 由定义知由定义知 Szyxfd),( kkkk Sf ),( n k 1 0 lim yx D ),( kkk yxk) ( ),(zyxf k Syxyxzyxz yxk yx dd),(),(1 )( 22 yxkkkykkx zz)( ),(),(1 22 0 lim n k 1 yxkkkykkx zz)( ),(),(1 22 0 lim n k 1 yxkkkykkx zz)( ),(),(1 22 yxyxzyxzyxf yx D yx dd),(),(1

5、),( 22 ),(yxz ),(,( kkkk zf ),(,( kkkk zf Szyxfd),( 而而 ( ( 光滑光滑) ) 说明说明 zy Dzyzyxx ),(),( zx Dzxzxyy ),(),(或或 可有类似的公式可有类似的公式. . 1)如果曲面方程为如果曲面方程为 2)若曲面为参数方程若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下 只要求出在参数意义下dS dS 的表达式的表达式, ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分。二重积分。 ( (见本节后面的例见本节后面的例4, 4, 例例5) 5) 说明说明 1 1计算方法可概括为计算

6、方法可概括为“一代、二换、三投影，一代、二换、三投影， 曲面积分化为二重积分曲面积分化为二重积分”。 “一代将代入被积函数，一代将代入被积函数， 得；得； “二换将二换将dSdS换成相应的曲面面积元素的表达式：换成相应的曲面面积元素的表达式： 如，那么如，那么 dxdyzzdS yx 22 1 “三投影认清在平面上的投影区域，三投影认清在平面上的投影区域， 二重积分是在区域上进行的。二重积分是在区域上进行的。 ),(zyxf ),(,(yxzyxf ),(yxzz ),(:yxzz xoy xy D xy D 2 2如，此时投影区域；如，此时投影区域； 如，此时投影区域为。如，此时投影区域为。

7、 3球面、柱面的面积元素球面、柱面的面积元素 ,sin 2 ddrdS ( , )dSh x y ds ),(:zyxx yz D ),(:xzyy zx D 回忆回忆 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素 为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球 面坐标，用三组坐标平面面坐标，用三组坐标平面r=r=常数，常数， = =常数，常数，=常常 数把积分区域数把积分区域分成许多小闭区域。考虑由分成许多小闭区域。考虑由r r， , 各取得微小增量各取得微小增量drdr， ，dd所成的六面体的体积所成的六面体的体积 如图）。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作如

8、图）。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作 长方形，其经线方向的长为长方形，其经线方向的长为 ，纬线方向的宽，纬线方向的宽 为为 ，向径方向的高为，向径方向的高为drdr，于是得，于是得 d rd drsin ,sin 2 ddrdrdv 这就是球面坐标系中的体积元素。这就是球面坐标系中的体积元素。 dd x x y y z z r r drdr r r O O drsin d sinr d d yx D 例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分 , d z S 其中其中是球是球 面面 222 zyx 被平面被平面 )0(ahhz 截出的顶部截出的顶部. . 解解 yx Dyxyxaz ),( ,:

9、 222 2222 :hayxD yx 22 1 yx zz 222 yxa a z Sd 2 0 da 0 )ln( 2 1 2 22 22 ha raa h a aln2 yx D yxa yxa 222 dd 22 022 dha ra rr 2 a o x z y h a 考虑考虑 假设假设是球面是球面 2222 azyx被平行平面被平行平面 z =z =h h 截截 出的上下两部分出的上下两部分, , ) ( d z S ) ( d z S 0 h ln4 a a 那么那么 h h o x z y 例例2 解解 dszyx)(故故 xy D dxdyyyx)5(2 xy D dxdy

10、x)5(2 rdrrd 5 0 2 0 )cos5(2.2125 dxdyzzdS yx 22 1 dxdy 2 )1(01 ,2dxdy （或直接由对称性）（或直接由对称性） 例例3 3 计算计算,d Szyx其中其中是由平面是由平面 坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面. . o z y x 1 1 1 解解 设设 上的部分上的部分, , 那那 么么 4321 , 4 Sdzyx ,yxz: 1 4 10 10 x xy :D)y,x( yx x yd)yx(y 1 0 1 120 3 1 zyx与与 , 0, 0, 0 zyx 1 0 3xdx 1 zyx 4321 Sz

11、yxd 原式原式 = = 分别表示分别表示 在平面在平面 例例4 4 计算计算 ，其中，其中 ： 被柱面被柱面 割下的有限部分割下的有限部分 dS)zxyzxy( 22 yxz 解解 dxdyzzdS yx 22 1 dxdy dxdy yx y yx x 2 1 2 22 2 22 )0(2 22 aaxyx xy D dxdy)yxxyxyxy(I2 2222 xy D dxdyyxx 22 20 2 0 4 2 4 1 22d)cosa(cos 1 3 2 5 4 2828 4 2 0 54 adcosa cosa dcosd 2 0 2 2 2 4 15 264 a 说明说明 也可往也

