高中数学 第三章§3模拟方法 概率的应用导学案 北师大版必修3

1、3模拟方法概率的应用1了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义2初步学会求一些简单的几何概型中事件的概率3能够运用模拟方法估计概率几何概型(1)定义：向平面上有限区域(集合)g内随机地投掷点m，若点m落在子区域g1g的概率与g1的面积成_，而与g的形状、位置无关，即p(点m落在g1)_，则称这种模型为几何概型(2)说明：几何概型中的g也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是_之比或_之比几何概型的两个特点一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的【做一做1】判断下列试验中事件发生的概率模型是古典概型还是几何概型

2、(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向b区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率【做一做2】在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2 m的概率是()a b c d如何判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型？剖析：几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件；二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的而古典概型的特征是：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是

3、等可能性，指每个结果出现的可能性(概率)是均等的因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是：确定一次试验中每个结果(基本事件)出现的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不属于古典概型又不属于几何概型；如果试验中每个结果出现的可能性是均等时，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型题型一 与长度有关的几何概型【例题1】公共汽车在05 min内随机地到达车站求汽车在13 min之间到达的概率反思：(1)求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示

4、所确定的线段的长度(2)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率p(a).题型二 与面积有关的几何概型【例题2】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：307：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：008：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件a)的概率是多少？分析：利用直角坐标系将题目中的条件转化为平面图形的面积，然后利用几何概型求解反思：解决本题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化为平面图形中的面积型几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率模型称为面积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：p(a

5、).题型三 与体积有关的几何概型【例题3】有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率分析：这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概型反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率模型称为体积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率：p(a).题型四 与角度有关的几何概型【例题4】如图所示，在平面直角坐标系内，射线ot落在60角的终边上，任作一条射线oa，求射线oa落在xot内的概率分析：以o为起点作射线oa是随机的，因而射线oa落在任何位置都是等可能的，落在xot内的概率只与xot的大小有关，符合几何概型的条件反思

6、：解答此题的关键是弄清过o作射线oa可以在平面内任意的位置上，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的题型五 易错辨析【例题5】在等腰直角abc中，过直角顶点c在acb内部任作一条射线cm，与线段ab交于点m，求amac的概率错解：设“amac”为事件a.如图，在ab边上取acac.在 acb内任作射线cm，可以看作在线段ab上任取一点m，以c为端点过m作射线故p(a).错因分析：虽然在线段上任取一点是等可能的，但以c为端点过任取的点所作的射线是不均匀的(反之，在角内作的射线是均匀的，但射线与边ab的交点是不均匀的)，因而不能把等可能取点看作等可能作射线因此在确定基本事件时，一定要注意选择好

7、观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性本题的几何度量应为角度，而不是长度1向如图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是()a bc d2在数轴上的区间0,3上任取一点，则此点坐标大于1的概率为()a b c d3在面积为s的abc的边ab上任取一点p，则pbc的面积不小于的概率是()a b c d4如图所示，转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，则转盘停止时指针落在阴影部分的概率是_5如图，射箭比赛的箭靶上涂有5个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫“黄心”奥运会的比赛中靶面直径是122 cm，靶心直径是12.2 cm，运动员在70米外射

8、箭假设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，那么射中“黄心”的概率是多少？答案：基础知识梳理(1)正比(2)体积长度【做一做1】解：(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有6636种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型(2)游戏中指针指向b区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型【做一做2】a把绳子三等分，当灯挂在中间一段绳子上时，灯与木杆两端的距离都大于2 m，故所求概率为.典型例题领悟【例题1】解：将05 min这段时间看作是一段长度为5个单位长度的线段，则13 min是

9、这一线段中的2个单位长度设“汽车在13 min之间到达”为事件a，则p(a)0.4.【例题2】解：如图，送报人到达的时间是6：307：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：008：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x轴表示报纸送到的时间，y轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x，y)是图中所示正方形中等可能的任意一点事件a(父亲离开家前能拿到报纸)发生需xy，即正方形内阴影部分，事件a发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件a12，1，所以p(a).【例题3】解：把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件a，则事件a构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以p(a)0.05.【例题4】解：记b表示“射线oa落在xot内”，xot60，p(b).【例题5】正解：设“amac”为事件a.如错解中的图，在ab边上取acac.以c为端点作射线cm是随机的，因而射线cm落在acb内任何位置都是等可能的，落在acc内的概率只与acb和acc的大小有关，符合几何概型的条件试验的全部结果构成的区域是90的角acb，构成事件a的区域是acc，acc67.5，所以p(a)0.75.随堂练习巩