北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理试题(word版)

1、东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学(理科)学校 班级 姓名 考号本试卷分第i卷和第n卷两部分，第i卷1至2页，第n卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第i卷(选择题共40分)、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)设集合a 1,2,则满足ajb 1,2,3的集合b的个数是(a) 1(b)3(c) 4(d) 8(2)已知a是实数，a_l是纯虚数，则a等于1 i6, s3 12,则公差d等于(a)1(b) 1(c) &(d)

2、/2(3)已知an为等差数列，其前n项和为sn,若a3(a) 1(b) 5(c) 23(4)执行如图所示的程序框图，输出的 k的值为(a) 4(b) 5(c) 6(d) 7若a, b是两个非零向量，则“ |a b a b(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充要条件(d)既不充分也不必要条件(6)已知x , y满足不等式组x 0,y 0, 当3 s 5时，目标函数z 3x 2y的最大值的 x y s,y 2x 4.变化范围是(a) 6,15(b) 7,15(c) 6,8(d) 7,8222x y 已知抛物线y 2px的焦点f与双曲线 1的右焦点重合，抛物线的准线与 79x轴的交点为k，

3、点a在抛物线上且|ak | j2| af |,则 afk的面积为(a) 4(b) 8(8)给出下列命题：在区间(0,(c) 16)上，函数y x 1, y(d) 321x2, y (x 1)2, y x3中有三个是增函数；若10gm3 logn 3 0,则0 nm 1 ；若函数f(x)是奇函数，则f (x 1)的图象关于点 a(1,0)对称；已知函数3x 2f(x) 3 , x 2,则方程log3 (x 1),x 2,1 _ a，一，f (x)有2个实数根，其中正确命题的个数为 2(a) 1(b) 2(c) 3(d) 4第ii卷(共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。

4、3一(9)右 sin g，且 ,a。，则 cos -(10)图中阴影部分的面积等于 .(11)已知圆c： x2 y2 6x 8 0,则圆心c的坐标为；若直线y kx与圆c相切，且切点在第四象限，则 k .(12) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为一.(13)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%,第二次提价q% ；方案乙：每次都提价 卫一q% ,若p q 0 ,则提价多的方案是 一2-(14)定义映射f：a b,其中a (m,n)m,n r, b r ,已知对所有的有f j(左硬田正规田序正整数对(m,n)满足下述条件 f (m,1)1 ；若 n m , f

5、 (m, n) 0 ； f (m 1,n) n f (m, n) f (m, n 1),则 f(2,2) 一 f (n,2)三、解答题：本大题共 6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共13分)已知函数 f(x) t3sin xcosx cos2 x a.(i)求f (x)的最小正周期及单调递减区间；3(n)若f(x)在区间,一上的最大值与最小值的和为 一，求a的值.6 32(16)(本小题共13分)n已知 an为等比数列，其前n项和为sn,且sn 2 a (n n ).(i)求a的值及数列an的通项公式；(n)若bn (2n 1属，求数列bn的前n项和t

6、n.(17)(本小题共14分)如图，在菱形 abcd中， dab 60：, e是ab的中点， ma，平面abcd ,且在矩形adnm中，ad 2, am3.7(i)求证：ac bn ;(n)求证：an /平面mec ;(出)求二面角m ec d的大小.aeb(18)(本小题共13分)已知 a r ,函数 f(x) a ln x 1 . x(i)当a 1时，求曲线y f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(n)求f (x)在区间0,e上的最小值.(19)(本小题共13分)在平面直角坐标系 xoy中，动点p到两点(73,0) , (j5,0)的距离之和等于 4,设点p的轨迹为曲线 c 直线l过

7、点e( 1,0)且与曲线c交于a, b两点.(i)求曲线c的轨迹方程；(n)是否存在 aob面积的最大值，若存在，求出aob的面积；若不存在，说明理由.(20)(本小题共14分)已知实数组成的数组(x1, x2, x3,|“，xn)满足条件:n|xii 1(i )当n 2时，求x1，x2的值;(n)当 n 3时，求证：|3x1 2x2 x3| 1；(出)设 a1 a? a3an,且a an (n 2),n1,一 一、求证： aixi (a1 an).i 12东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）(