12、可往yOzyOz或或zOxzOx平面投影而计算此曲面积分，平面投影而计算此曲面积分， 但投影区域的表示及二重积分的计算都较复杂。但投影区域的表示及二重积分的计算都较复杂。 a a2a2a O O y y x x ,)( dSzyx )0()(: 2222 aazyax 解解 关于关于xOyxOy平面对称，所以平面对称，所以 0 zdS 关于关于zOxzOx平面对称，所以平面对称，所以 0 ydS ，所以，所以 2 _ 4 aaAxxdS 3 4 aI 例例5 5 求求 x o z y 例例6 设设 2222 :azyx ),(zyxf 计算计算 ( , , )dIf x y zS 解解 锥面锥

13、面 22 yxz 的的 222 yxaz ., 2 22 2 1 22 azayx 1 设设 ,),( 2 2 1 22 ayxyxD yx , 22 yx ，0 22 yxz 当当 22 yxz 当当 与上半球面与上半球面 交线为交线为 为上半球面夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分, , 它在它在 xoy xoy 面上的面上的 投影域为投影域为 1 yx D 那么那么 1 d)( 22 SyxI 1 d)( 22 SyxI yx D yx)( 22 r a aa dd 2 0 22 2 2 0 2 1 )258( 6 1 4 a 222 yxa a yxdd x o z y 1 yx

14、 D 考虑考虑 若例若例3 3 中被积函数改为中被积函数改为 ),(zyxf , 22 yx ，0 22 yxz 当当 22 yxz 当当 计算结果如何计算结果如何 ? ? 例例7 7 求半径为求半径为R R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的重心。的重心。 解解 设设 的方程为的方程为 yx DyxyxRz ),( , 222 利用对称性可知重心的坐标利用对称性可知重心的坐标,0 yx而而 z 22 2 3 R R R 用球坐标用球坐标 cosRz ddsind 2 RS Sd Szd 2 00 3 2 dcossindR 2 00 2 2 dsindR 思考题思考题 例例7 7是否可用球面坐标计

15、算是否可用球面坐标计算 ? ? 例例8 8 计算计算 ),( d R z S I .: 2222 Rzyx 解解 取球面坐标系取球面坐标系, , 那那 么么 ,cos:Rz I 0 cos )cosd( 2 R R R R R R ln2 ddsind 2 RS 0 2 d cos sin R R 2 0 d 例例9 9 计算计算,d)( 22 SyxI其中其中是球面是球面 22 yx 利用对称性可知利用对称性可知 SzSySxddd 222 SzSySxddd SzyxId)( 3 2 222 Szyxd)( 3 4 Sxd4 Sxd4 48)3(414 2 解解 显然球心为显然球心为, )

16、1 , 1 , 1(半径为半径为3 x 利用重心公式利用重心公式 Sxd Sd ).(2 2 zyxz z zd 例例10 10 计算计算 , d 222 zyx S I 其中其中是介于平面是介于平面 之间的圆柱面之间的圆柱面 222 xyR 分析分析 若将曲面分为前后若将曲面分为前后( (或左右或左右) ) zRSd2d 那么那么 H zR zR I 022 d2 R H arctan2 Hzz ,0 o H x y z 解解 取曲面面积元素取曲面面积元素 两片两片, , 则计算较繁。则计算较繁。 o y x z L 例例11 11 求椭圆柱面求椭圆柱面 1 95 22 yx 位于位于xoy

17、xoy面上方及平面面上方及平面 z = y z = y 下方那部分柱面下方那部分柱面 的侧面积的侧面积 S S 。 解解 )0(sin3,cos5: ttytxL 取取 SSd sz L d tt cosdcos453 0 2 sd 5ln 4 15 9 z szSdd ttttdcos9sin5sin3 22 0 sy L d 内容小结内容小结 1. 1. 定义定义: : Szyxfd),( iiii Sf ),( n i 1 0 lim 2. 2. 计算计算: : 设设,),( , ),(: yx Dyxyxzz 那那 么么 Szyxfd),( yx D yxf,(),(yxz) 22 1

18、 yx zz yxdd ( (曲面的其他两种情况类似曲面的其他两种情况类似) ) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧简化计算的技巧. . 备用题备用题1 1),0(: 2222 zazyx在在第第 为 1 一卦限中的部分一卦限中的部分, , 则有则有( )( )。 ;d4d)( 1 SxSxA ;d4d)( 1 SxSyB ;d4d)( 1 SxSzC .d4d)( 1 SzyxSzyxD C ( 2000 ( 2000 考研考研 ) ) 备用题备用题2 2 已知曲面壳已知曲面壳)(3 22 yxz , 22 zyx求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面 z z1 1以上部分以上部分的的 的面密度的面密度 质量质量 M M 。 解解 在在xoyxoy面上的投影为面上的投影为 ,2: 22 yxD yx 故故 SMd rrrd41d3 2 2 0 2 0 )41d(41 8 1 6 2 2 0 2 rr yxyx yx D dd)(413 22 13 3. 3. 设设是四面体是四面