8、1) c(3) c(4)(5 ) c(6 ) d(7 ) d(8 )二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分)(9)(10) 1(11)(3,0)(12 )75 4,10(13)乙(14) 22n 2注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得 2分.三、解答题（本大题共 6小题，共80分）(15)(共 13 分)解：(i) f(x).3 .八 1 cos2xsin 2x a22sin(2 x ) a -62所以t . 4分由一2k 2x 2k ,2622得一k x k .63一，一 12故函数f(x)的单调递减区间是k , k (k z).63(n)因为 一x 一, 635所

9、以一2x 5-.666一,110分1、 3二)2213分所以 一 sin(2x -) 1 2611因为函数f (x)在一,一上的最大值与最小值的和(1 a -) ( - a6 322所以a 0.(16)(共 13 分)解：(i)当 n 1 时，s, a12 a.当 n 2 时，an sn s 12n 1因为an是等比数列,所以 ai 2 a 21 1 1,即 a1 1. a1. 5 分所以数列an的通项公式为an 2n 1 (n n*). 6分(n)由(l)得 bn (2n 1)an (2n 1) 2nl.则 tn1 1 3 2 5227 23 ” (2n 1)2nl.2tn 1 2 3225

10、 23 (2n 3)2n 1(2n 1) 2n.-得tn 1 1 2 2 2 22 m 2 2n 1 (2n 1) 2n 9分1 2(2 222n 1) (2n 1) 2n1 4(2n 1 1) (2n 1) 2n(2n 3) 2n 3. 12分所以 tn (2n 3) 2n 3. 13分(17)(共 14 分)解：(i)连结bd ,则ac bd.由已知dn 平面abcd ,9分因为 dndb d, 所以ac 平面ndb 2分又因为bn 平面ndb ,所以ac bn 4分(n) cm与bn交于f ,连结ef .由已知可得四边形 bcnm是平行四边形，所以f是bn的中点.因为e是ab的中点， 所

11、以an ef 7分又ef 平面mec ,an 平面mec , 所以an 平面mec (出)由于四边形 abcd是菱形，e是ab的中点，可得 de ab .如图建立空间直角坐标系d xyz,则d(0,0,0) , e(百,0,0) , c(0,2,0),m(,3, 1,ce (、3, 2.0),t3.7emr (0, 1,).10分设平面mec的法向量为n (x,y,z).0,所以0.3x 2y 0,3.7y z 0.72.所以12分又平面ade的法向量m(0,0,1)，所以cos m, n所以二面角m(18)(共 13 分)ecd的大小是60 .14分解：(i)1时,1 f (x)ln x 1

12、x (0,),所以f(x)因此fq)12 x14xx 12xx (0,).即曲线, ，一 1f (x)在点(2, f (2)处的切线斜率为 一4又 f(2)所以曲线. 1y f(x)在点(2, f (2)处的切线方程为y (ln2 ：)；(x2),即 x 4y 41n 2 4 0 .(n)因为 f 3 a ln x 1 ,所以 f (x)-ar x 2axx x x令 f (x) 0,得 x a .若ae,则当x 0,e时，f (x)0 ,函数f x在区间0,e上单调递减,所以当x e时，函数f(x)取得最小值a. 12分e综上可知，当a e时，函数f x在区间0,e上的最小值为-13分e(1

13、9)(共 13 分)解.(i)由椭圆定义可知，点p的轨迹c是以(j3,0), (j3、0)为焦点，长半轴长为2的椭圆. 3分2故曲线c的方程为上 y2 1. 5分4(n)存在 aob面积的最大值 6分因为直线l过点e( 1,0),可设直线l的方程为 x my 1或y 0 (舍).1,x my 1.整理得(m2 4)y2 2my3 0 由 (2m)2 12(m2 4) 0 .设 a, y1)，b%, 丫2).解得yim 2 .一 m23_2m 4y2m 2、. m2310分4m2 3人1y2y1 12 m 4因为 saob joe yi2、m23m2 412.设 g(t) t -, t4m3, t 屈.则g(t)在区间j3,)上为增函数所以g(t)4,3所以s aob,当且仅当m 0时取等号, 2即(s aob)max-2所以s aob的最大值为 /.(20)(共 14 分)xi x20,(i )解:x1x21.(2)13分由(1)得 x2x1 ,再由(2)知 x10 ,且 x20.当x10时，x2 0 .得2x1 1,所以x212,1.2x1当人 0时，同理得x212,1.2(n)证明：当n 3时,由已知x1所以3x1(m)证明所以(a1即 & +a nnaxi 1x2x32x2x30 , x1x2 x3 =1 .x12(x1